أحادي الحد

في الرياضيات ، الحد الأحادي هو، بشكل عام، كثير حدود يتكون من حد واحد فقط . ويمكن إيجاد تعريفين للحد الأحادي:

1. الحد الأحادي، ويُسمى أيضًا حاصل ضرب القوى أو الحد الأحادي الأولي ، ^{[ 1 ]} هو حاصل ضرب قوى متغيرات ذات أسس صحيحة غير سالبة ، أو بعبارة أخرى، حاصل ضرب متغيرات، وقد يتضمن تكرارات. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال،${\displaystyle x^{2}yz^{3}=xxyzzz}$هو حدّ واحد. الثابت${\displaystyle 1}$هو حدّ أحادي أولي، يساوي حاصل الضرب الفارغ و${\displaystyle x^{0}}$أي متغير${\displaystyle x}$إذا كان هناك متغير واحد فقط${\displaystyle x}$إذا أخذنا ذلك في الاعتبار، فهذا يعني أن الحد الوحيد إما${\displaystyle 1}$أو قوة${\displaystyle x^{n}}$ل${\displaystyle x}$، مع${\displaystyle n}$عدد صحيح موجب. إذا تم أخذ عدة متغيرات في الاعتبار، على سبيل المثال،${\displaystyle x,y,z,}$عندئذٍ يمكن إعطاء كل منها أسًا بحيث يكون أي حد أحادي من الشكل${\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}}$مع${\displaystyle a,b,c}$الأعداد الصحيحة غير السالبة (مع ملاحظة أن أي أس${\displaystyle 0}$يجعل العامل المقابل مساوياً لـ${\displaystyle 1}$).
2. الحد الأحادي بالمعنى الأول يُضرب بثابت غير صفري، يُسمى معامل الحد الأحادي. ^{[ 1 ]} الحد الأحادي الأولي هو حالة خاصة من الحد الأحادي بهذا المعنى الثاني، حيث يكون المعامل${\displaystyle 1}$على سبيل المثال، في هذا التفسير،${\displaystyle -7x^{5}}$و${\displaystyle (3-4i)x^{4}yz^{13}}$هي أحاديات (في المثال الثاني، المتغيرات هي${\displaystyle x,y,z,}$والمعامل عدد مركب ).

في سياق كثيرات حدود لوران ومتسلسلات لوران ، قد تكون أسس أحادية الحد سالبة، وفي سياق متسلسلات بويزو ، قد تكون الأسس أعدادًا نسبية .

في التحليل الرياضي ، من الشائع النظر إلى كثيرات الحدود المكتوبة بدلالة متغير مُزاح.${\displaystyle {\bar {x}}=xc}$لبعض الثوابت${\displaystyle c}$بدلاً من متغير${\displaystyle x}$بمفردها، كما هو الحال في دراسة متسلسلات تايلور . ^{[ 3 ] [ 4 ]} وباستخدام تبسيط طفيف للرموز ، يمكن استخدام أحاديات الحدود ذات المتغيرات المُزاحة، على سبيل المثال${\displaystyle 2{\bar {x}}^{3}=2(xc)^{3},}$يمكن تسميتها بالحدود الأحادية بمعنى الحدود الأحادية المزاحة أو الحدود الأحادية المركزية ، حيث${\displaystyle c}$هل هو المركز أم${\displaystyle -c}$هذا هو التحول .

بما أن كلمة "أحادي الحد" وكلمة "متعدد الحدود" مشتقتان من الكلمة اللاتينية المتأخرة "binomium" (ثنائي الحد)، فبتغيير البادئة "bi-" (اثنان باللاتينية)، يُفترض نظريًا أن يُطلق على أحادي الحد اسم "أحادي الحد". و"أحادي الحد" هي اختصار لكلمة "أحادي الحد" عن طريق التكرار الجزئي . ^{[ 5 ]}

بغض النظر عن التعريف، فإن مجموعة أحاديات الحدود هي مجموعة جزئية من جميع كثيرات الحدود المغلقة تحت الضرب.

يمكن إيجاد كلا الاستخدامين لهذا المفهوم، وفي كثير من الحالات يُتجاهل التمييز بينهما، انظر على سبيل المثال أمثلة للمعنى الأول ^{[ 6 ]} والمعنى الثاني ^{[ 7 ]} . في المناقشات غير الرسمية، نادرًا ما يكون التمييز مهمًا، ويميل المرء إلى استخدام المعنى الثاني الأوسع. مع ذلك، عند دراسة بنية كثيرات الحدود، غالبًا ما يحتاج المرء إلى مفهوم بالمعنى الأول. هذا هو الحال، على سبيل المثال، عند النظر في أساس أحادي الحد لحلقة كثيرات الحدود ، أو ترتيب أحادي الحد لهذا الأساس. من الحجج المؤيدة للمعنى الأول أنه لا يوجد مفهوم آخر واضح متاح للدلالة على هذه القيم، على الرغم من أن مصطلح "أحادي الحد الأولي" مستخدم، وهو ما يوضح غياب الثوابت. ^{[ 1 ]}

بقية هذا المقال تفترض المعنى الأول لكلمة "أحادي الحد".

