رمز الهندسة الجبرية

تُعدّ رموز الهندسة الجبرية تعميمًا لرموز ريد-سولومون . وقد ابتكرها إيرفينغ ريد وغوستاف سولومون عام 1960، وتستخدم رموز ريد-سولومون كثيرات الحدود أحادية المتغير لتكوين كلمات التشفير، وذلك بتقييم كثيرات الحدود ذات الدرجة الصغيرة الكافية عند النقاط في حقل منتهٍ.${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$[ ^{8 ]​}

تُعرَّف رموز ريد-سولومون رسميًا بالطريقة التالية.${\displaystyle \mathbb {F} _{q}=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{q}\}}$. حدد أعدادًا صحيحة موجبة${\displaystyle k\leq n\leq q}$. يترك$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}[x]_{<k}:=\left\{f\in \mathbb {F} _{q}[x]:\deg f<k\right\}}$$شفرة ريد-سولومون${\displaystyle RS(q,n,k)}$هو رمز التقييم$${\displaystyle RS(q,n,k)=\left\{\left(f(\alpha _{1}),f(\alpha _{2}),\dots ,f(\alpha _{n})\right):f\in \mathbb {F} _{q}[x]_{<k}\right\}\subseteq \mathbb {F} _{q}^{n}.}$$

لاحظ غوبا أن${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$يمكن اعتبارها خطًا أفينيًا، مع خط إسقاطي مطابق${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{q}}^{1}}$ثم، كثيرات الحدود في${\displaystyle \mathbb {F} _{q}[x]_{<k}}$(أي كثيرات الحدود من الدرجة الأقل من${\displaystyle k}$زيادة${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$يمكن اعتبارها كثيرات حدود مع السماح بالأقطاب لا يزيد عن${\displaystyle k}$عند النقطة اللانهائية في${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{q}}^{1}}$[ ^{6 ]​}

انطلاقًا من هذه الفكرة، اتجه غوبا نحو نظرية ريمان-روخ . عناصر فضاء ريمان-روخ هي تحديدًا تلك الدوال التي يكون ترتيب أقطابها أقل من عتبة معينة، ^{[ 9 ]} حيث يُشفّر هذا التقييد في معاملات قاسم مُناظر . يتم تقييم هذه الدوال عند النقاط النسبية على منحنى جبري.${\displaystyle X}$زيادة${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$(أي النقاط في${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{2}}$على المنحنى${\displaystyle X}$) يعطي رمزًا بنفس معنى بناء ريد-سولومون.

مع ذلك، ولأنّ معايير رموز الهندسة الجبرية مرتبطة بحقول الدوال الجبرية ، فإنّ تعريفات هذه الرموز تُصاغ غالبًا بلغة حقول الدوال الجبرية على الحقول المنتهية. ^{[ 10 ]} ومع ذلك، من المهمّ تذكّر ارتباطها بالمنحنيات الجبرية، إذ يُوفّر هذا طريقةً أكثر بديهيةً من الناحية الهندسية للتفكير في رموز الهندسة الجبرية باعتبارها امتدادًا لرموز ريد-سولومون. ^{[ 9 ]}

تُعرَّف رموز الهندسة الجبرية رسميًا بالطريقة التالية. ^{[ 10 ]} ليكن${\displaystyle F/\mathbb {F} _{q}}$ليكن حقل دالة جبرية،${\displaystyle D=P_{1}+\dots +P_{n}}$ليكن مجموع${\displaystyle n}$أماكن مميزة من${\displaystyle F/\mathbb {F} _{q}}$من الدرجة الأولى، و${\displaystyle G}$ليكن قاسمًا ذا دعم منفصل من${\displaystyle D}$. رمز الهندسة الجبرية${\displaystyle C_{\mathcal {L}}(D,G)}$مرتبط بالقواسم${\displaystyle D}$و${\displaystyle G}$يُعرَّف بأنه$${\displaystyle C_{\mathcal {L}}(D,G):=\lbrace (f(P_{1}),\dots ,f(P_{n})):f\in {\mathcal {L}}(G)\rbrace \subseteq \mathbb {F} _{q}^{n}.}$$يمكن الاطلاع على مزيد من المعلومات حول هذه الرموز في كل من النصوص التمهيدية ^{[ 6 ]} والنصوص المتقدمة في نظرية الترميز. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

يمكن للمرء أن يرى ذلك

${\displaystyle RS(q,n,k)={\mathcal {C}}_{\mathcal {L}}(D,(k-1)P_{\infty })}$

أين${\displaystyle P_{\infty }}$هي النقطة عند اللانهاية على الخط الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{q}}^{1}}$و${\displaystyle D=P_{1}+\dots +P_{q}}$هو مجموع الآخر${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$- نقاط عقلانية.

يُعطى منحنى هيرميتي بالمعادلة$${\displaystyle x^{q+1}=y^{q}+y}$$تم النظر فيه على مستوى الملعب${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}}$[ ^{2 ] يكتسب هذا} المنحنى أهمية خاصة لأنه يحقق حد هاس-ويل بالمساواة، وبالتالي يمتلك أكبر عدد من النقاط الأفينية على${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}}$[ ^{14 ] فيما يتعلق برموز الهندسة الجبرية ،} فهذا يعني أن الرموز الهرميتية طويلة نسبيًا بالنسبة للأبجدية التي تُعرَّف عليها. ^{[ 15 ]}

يُعطى فضاء ريمان-روخ لحقل الدوال الهرميتية في البيان التالي. ^{[ 2 ]} بالنسبة لحقل الدوال الهرميتية${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}(x,y)}$مقدم من${\displaystyle x^{q+1}=y^{q}+y}$ولـ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$، فضاء ريمان-روخ${\displaystyle {\mathcal {L}}(mP_{\infty })}$يكون$${\displaystyle {\mathcal {L}}(mP_{\infty })=\left\langle x^{a}y^{b}:0\leq b\leq q-1,aq+b(q+1)\leq m\right\rangle ,}$$أين${\displaystyle P_{\infty }}$هي النقطة عند اللانهاية على${\displaystyle {\mathcal {H}}_{q}(\mathbb {F} _{q^{2}})}$.

وبذلك، يمكن تعريف رمز هيرميت ذي النقطة الواحدة بالطريقة التالية. ليكن${\displaystyle {\mathcal {H}}_{q}}$لتكن المنحنى الهرميتي المعرف على${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}}$.

يترك${\displaystyle P_{\infty }}$كن النقطة عند اللانهاية على${\displaystyle {\mathcal {H}}_{q}(\mathbb {F} _{q^{2}})}$، و$${\displaystyle D=P_{1}+\cdots +P_{n}}$$أن يكون قاسمًا مدعومًا بـ${\displaystyle n:=q^{3}}$متميز${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}}$- نقاط عقلانية حول${\displaystyle {\mathcal {H}}_{q}}$بخلاف${\displaystyle P_{\infty }}$.

شفرة هيرميتية ذات النقطة الواحدة${\displaystyle C(D,mP_{\infty })}$يكون

${\displaystyle C(D,mP_{\infty }):=\left\lbrace (f(P_{1}),\dots ,f(P_{n})):f\in {\mathcal {L}}(mP_{\infty })\right\rbrace \subseteq \mathbb {F} _{q^{2}}^{n}.}$