التحلل الجزئي

يوجد كثيرتا حدود E و F _بحيث$${\displaystyle {\frac {F}{G}}=E+{\frac {F_{1}}{G}},}$$ و $${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G,}$$ أين${\displaystyle \deg P}$يشير إلى درجة متعددة الحدود P.

ينتج هذا مباشرةً عن القسمة الإقليدية لـ F على G ، والتي تؤكد وجود E و F ₁ بحيث${\displaystyle F=EG+F_{1}}$و${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G.}$

وهذا يسمح بافتراض في الخطوات التالية أن${\displaystyle \deg F<\deg G.}$

لو${\displaystyle \deg F<\deg G,}$و $${\displaystyle G=G_{1}G_{2},}$$ إذا كانت G1 و G2 كثيرتي حدود أوليتين فيما بينهما _{، فإنه} توجد كثيرات حدود${\displaystyle F_{1}}$و${\displaystyle F_{2}}$بحيث $${\displaystyle {\frac {F}{G}}={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}},}$$ و $${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}\quad {\text{and}}\quad \deg F_{2}<\deg G_{2}.}$$

يمكن إثبات ذلك على النحو التالي. تؤكد متطابقة بيزو وجود كثيرتي حدود C و D بحيث $${\displaystyle CG_{1}+DG_{2}=1}$$ (بحسب الفرضية، فإن 1 هو القاسم المشترك الأكبر لـ G ₁ و G ₂ ).

يترك${\displaystyle DF=G_{1}Q+F_{1}}$مع${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}}$ليكن التقسيم الإقليدي لـ DF بواسطة${\displaystyle G_{1}.}$جلسة ${\displaystyle F_{2}=CF+QG_{2},}$يحصل المرء $$\begin{aligned}{\frac {F}{G}}&={\frac {F(CG_{1}+DG_{2})}{G_{1}G_{2}}}={\frac {DF}{G_{1}}}+{\frac {CF}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}+G_{1}Q}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}-G_{2}Q}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+Q+{\frac {F_{2}}{G_{2}}}-Q\\&={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}}.\end{aligned}}}$$ يبقى أن نثبت ذلك${\displaystyle \deg F_{2}<\deg G_{2}.}$عن طريق اختزال مجموع الكسور الأخير إلى مقام مشترك، نحصل على ${\displaystyle F=F_{2}G_{1}+F_{1}G_{2},}$ وبالتالي $${\displaystyle {\begin{align}\deg F_{2}&=\deg(F-F_{1}G_{2})-\deg G_{1}\leq \max(\deg F,\deg(F_{1}G_{2}))-\deg G_{1}\\&<\max(\deg G,\deg(G_{1}G_{2}))-\deg G_{1}=\deg G_{2}\end{محاذاة}}}$$

باستخدام التفكيك السابق استقرائيًا، نحصل على كسور من الشكل${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}},}$مع${\displaystyle \deg F<\deg G^{k}=k\deg G,}$حيث G متعددة حدود غير قابلة للاختزال . إذا كان k > 1 ، فيمكن تحليلها بشكل أكبر، باستخدام حقيقة أن متعددة الحدود غير القابلة للاختزال هي متعددة حدود خالية من المربعات ، أي${\displaystyle 1}$هو القاسم المشترك الأكبر لكثير الحدود ومشتقته . إذا${\displaystyle G'}$بما أن G مشتقة من G ، فإن متطابقة بيزو توفر كثيرتي الحدود C و D بحيث${\displaystyle CG+DG'=1}$وبالتالي${\displaystyle F=FCG+FDG'.}$التقسيم الإقليدي لـ${\displaystyle FDG'}$بواسطة${\displaystyle G}$ أعطِ كثيرات الحدود${\displaystyle H_{k}}$و${\displaystyle Q}$بحيث${\displaystyle FDG'=QG+H_{k}}$و${\displaystyle \deg H_{k}<\deg G.}$جلسة${\displaystyle F_{k-1}=FC+Q,}$يحصل المرء $${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}}={\frac {H_{k}}{G^{k}}}+{\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}},}$$ مع${\displaystyle \deg H_{k}<\deg G.}$

تكرار هذه العملية مع${\displaystyle {\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}}}$بدلاً من${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}}}$ويؤدي ذلك في النهاية إلى النظرية التالية.

