مصفوفة متناظرة

• مجموع وفرق مصفوفتين متماثلتين متماثلتان.
• لا ينطبق هذا دائمًا على المنتج : بالنظر إلى المصفوفات المتناظرة${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$المنتج${\displaystyle AB}$يكون متناظراً إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$التنقل ، أي${\displaystyle AB=BA}$.
• لو${\displaystyle A}$إذا كانت متناظرة، فإنه لأي عدد صحيح${\displaystyle k\geq 0}$،${\displaystyle \,}$${\displaystyle A^{k}}$وهو متناظر أيضاً.
• لو${\displaystyle A^{-1}}$إذا وُجدت، فهي متناظرة إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$متناظر.
• رتبة المصفوفة المتناظرة${\displaystyle A}$يساوي عدد القيم الذاتية غير الصفرية لـ${\displaystyle A}$.

يمكن كتابة أي مصفوفة مربعة بشكل فريد كمجموع مصفوفة متناظرة ومصفوفة متناظرة معكوسة. يُعرف هذا التحليل بتحليل توبليتز.${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$يشير إلى فضاء${\displaystyle n\times n}$المصفوفات. إذا${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$يشير إلى فضاء${\displaystyle n\times n}$المصفوفات المتناظرة و${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$مساحة${\displaystyle n\times n}$المصفوفات المتناظرة المائلة، إذن

$${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\},}$$

أي

$${\displaystyle {\mbox{Mat}} _ {n} = {\mbox {Sym}} _ {n} \oplus {\mbox {Skew}} _ {n}،}$$

أين${\displaystyle \oplus }$يرمز إلى المجموع المباشر . ليكن${\displaystyle M\in {\mbox{Mat}}_{n}}$، ثم

$${\displaystyle M={\frac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(MM^{\mathsf {T}}\right).}$$

لاحظ أن${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$و${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(MM^{\mathsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$هذا صحيح بالنسبة لكل مصفوفة مربعة${\displaystyle M}$مع إدخالات من أي حقل تختلف خصائصه عن ⁠${\displaystyle 2}$⁠ .

متناظر${\displaystyle n\times n}$يتم تحديد المصفوفة بواسطة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$القيم العددية (عدد العناصر الموجودة على القطر الرئيسي أو فوقه ). وبالمثل، يتم تحديد المصفوفة المتناظرة المائلة بواسطة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$القيم العددية (عدد المدخلات فوق القطر الرئيسي).

أي مصفوفة متطابقة مع مصفوفة متناظرة تكون متناظرة أيضًا: إذا${\displaystyle A}$إذا كانت مصفوفة متناظرة، فإن مصفوفة متناظرة كذلك.${\displaystyle PAP^{\mathsf {T}}}$لأي مصفوفة${\displaystyle P}$.

المصفوفة الحقيقية المتناظرة هي بالضرورة مصفوفة عادية . ^{[ 2 ]}

يرمز بـ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$المنتج الداخلي القياسي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$الحقيقي${\displaystyle n\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$يكون متناظراً إذا وفقط إذا $${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

بما أن هذا التعريف مستقل عن اختيار الأساس ، فإن التناظر خاصية تعتمد فقط على المؤثر الخطي${\displaystyle A}$واختيار الضرب الداخلي . يُعدّ هذا التوصيف للتناظر مفيدًا، على سبيل المثال، في الهندسة التفاضلية ، حيث يمكن تزويد كل فضاء مماس لمتشعب بضرب داخلي، مما يُنتج ما يُسمى بالمتشعب الريماني . ومن المجالات الأخرى التي يُستخدم فيها هذا التوصيف فضاءات هيلبرت .

تنص نظرية الطيف ذات الأبعاد المحدودة على أنه يمكن تحويل أي مصفوفة متناظرة عناصرها حقيقية إلى مصفوفة قطرية بواسطة مصفوفة متعامدة . بتعبير أدق: لكل مصفوفة متناظرة حقيقية${\displaystyle A}$، توجد مصفوفة متعامدة حقيقية${\displaystyle Q}$بحيث${\displaystyle D=Q^{\mathsf {T}}AQ}$هي مصفوفة قطرية . وبالتالي، فإن كل مصفوفة متناظرة حقيقية هي، حتى اختيار أساس متعامد ، مصفوفة قطرية.

لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$نكون${\displaystyle n\times n}$إذا كانت المصفوفات متناظرة حقيقية وتتبادل، فيمكن تحويلها قطريًا في آن واحد بواسطة مصفوفة متعامدة: ^{[ 3 ]} يوجد أساس من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بحيث يكون كل عنصر من عناصر الأساس متجهًا ذاتيًا لكليهما${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$.

كل مصفوفة متناظرة حقيقية هي مصفوفة هيرميتية ، وبالتالي فإن جميع قيمها الذاتية حقيقية. (في الواقع، القيم الذاتية هي عناصر المصفوفة القطرية).${\displaystyle D}$(أعلاه)، وبالتالي${\displaystyle D}$يتم تحديده بشكل فريد بواسطة${\displaystyle A}$(حتى ترتيب عناصرها.) بشكل أساسي، خاصية التناظر للمصفوفة الحقيقية تتوافق مع خاصية كونها هيرميتية للمصفوفة المركبة.

يمكن تحويل المصفوفة المتناظرة المعقدة إلى مصفوفة قطرية باستخدام مصفوفة وحدوية : وبالتالي إذا${\displaystyle A}$إذا كانت مصفوفة متناظرة معقدة، فهناك مصفوفة وحدوية${\displaystyle U}$بحيث${\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}}$هي مصفوفة قطرية حقيقية ذات عناصر غير سالبة. تُعرف هذه النتيجة بتحليل أوتون-تاكاغي . وقد أثبتها في الأصل ليون أوتون (1915) وتيجي تاكاغي (1925)، وأُعيد اكتشافها ببراهين مختلفة من قِبل العديد من علماء الرياضيات الآخرين. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

في الواقع، المصفوفة${\displaystyle B=A^{\dagger }A}$هيرميتية وشبه موجبة ، لذا توجد مصفوفة وحدوية${\displaystyle V}$بحيث${\displaystyle V^{\dagger }BV}$هي مصفوفة قطرية ذات عناصر حقيقية غير سالبة. وبالتالي${\displaystyle C=V^{\mathsf {T}}AV}$هو مركب متناظر مع${\displaystyle C^{\dagger }C}$حقيقي. الكتابة${\displaystyle C=X+iY}$مع${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$المصفوفات المتناظرة الحقيقية،${\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)}$. هكذا${\displaystyle XY=YX}$. منذ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$في التنقل، توجد مصفوفة متعامدة حقيقية${\displaystyle W}$بحيث يكون كلاهما${\displaystyle WXW^{\mathsf {T}}}$و${\displaystyle WYW^{\mathsf {T}}}$مائلة. الإعداد${\displaystyle U=WV^{\mathsf {T}}}$(مصفوفة وحدوية)، المصفوفة${\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}}$هو قطري معقد. الضرب من اليسار${\displaystyle U}$بواسطة مصفوفة قطرية وحدوية مناسبة (تحافظ على وحدوية${\displaystyle U}$)، المدخلات القطرية لـ${\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}}$يمكن جعلها حقيقية وغير سالبة حسب الرغبة. لإنشاء هذه المصفوفة، نعبر عن المصفوفة القطرية على النحو التالي:${\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}$المصفوفة التي نبحث عنها تُعطى ببساطة بواسطة${\displaystyle D=\operatorname {diag} (e^{-i{\theta _{1}}/2},e^{-i{\theta _{2}}/2},\dots ,e^{-i{\theta _{n}}/2})}$من الواضح${\displaystyle DUAU^{\mathsf {T}}D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$كما هو مطلوب، لذلك نقوم بالتعديل${\displaystyle U'=DU}$بما أن مربعاتها هي القيم الذاتية لـ${\displaystyle A^{\dagger }A}$، وهي تتطابق مع القيم المفردة لـ${\displaystyle A}$(ملاحظة: حول تحليل القيم الذاتية لمصفوفة متناظرة معقدة)${\displaystyle A}$، الشكل الأردني الطبيعي لـ${\displaystyle A}$قد لا يكون قطريًا، لذلك${\displaystyle A}$(قد لا يتم تحويلها قطريًا بواسطة أي تحويل تشابه.)