الزمن المنفصل والزمن المتصل

في الديناميكيات الرياضية، يعتبر الزمن المنفصل والزمن المستمر إطارين بديلين يتم من خلالهما نمذجة المتغيرات التي تتطور بمرور الوقت.

تنظر النظرة الزمنية المنفصلة إلى قيم المتغيرات على أنها تحدث في "نقاط زمنية" منفصلة ومتميزة، أو على نحو مكافئ على أنها لم تتغير في كل منطقة غير صفرية من الزمن ("فترة زمنية") - أي أن الوقت يُنظر إليه كمتغير منفصل . وبالتالي، يقفز المتغير غير الزمني من قيمة إلى أخرى مع انتقال الوقت من فترة زمنية إلى أخرى. تتوافق هذه النظرة إلى الوقت مع ساعة رقمية تعطي قراءة ثابتة عند 10:37 لفترة من الوقت، ثم تقفز إلى قراءة ثابتة جديدة عند 10:38، وهكذا. في هذا الإطار، يتم قياس كل متغير موضع اهتمام مرة واحدة في كل فترة زمنية. عدد القياسات بين أي فترتين زمنيتين محدود. تُجرى القياسات عادةً عند قيم صحيحة متسلسلة لمتغير "الوقت".

الإشارة المنفصلة أو إشارة الوقت المنفصلة هي سلسلة زمنية تتكون من تسلسل من الكميات.

على عكس إشارة الوقت المستمر، فإن إشارة الوقت المنفصل ليست دالة لحجة مستمرة؛ ومع ذلك، فقد تم الحصول عليها من خلال أخذ عينات من إشارة وقت مستمر. عندما يتم الحصول على إشارة وقت منفصل عن طريق أخذ عينات من تسلسل في أوقات متباعدة بشكل منتظم، يكون لها معدل أخذ عينات مرتبط بها .

قد يكون لإشارات الوقت المنفصل عدة أصول، ولكن يمكن تصنيفها عادةً إلى إحدى المجموعتين: ^[1]

• من خلال الحصول على قيم الإشارة التناظرية بمعدل ثابت أو متغير. تسمى هذه العملية أخذ العينات . ^[2]
• من خلال ملاحظة عملية زمنية منفصلة بطبيعتها، مثل قيمة الذروة الأسبوعية لمؤشر اقتصادي معين.

على النقيض من ذلك، ينظر الزمن المستمر إلى المتغيرات على أنها تحمل قيمة معينة فقط لفترة زمنية قصيرة للغاية . بين أي نقطتين في الزمن يوجد عدد لا نهائي من النقاط الأخرى في الزمن. يتراوح المتغير "الزمن" على طول خط الأعداد الحقيقية بالكامل ، أو اعتمادًا على السياق، على بعض مجموعاته الفرعية مثل الأعداد الحقيقية غير السلبية. وبالتالي يُنظر إلى الزمن كمتغير مستمر .

الإشارة المستمرة أو إشارة الزمن المستمر هي كمية متغيرة ( إشارة ) يكون مجالها، والذي غالبًا ما يكون زمنًا، متصلاً (على سبيل المثال، فترة متصلة من الأعداد الحقيقية ). أي أن مجال الدالة هو مجموعة غير قابلة للعد . لا يلزم أن تكون الدالة نفسها متصلة . على النقيض من ذلك، فإن إشارة الزمن المنفصل لها مجال قابل للعد ، مثل الأعداد الطبيعية .

تُعرف الإشارة ذات السعة والزمن المستمرين باسم إشارة الزمن المستمر أو الإشارة التناظرية . سيكون لهذه ( الإشارة ) بعض القيمة في كل لحظة من الزمن. الإشارات الكهربائية المشتقة بما يتناسب مع الكميات الفيزيائية مثل درجة الحرارة والضغط والصوت وما إلى ذلك هي إشارات مستمرة بشكل عام. ومن الأمثلة الأخرى للإشارات المستمرة الموجة الجيبية وموجة جيب التمام والموجة المثلثية وما إلى ذلك.

يتم تعريف الإشارة على نطاق قد يكون أو لا يكون محدودًا، وهناك تعيين وظيفي من النطاق إلى قيمة الإشارة. إن استمرارية متغير الوقت، فيما يتعلق بقانون كثافة الأعداد الحقيقية ، تعني أنه يمكن العثور على قيمة الإشارة في أي نقطة زمنية عشوائية.

مثال نموذجي لإشارة ذات مدة لا نهائية هو:

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R} }$

يمكن أن يكون نظير المدة المحدودة للإشارة المذكورة أعلاه هو:

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]}$وغير ذلك.${\displaystyle f(t)=0}$

قد تكون قيمة الإشارة ذات المدة المحدودة (أو اللانهائية) محدودة أو غير محدودة. على سبيل المثال،

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]}$و خلاف ذلك،${\displaystyle f(t)=0}$

هي إشارة ذات مدة محدودة ولكنها تأخذ قيمة لا نهائية لـ . ${\displaystyle t=0\,}$

في العديد من التخصصات، من المتفق عليه أن الإشارة المستمرة يجب أن يكون لها دائمًا قيمة محدودة، وهو ما يكون أكثر منطقية في حالة الإشارات الفيزيائية.

ولأغراض معينة، تكون التفردات اللانهائية مقبولة طالما أن الإشارة قابلة للتكامل على أي فاصل زمني محدود (على سبيل المثال، الإشارة غير قابلة للتكامل عند اللانهاية، ولكنها قابلة للتكامل). ${\displaystyle t^{-1}}$${\displaystyle t^{-2}}$

تعتبر أي إشارة تناظرية مستمرة بطبيعتها. يمكن الحصول على إشارات الوقت المنفصلة ، ​​المستخدمة في معالجة الإشارات الرقمية ، عن طريق أخذ العينات وتكميم الإشارات المستمرة.