يمكن إثبات التفرد كما يلي: ليكن d = max(1 + deg f , deg g ) . إجمالاً، يمتلك كل من b و a _ij عدد d من المعاملات. يحدد شكل التفكيك تطبيقًا خطيًا من متجهات المعاملات إلى كثيرات الحدود f من درجة أقل من d . يعني إثبات الوجود أن هذا التطبيق شامل . ولأن فضاءي المتجهات لهما نفس البعد، فإن التطبيق أيضًا أحادي ، مما يعني تفرد التفكيك. بالمناسبة، يُنتج هذا البرهان خوارزمية لحساب التفكيك باستخدام الجبر الخطي .

إذا كان K هو حقل الأعداد المركبة ، فإن النظرية الأساسية للجبر تنص على أن جميع pᵢ _لها درجة واحدة، وجميع البسط${\displaystyle a_{ij}}$هي ثوابت. عندما يكون K هو حقل الأعداد الحقيقية ، قد يكون بعض p _i تربيعيًا، لذلك، في تحليل الكسور الجزئية، قد تظهر أيضًا نواتج قسمة كثيرات الحدود الخطية على قوى كثيرات الحدود التربيعية.

في النظرية السابقة، يمكن استبدال عبارة "كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال المتميزة" بعبارة " _كثيرات الحدود الأولية فيما بينها ، والتي تكون أولية فيما بينها مع مشتقتها". على سبيل المثال، قد تكون pᵢ عوامل تحليل الدالة g إلى عواملها الأولية الخالية من المربعات . عندما يكون K حقل الأعداد النسبية ، كما هو الحال عادةً في الجبر الحاسوبي ، يسمح هذا باستبدال التحليل إلى عوامل أولية بحساب القاسم المشترك الأكبر لحساب تحليل الكسور الجزئية.

في مثال تطبيقي لهذه العملية، يمكن تحليل ( 3x + 5)/(1 − 2x ) ^{² إلى الشكل التالي:}

$${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{(1-2x)}}.}$$

بتفريغ المقامات، يتضح أن 3x + 5 = A + B (1 − 2x ) . بفك الكسر ومساواة معاملات قوى x، نحصل على

بحل نظام المعادلات الخطية هذا لإيجاد قيمتي A و B ، نحصل على A = 13/2 و B = −3/2 . ومن ثم،

$${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}.}$$

على الأعداد المركبة، لنفترض أن f ( x ) عبارة عن كسر نسبي حقيقي، ويمكن تحليله إلى

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i}\left({\frac {a_{i1}}{x-x_{i}}}+{\frac {a_{i2}}{(x-x_{i})^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{ik_{i}}}{(x-x_{i})^{k_{i}}}}\right).}$$

يترك $${\displaystyle g_{ij}(x)=(x-x_{i})^{j-1}f(x),}$$ وبناءً على تفرد متسلسلة لوران ، فإن a _{_ij} هو معامل الحد ( x - x_{_i} ) ^{- 1} في مفكوك لوران للدالة g _{_ij} ( x ) حول النقطة x _{_i}، أي باقيها.$${\displaystyle a_{ij}=\operatorname {Res} (g_{ij},x_{i}).}$$

وهذا يُعطى مباشرة من خلال الصيغة $${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{(k_{i}-j)!}}\lim _{x\to x_{i}}{\frac {d^{k_{i}-j}}{dx^{k_{i}-j}}}\left((x-x_{i})^{k_{i}}f(x)\right),}$$ أو في الحالة الخاصة عندما يكون x _i جذرًا بسيطًا، $${\displaystyle a_{i1}={\frac {P(x_{i})}{Q'(x_{i})}},}$$ متى $${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.}$$

يترك${\displaystyle f(x)}$لتكن أي دالة كسرية على الأعداد الحقيقية . بعبارة أخرى، لنفترض وجود دوال كثيرة الحدود حقيقية${\displaystyle p(x)}$و${\displaystyle q(x)\neq 0}$بحيث $${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}}$$

بقسمة كل من البسط والمقام على المعامل الرئيسي لـ${\displaystyle q(x)}$، يمكننا أن نفترض دون فقدان للعمومية أن${\displaystyle q(x)}$هي أحادية . وفقًا للنظرية الأساسية للجبر ، يمكننا كتابة

$${\displaystyle q(x)=(x-a_{1})^{j_{1}}\cdots (x-a_{m})^{j_{m}}(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{k_{1}}\cdots (x^{2}+b_{n}x+c_{n})^{k_{n}}}$$

