الكسور الجبرية

في الجبر ، الكسر الجبري هو كسر يكون بسطه ومقامه تعبيرين جبريين . ومن أمثلة الكسور الجبرية:${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$و${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$تخضع الكسور الجبرية لنفس القوانين التي تخضع لها الكسور الحسابية .

الكسر النسبي هو كسر جبري يكون بسطه ومقامه كلاهما كثيرات حدود .${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$هو كسر نسبي، ولكن ليس${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},}$لأن البسط يحتوي على دالة الجذر التربيعي.

في الكسور الجبرية${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$يُسمى المقسوم (أ) البسط، ويُسمى المقسوم عليه ( ب ) المقام . ويُطلق على البسط والمقام اسم حدود الكسر الجبري.

الكسر المركب هو كسر يحتوي بسطه أو مقامه، أو كلاهما، على كسر. أما الكسر البسيط فلا يحتوي على كسر في بسطه أو مقامه. ويكون الكسر في أبسط صورة إذا كان العامل المشترك الوحيد بين بسطه ومقامه هو 1.

التعبير الذي لا يكون في صورة كسرية هو تعبير صحيح . يمكن دائمًا كتابة التعبير الصحيح في صورة كسرية بجعل مقامه 1. التعبير المختلط هو المجموع الجبري لتعبير صحيح واحد أو أكثر وحد كسري واحد أو أكثر.

إذا كانت التعبيرات a و b كثيرات حدود ، فإن الكسر الجبري الناتج يُسمى كسرًا جبريًا نسبيًا ^{[ 1 ]} أو ببساطة كسرًا نسبيًا . ^{[ 2 ] [ 3 ]} تُعرف الكسور النسبية أيضًا بالتعبيرات النسبية.${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$يُطلق عليه اسم مناسب إذا${\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)}$وإلا فهو غير صحيح . على سبيل المثال، الكسر النسبي${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$صحيح، والكسور النسبية${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$و${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$هي كسور غير فعلية. يمكن التعبير عن أي كسر نسبي غير فعلي كمجموع كثير حدود (قد يكون ثابتًا) وكسر نسبي فعلي. في المثال الأول لكسر غير فعلي لدينا

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

حيث يكون الحد الثاني كسرًا نسبيًا حقيقيًا. ومجموع كسرين نسبيين حقيقيين هو أيضًا كسر نسبي حقيقي. وتُسمى العملية العكسية للتعبير عن كسر نسبي حقيقي كمجموع كسرين أو أكثر بتحليله إلى كسور جزئية . على سبيل المثال،

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

هنا، يُطلق على الحدين الموجودين على اليمين اسم الكسور الجزئية.

الكسر غير النسبي هو الكسر الذي يحتوي على المتغير تحت أس كسري. ^{[ 4 ]} مثال على الكسر غير النسبي هو

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

تُعرف عملية تحويل الكسر غير النسبي إلى كسر نسبي بالترشيد . يمكن ترشيد أي كسر غير نسبي تكون جذوره أحادية الحد بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأسس الجذور، واستبدال المتغير بمتغير آخر يكون أسه هو المضاعف المشترك الأصغر. في المثال المذكور، المضاعف المشترك الأصغر هو 6، لذا يمكننا استبداله بـ 6.${\displaystyle x=z^{6}}$للحصول على

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

• التحلل الجزئي

• برينك، ريموند دبليو. (1951). "الرابع. الكسور" . الجبر الجامعي .