يمكن أيضًا تعريف الإشارة المستمرة على متغير مستقل بخلاف الزمن. متغير مستقل آخر شائع جدًا هو المساحة وهو مفيد بشكل خاص في معالجة الصور ، حيث يتم استخدام بُعدين للمساحة.

غالبًا ما يتم استخدام الوقت المنفصل عندما يتعلق الأمر بالقياسات التجريبية ، لأنه من الممكن عادةً قياس المتغيرات بشكل متسلسل فقط. على سبيل المثال، في حين أن النشاط الاقتصادي يحدث في الواقع بشكل مستمر، نظرًا لعدم وجود لحظة يتوقف فيها الاقتصاد تمامًا، فمن الممكن فقط قياس النشاط الاقتصادي بشكل منفصل. ولهذا السبب، فإن البيانات المنشورة حول الناتج المحلي الإجمالي ، على سبيل المثال، ستظهر سلسلة من القيم الفصلية .

عندما يحاول المرء تفسير مثل هذه المتغيرات تجريبياً من حيث متغيرات أخرى و/أو قيمها السابقة، فإنه يستخدم أساليب التسلسل الزمني أو الانحدار حيث يتم فهرسة المتغيرات بعلامة سفلية تشير إلى الفترة الزمنية التي حدثت فيها الملاحظة. على سبيل المثال، قد يشير y _t إلى قيمة الدخل الملحوظ في فترة زمنية غير محددة t ، و y ₃ إلى قيمة الدخل الملحوظ في الفترة الزمنية الثالثة، وهكذا.

علاوة على ذلك، عندما يحاول الباحث تطوير نظرية لشرح ما يتم ملاحظته في وقت منفصل، غالبًا ما يتم التعبير عن النظرية نفسها في وقت منفصل من أجل تسهيل تطوير سلسلة زمنية أو نموذج انحدار.

من ناحية أخرى، غالبًا ما يكون من الأسهل رياضيًا إنشاء نماذج نظرية في زمن مستمر، وغالبًا في مجالات مثل الفيزياء يتطلب الوصف الدقيق استخدام الزمن المستمر. في سياق الزمن المستمر، يتم الإشارة إلى قيمة المتغير y عند نقطة غير محددة في الوقت بـ y ( t ) أو، عندما يكون المعنى واضحًا، ببساطة y .

يستخدم الزمن المنفصل معادلات الفرق ، والمعروفة أيضًا باسم علاقات التكرار. ومن الأمثلة المعروفة باسم الخريطة اللوجستية أو المعادلة اللوجستية:

${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),}$

حيث r هو معامل في النطاق من 2 إلى 4 شاملًا، و x هو متغير في النطاق من 0 إلى 1 شاملًا، وقيمته في الفترة t تؤثر بشكل غير خطي على قيمته في الفترة التالية، t +1. على سبيل المثال، إذا و ، فبالنسبة إلى t = 1 لدينا ، وبالنسبة إلى t = 2 لدينا . ${\displaystyle r=4}$${\displaystyle x_{1}=1/3}$${\displaystyle x_{2}=4(1/3)(2/3)=8/9}$${\displaystyle x_{3}=4(8/9)(1/9)=32/81}$

هناك مثال آخر يوضح تعديل السعر P استجابة للطلب الزائد غير الصفري على منتج ما، على النحو التالي:

${\displaystyle P_{t+1}=P_{t}+\delta \cdot f(P_{t},...)}$

أين هي معامل سرعة التعديل الإيجابي الذي يكون أقل من أو يساوي 1، و أين هي دالة الطلب الزائد . ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle f}$

يستخدم الوقت المستمر المعادلات التفاضلية . على سبيل المثال، يمكن نمذجة تعديل السعر P استجابةً للطلب الزائد غير الصفري على منتج ما في الوقت المستمر على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=\lambda \cdot f(P,...)}$

حيث أن الجانب الأيسر هو المشتق الأول للسعر بالنسبة للزمن (أي معدل تغير السعر)، وهو معامل سرعة التعديل الذي يمكن أن يكون أي عدد موجب منتهٍ، وهو مرة أخرى دالة الطلب الزائد. ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle f}$

يمكن رسم متغير يقاس في وقت منفصل كدالة متدرجة ، حيث يتم إعطاء كل فترة زمنية منطقة على المحور الأفقي بنفس طول كل فترة زمنية أخرى، ويتم رسم المتغير المقاس كارتفاع يظل ثابتًا في جميع أنحاء منطقة الفترة الزمنية. في هذه التقنية الرسومية، يظهر الرسم البياني كتسلسل من الخطوات الأفقية. بدلاً من ذلك، يمكن عرض كل فترة زمنية كنقطة منفصلة في الوقت، عادةً عند قيمة عددية صحيحة على المحور الأفقي، ويتم رسم المتغير المقاس كارتفاع فوق نقطة المحور الزمني تلك. في هذه التقنية، يظهر الرسم البياني كمجموعة من النقاط.

يتم رسم قيم المتغير المقاسة في زمن مستمر كدالة مستمرة ، حيث يُعتبر مجال الزمن هو المحور الحقيقي بأكمله أو على الأقل جزءًا متصلًا منه.

• جيرشنفيلد، نيل أ. (1999). طبيعة النمذجة الرياضية . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-57095-6.

• فاغنر، توماس تشارلز جوردون (1959). العابرات التحليلية . وايلي.