أين${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}$،${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$،${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}}$هي أعداد حقيقية${\displaystyle b_{i}^{2}-4c_{i}<0}$، و${\displaystyle j_{1},\dots ,j_{m}}$،${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$هي أعداد صحيحة موجبة.${\displaystyle (x-a_{i})}$هي العوامل الخطية لـ${\displaystyle q(x)}$والتي تتوافق مع الجذور الحقيقية لـ${\displaystyle q(x)}$والشروط${\displaystyle (x_{i}^{2}+b_{i}x+c_{i})}$هي العوامل التربيعية غير القابلة للاختزال لـ${\displaystyle q(x)}$والتي تتوافق مع أزواج الجذور المترافقة المعقدة لـ ${\displaystyle q(x)}$.

ثم تحليل الكسور الجزئية لـ${\displaystyle f(x)}$ وهو كالتالي:

$${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}=P(x)+\sum _{i=1}^{m}\sum _{r=1}^{j_{i}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i})^{r}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i})^{r}}}}$$

هنا، P ( x ) هي دالة كثيرة الحدود (قد تكون قيمتها صفرًا)، و A _{_ir} و B _{_ir} و C _{_ir} ثوابت حقيقية. ويمكن إيجاد هذه الثوابت بعدة طرق.

أبسط طريقة هي الضرب في المقام المشترك q ( x ). نحصل بذلك على معادلة متعددة الحدود، طرفها الأيسر هو p ( x ) فقط، وطرفها الأيمن معاملاته تعبيرات خطية للثوابت A _{_ir} و B _{_ir} و C _{_ir} . بما أن كثيرتي حدود متساويتان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما المتناظرة متساوية، يمكننا مساواة معاملات الحدود المتشابهة . بهذه الطريقة، نحصل على نظام معادلات خطية له حل وحيد دائمًا . يمكن إيجاد هذا الحل باستخدام أي من الطرق القياسية في الجبر الخطي ، كما يمكن إيجاده باستخدام النهايات (انظر المثال 5 ).

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}}$$

هنا، ينقسم المقام إلى عاملين خطيين متميزين:

$${\displaystyle q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)}$$

إذن لدينا تحليل الكسور الجزئية

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}}$$

بضرب طرفي المعادلة في المقام الموجود على الجانب الأيسر نحصل على متطابقة كثير الحدود

$${\displaystyle 1=A(x-1)+B(x+3)}$$

بالتعويض عن x = −3 في هذه المعادلة نحصل على A = −1/4، وبالتعويض عن x = 1 نحصل على B = 1/4، وبالتالي

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)}$$

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}}$$

بعد القسمة المطولة ، لدينا

$${\displaystyle f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}$$

العامل x² ^- 4x + 8 غير قابل للاختزال على مجموعة الأعداد الحقيقية، لأن مميزه (-4) ^² - 4 × 8 = -16 سالب. وبالتالي، فإن تحليل الكسور الجزئية على مجموعة الأعداد الحقيقية يكون بالشكل التالي :

$${\displaystyle {\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}}$$

بضرب طرفي المعادلة في ^x³ - 4x² + 8x ^، نحصل على متطابقة كثيرة الحدود

$${\displaystyle 4x^{2}-8x+16=A\left(x^{2}-4x+8\right)+\left(Bx+C\right)x}$$

بأخذ x = 0 ، نجد أن 16 = 8A ، وبالتالي A = 2. وبمقارنة معاملات x² ^، نجد أن 4 = A + B = 2 + B ، وبالتالي B = 2. وبمقارنة المعاملات الخطية، نجد أن -8 = -4A + C = -8 + C ، وبالتالي C = 0. إجمالاً،

$${\displaystyle f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)}$$

يمكن تحليل الكسر بالكامل باستخدام الأعداد المركبة . وفقًا للنظرية الأساسية في الجبر، فإن كل كثيرة حدود مركبة من الدرجة n لها n جذرًا (مركبًا) (قد يتكرر بعضها). يمكن تحليل الكسر الثاني إلى:

$${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}-4x+8}}={\frac {D}{x-(2+2i)}}+{\frac {E}{x-(2-2i)}}}$$