إن أبرز حقيقة تتعلق بالحدود الأحادية (بمعناها الأول) هي أن أي متعددة حدود هي عبارة عن توليفة خطية منها ^{[ 8 ] [ 9 ]} ، لذا فهي تشكل أساسًا للفضاء المتجهي لجميع متعددات الحدود، والذي يُسمى أساس الحدود الأحادية - وهي حقيقة ذات استخدام ضمني دائم في الرياضيات. ^{[ 10 ]}

عدد وحيدات الحدود من الدرجة${\displaystyle d}$في${\displaystyle n}$المتغيرات هي عدد التوليفات المتعددة لـ${\displaystyle d}$العناصر المختارة من بين${\displaystyle n}$المتغيرات (يمكن اختيار المتغير أكثر من مرة، لكن الترتيب غير مهم)، والتي يتم تحديدها بواسطة معامل المجموعة المتعددة${\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)}$يمكن أيضًا التعبير عن هذا التعبير في صورة معامل ذي حدين ، أو كتعبير متعدد الحدود في${\displaystyle d}$أو باستخدام قوة عاملية متزايدة لـ${\displaystyle d+1}$:

${\displaystyle \left(\!\!{\binom {n}{d}}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.}$

تُعدّ هذه الصيغ الأخيرة مفيدةً بشكلٍ خاص عند تثبيت عدد المتغيرات والسماح بتغيّر الدرجة. من هذه الصيغ، يتضح أنه بالنسبة لقيمة n ثابتة ، فإن عدد أحاديات الحدود من الدرجة d هو تعبير متعدد الحدود في${\displaystyle d}$درجة علمية${\displaystyle n-1}$بمعامل رئيسي${\textstyle {\frac {1}{(n-1)!}}}$.

على سبيل المثال، عدد الحدود الأحادية في ثلاثة متغيرات (${\displaystyle n=3}$) من الدرجة د هو${\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}={\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)}$تشكل هذه الأرقام التسلسل 1، 3، 6، 10، 15، ... من الأعداد المثلثية .

تُعدّ متسلسلة هيلبرت طريقةً مختصرةً للتعبير عن عدد وحيدات الحدود من درجة معينة: عدد وحيدات الحدود من الدرجة${\displaystyle d}$في${\displaystyle n}$المتغيرات هي معامل الدرجة${\displaystyle d}$من توسيع سلسلة القوى الرسمية لـ

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{n}}}.}$

عدد الحدود الجبرية من الدرجة d على الأكثر في n متغيرًا هو${\textstyle {\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}}$وينتج هذا عن التناظر الأحادي بين أحاديات الدرجة${\displaystyle d}$في${\displaystyle n+1}$المتغيرات والحدود الأحادية من الدرجة على الأكثر${\displaystyle d}$في${\displaystyle n}$المتغيرات، والتي تتمثل في استبدال المتغير الإضافي بـ 1.

يُعدّ استخدام الترميز متعدد المؤشرات مفيدًا غالبًا للحصول على ترميز مُختصر، خاصةً عند وجود أكثر من متغيرين أو ثلاثة. إذا كانت المتغيرات المستخدمة تُشكّل عائلة مُفهرسة مثل${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,}$يمكن للمرء أن يضبط

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ),}$

و

${\displaystyle \alpha =(a,b,c,\ldots ).}$

ثم الحد الأحادي

${\displaystyle x_{1}^{a}x_{2}^{b}x_{3}^{c}\cdots }$

يمكن كتابتها بإيجاز على النحو التالي:

${\displaystyle x^{\alpha }.}$

باستخدام هذه الصيغة، يتم التعبير عن حاصل ضرب حدين أحاديين ببساطة عن طريق جمع متجهات الأسس:

${\displaystyle x^{\alpha }x^{\beta }=x^{\alpha +\beta }.}$

تُعرَّف درجة الحد الأحادي بأنها مجموع جميع أسس المتغيرات، بما في ذلك الأسس الضمنية التي تساوي 1 للمتغيرات التي تظهر بدون أس؛ على سبيل المثال، في مثال القسم السابق، تكون الدرجة هي${\displaystyle a+b+c}$درجة${\displaystyle xyz^{2}}$1+1+2=4. درجة الثابت غير الصفري هي 0. على سبيل المثال، درجة -7 هي 0. ^{[ 11 ]}

تُسمى درجة الحد الواحد أحيانًا بالرتبة، خاصةً في سياق المتسلسلات. كما تُسمى بالدرجة الكلية عند الحاجة إلى تمييزها عن درجة أحد المتغيرات.

تُعدّ درجة أحادية الحدّ أساسيةً في نظرية كثيرات الحدود أحادية المتغير ومتعددة المتغيرات. فعلى وجه التحديد، تُستخدم لتحديد درجة كثيرة الحدود ومفهوم كثيرة الحدود المتجانسة ، وكذلك لترتيبات أحادية الحدّ المتدرجة المستخدمة في صياغة وحساب قواعد غروبنر . أما ضمنيًا، فتُستخدم في تجميع حدود متسلسلة تايلور في عدة متغيرات .

في الهندسة الجبرية، تُعرَّف المتنوعات بواسطة المعادلات أحادية الحد.${\displaystyle x^{\alpha }=0}$تتمتع بعض مجموعات α بخصائص تجانس خاصة. ويمكن التعبير عن ذلك بلغة الزمر الجبرية ، من حيث وجود تأثير زمر على سطح حلقي جبري (أو ما يكافئه زمرة ضربية من المصفوفات القطرية ). ويُعرف هذا المجال باسم تضمينات السطح الحلقي .

• التمثيل الأحادي
• مصفوفة أحادية الحد
• متعددة الحدود المتجانسة
• وظيفة متجانسة
• الشكل متعدد الخطية
• رسم بياني لوغاريتمي مزدوج
• قانون القوة
• متعدد الحدود المتفرق