الترشيد (الرياضيات)

في الجبر الابتدائي ، ترشيد الجذر (أو الترشيد ) هو عملية يتم من خلالها التخلص من الجذور في مقام الكسر الجبري .

إذا كان المقام حدًا وحيدًا في جذر ما، على سبيل المثال${\displaystyle a{\sqrt[{n}]{x}}^{k},}$عندما يكون k < n ، فإن عملية الترشيد تتكون من ضرب البسط والمقام في${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}^{nk}}$واستبدالها${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}^{n}}$بواسطة x (هذا مسموح به، لأنه بحسب التعريف، الجذر النوني لـ x هو عدد يكون x أسه النوني ). إذا كان k ≥ n ، يُكتب k = qn + r حيث 0 ≤ r < n ( القسمة الإقليدية )، و${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}^{k}=x^{q}{\sqrt[{n}]{x}}^{r};}$ثم يتابع المرء كما سبق بضربه في${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}^{nr}.}$

إذا كان المقام خطيًا بالنسبة لجذر تربيعي ما، على سبيل المثال${\displaystyle a+b{\sqrt {x}},}$تتضمن عملية الترشيد ضرب البسط والمقام في المرافق.${\displaystyle ab{\sqrt {x}},}$وتوسيع الناتج في المقام.

يمكن تطبيق هذه الطريقة على أي مقام جبري، وذلك بضرب البسط والمقام بجميع المرافقات الجبرية للمقام، ثم توسيع المقام الجديد إلى معيار المقام القديم. مع ذلك، باستثناء حالات خاصة، قد تكون البسط والمقامات الناتجة كبيرة جدًا، ولذلك، تُستخدم هذه الطريقة عمومًا فقط في الحالات الأولية المذكورة أعلاه.

أما بالنسبة للتقنية الأساسية، فيجب ضرب البسط والمقام بنفس العامل.

مثال 1:

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt {5}}}}$

لتبرير هذا النوع من التعبير ، أدخل العامل${\displaystyle {\sqrt {5}}}$:

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt {5}}}={\frac {10}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {10{\sqrt {5}}}{\left({\sqrt {5}}\right)^{2}}}}$

يختفي الجذر التربيعي من المقام، لأن${\displaystyle \left({\sqrt {5}}\right)^{2}=5}$بحسب تعريف الجذر التربيعي:

${\displaystyle {\frac {10{\sqrt {5}}}{\left({\sqrt {5}}\right)^{2}}}={\frac {10{\sqrt {5}}}{5}}=2{\sqrt {5}},}$

وهذا نتيجة للترشيد.

المثال الثاني:

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}}$

لتبرير هذا التغيير الجذري، أدخل العامل${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}^{2}}$:

${\displaystyle {\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}={\frac {10}{\sqrt[{3}]{a}}}\cdot {\frac {{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{a}}^{3}}}}$

يختفي الجذر التكعيبي من المقام، لأنه مكعب؛ لذلك

${\displaystyle {\frac {10{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{a}}^{3}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{a}}^{2}}{a}},}$

وهذا نتيجة للترشيد.

بالنسبة للمقام الذي هو:

${\displaystyle {\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}}\,}$

يمكن تحقيق الترشيد عن طريق الضرب في المرافق :

${\displaystyle {\sqrt {2}}\mp {\sqrt {3}}\,}$

وبتطبيق متطابقة الفرق بين مربعين ، نحصل هنا على -1 . وللحصول على هذه النتيجة، يجب ضرب الكسر بالكامل في

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}=1.}$

هذه التقنية أكثر فعالية بشكل عام. يمكن تكييفها بسهولة لإزالة جذر تربيعي واحد في كل مرة، أي لترشيد العدد.

${\displaystyle x\pm {\sqrt {y}}\,}$

عن طريق الضرب في

${\displaystyle x\mp {\sqrt {y}}}$

مثال:

${\displaystyle {\frac {3}{{\sqrt {3}}\pm {\sqrt {5}}}}}$

يجب ضرب الكسر في ناتج قسمة يحتوي على${\displaystyle {{\sqrt {3}}\mp {\sqrt {5}}}}$.

${\displaystyle {\frac {3}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}{{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{{\sqrt {3}}^{2}-{\sqrt {5}}^{2}}}}$

والآن، يمكننا المضي قدماً لإزالة الجذور التربيعية في المقام:

${\displaystyle {\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{{\sqrt {3}}^{2}-{\sqrt {5}}^{2}}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{3-5}}={\frac {3({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})}{-2}}}$

المثال الثاني:

هذه العملية تعمل أيضًا مع الأعداد المركبة${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle {\frac {7}{1\pm {\sqrt {-5}}}}}$

يجب ضرب الكسر في ناتج قسمة يحتوي على${\displaystyle {1\mp {\sqrt {-5}}}}$.

${\displaystyle {\frac {7}{1+{\sqrt {-5}}}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {-5}}}{1-{\sqrt {-5}}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1^{2}-{\sqrt {-5}}^{2}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1-(-5)}}={\frac {7-7{\sqrt {5}}i}{6}}}$

يمكن توسيع نطاق الترشيد ليشمل جميع الأعداد الجبرية والدوال الجبرية (كتطبيق لأشكال المعيار ). على سبيل المثال، لترشيد الجذر التكعيبي ، يجب استخدام عاملين خطيين يتضمنان جذورًا تكعيبية للوحدة ، أو ما يعادل ذلك عامل تربيعي.

تُدرج هذه المادة في كتب الجبر الكلاسيكية. على سبيل المثال:

• كتاب جورج كريستال ، مقدمة في الجبر: للاستخدام في المدارس الثانوية والكليات التقنية، هو نص من القرن التاسع عشر، صدرت طبعته الأولى عام 1889، وهو متوفر للطباعة ( ISBN). 1402159072); يوجد مثال ثلاثي الحدود مع الجذور التربيعية في الصفحة  256، بينما توجد نظرية عامة لترشيد العوامل للأعداد الجذرية في الصفحات  189-199 .