بضرب طرفي المعادلة في المقام نحصل على:

$${\displaystyle x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i))}$$

بمساواة معاملات x والمعاملات الثابتة (بالنسبة إلى x ) لكلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على نظام من معادلتين خطيتين في D و E ، وحلهما هو

$${\displaystyle D={\frac {1+i}{2i}}={\frac {1-i}{2}},\qquad E={\frac {1-i}{-2i}}={\frac {1+i}{2}}.}$$

وهكذا نحصل على تفكيك كامل:

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {2}{x}}+{\frac {1-i}{x-(2+2i)}}+{\frac {1+i}{x-(2-2i)}}}$$

يمكن أيضًا حساب A و D و E مباشرة باستخدام طريقة البقايا (انظر أيضًا المثال 4 أدناه).

يوضح هذا المثال تقريبًا جميع "الحيل" التي قد نحتاج إلى استخدامها، باستثناء الرجوع إلى نظام جبر حاسوبي .

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}}$$

بعد القسمة المطولة وتحليل المقام ، نحصل على

$${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}}$$

يأخذ تحليل الكسور الجزئية الشكل التالي:

$${\displaystyle {\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$$

بضرب طرفي المعادلة في المقام الموجود على الجانب الأيسر، نحصل على متطابقة كثير الحدود

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+C\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+E\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(Fx+G\right)\left(x-1\right)^{3}\end{aligned}}}$$

والآن نستخدم قيمًا مختلفة لـ x لحساب المعاملات:

$${\displaystyle {\begin{cases}4=4C&x=1\\2+2i=(Fi+G)(2+2i)&x=i\\0=A-B+C-E-G&x=0\end{cases}}}$$

وبحل هذه المسألة لدينا:

$${\displaystyle {\begin{cases}C=1\\F=0,G=1\\E=A-B\end{cases}}}$$

باستخدام هذه القيم يمكننا كتابة ما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+\left(A-B\right)\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(x-1\right)^{3}\\[4pt]={}&\left(A+D\right)x^{6}+\left(-A-3D\right)x^{5}+\left(2B+4D+1\right)x^{4}+\left(-2B-4D+1\right)x^{3}+\left(-A+2B+3D-1\right)x^{2}+\left(A-2B-D+3\right)x\end{aligned}}}$$

نقارن معاملات x ⁶ و x ⁵ على كلا الجانبين، فنحصل على:

$${\displaystyle {\begin{cases}A+D=2\\-A-3D=-4\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad A=D=1.}$$

لذلك:

$${\displaystyle 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=2x^{6}-4x^{5}+(2B+5)x^{4}+(-2B-3)x^{3}+(2B+1)x^{2}+(-2B+3)x}$$

مما يعطينا B = 0. وبالتالي، فإن تحليل الكسور الجزئية يُعطى بالصيغة التالية:

$${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$$

بدلاً من ذلك، بدلاً من التوسع، يمكن الحصول على علاقات خطية أخرى على المعاملات عن طريق حساب بعض المشتقات عند${\displaystyle x=1,\imath }$في متطابقة كثير الحدود المذكورة أعلاه. (ولتحقيق هذه الغاية، تذكر أن مشتقة ( x - a ) ^mp ( x ) عند x = a تتلاشى إذا كان m > 1، وتكون p ( a ) فقط عندما m = 1). على سبيل المثال ، تعطي المشتقة الأولى عند x = 1

$${\displaystyle 2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (4+0)+8+D\cdot 0}$$

أي أن 8 = 4 ب + 8، لذا ب = 0.

$${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}-5}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}={\frac {z^{2}-5}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)}}}$$

وبالتالي، يمكن تحليل الدالة f ( z ) إلى دوال كسرية مقاماتها هي z + 1، z - 1، z + i، z - i. وبما أن كل حد من حدودها مرفوع للأس واحد، فإن -1، 1، -i، و i هي أقطاب بسيطة.

وبالتالي، فإن البواقي المرتبطة بكل قطب، معطاة بواسطة $${\displaystyle {\frac {P(z_{i})}{Q'(z_{i})}}={\frac {z_{i}^{2}-5}{4z_{i}^{3}}},}$$ نكون $${\displaystyle 1,-1,{\tfrac {3i}{2}},-{\tfrac {3i}{2}},}$$ على التوالي، و

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1}}-{\frac {1}{z-1}}+{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z+i}}-{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z-i}}.}$$

يمكن استخدام النهايات لإيجاد تحليل الكسور الجزئية. ^{[ 4 ]} انظر المثال التالي:

$${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}}$$

أولاً، قم بتحليل المقام الذي يحدد عملية التفكيك:

$${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}.}$$

ضرب كل شيء في${\displaystyle x-1}$وأخذ الحد الأقصى عندما${\displaystyle x\to 1}$، نحصل

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}\left((x-1)\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)\right)=\lim _{x\to 1}A+\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(Bx+C)}{x^{2}+x+1}}=A.}$$

على الجانب الآخر،

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}={\frac {1}{3}},}$$

وبالتالي:

$${\displaystyle A={\frac {1}{3}}.}$$

الضرب في x وأخذ النهاية عندما${\displaystyle x\to \infty }$لدينا

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {Ax}{x-1}}+\lim _{x\to \infty }{\frac {Bx^{2}+Cx}{x^{2}+x+1}}=A+B,}$$

و

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=0.}$$

وهذا يعني أن A + B = 0 وبالتالي${\displaystyle B=-{\frac {1}{3}}}$.

بالنسبة لـ x = 0 ، نحصل على ${\displaystyle -1=-A+C,}$وبالتالي ${\displaystyle C=-{\tfrac {2}{3}}}$.

بجمع كل شيء معًا، نحصل على التحلل

$${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{x-1}}+{\frac {-x-2}{x^{2}+x+1}}\right).}$$

لنفترض أن لدينا التكامل غير المحدد :

$${\displaystyle \int {\frac {x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x-2}}\,dx}$$

قبل إجراء عملية التحليل، من البديهي أن نجري عملية القسمة المطولة لكثير الحدود ونحلل المقام. سيؤدي ذلك إلى:

$${\displaystyle \int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx}$$

وبناءً على ذلك، يمكننا الآن إجراء تحليل الكسور الجزئية.

$${\displaystyle \int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx=\int \left(x^{2}+3+{\frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x-1)}}\right)dx}$$ لذا: $${\displaystyle A(x-1)+B(x+2)=-3x+7}$$عند استبدال قيمنا، في هذه الحالة، حيث x=1 لحل المعادلة B و x=-2 لحل المعادلة A، سنحصل على:

$${\displaystyle A={\frac {-13}{3}}\ ,B={\frac {4}{3}}}$$

بإدخال كل هذا مرة أخرى في التكامل، يمكننا إيجاد الإجابة:

$${\displaystyle \int \left(x^{2}+3+{\frac {-13/3}{(x+2)}}+{\frac {4/3}{(x-1)}}\right)\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln(|x+2|)+{\frac {4}{3}}\ln(|x-1|)+C}$$

يُشير تحليل الكسور الجزئية المذكور أعلاه، لكل 1  ≤ i ≤ r ، إلى توسيع متعدد الحدود   

$${\displaystyle {\frac {P}{Q_{i}}}=A_{i}+O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},}$$

لذا${\displaystyle A_{i}}$هي متعددة حدود تايلور لـ${\displaystyle {\tfrac {P}{Q_{i}}}}$بسبب تفرد التوسع متعدد الحدود من الرتبة${\displaystyle \nu _{i}-1}$وبافتراض${\displaystyle \deg A_{i}<\nu _{i}}$.

وعلى العكس من ذلك، إذا${\displaystyle A_{i}}$هي كثيرات حدود تايلور، والتوسعات المذكورة أعلاه عند كل${\displaystyle \lambda _{i}}$لذلك لدينا أيضًا

$${\displaystyle P-Q_{i}A_{i}=O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},}$$

مما يعني أن متعددة الحدود${\displaystyle P-Q_{i}A_{i}}$يقبل القسمة على${\displaystyle (x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

ل${\displaystyle j\neq i,Q_{j}A_{j}}$يقبل القسمة أيضًا على${\displaystyle (x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$، لذا

$${\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}}$$

يقبل القسمة على${\displaystyle Q}$. منذ

$${\displaystyle \deg \left(P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}\right)<\deg(Q)}$$

ثم لدينا

$${\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}=0,}$$

ونجد تحليل الكسور الجزئية بقسمة على${\displaystyle Q}$.