القاسم (الهندسة الجبرية)

في الهندسة الجبرية ، تُعدّ القواسم تعميمًا للمتنوعات الجزئية ذات البعد المشترك -1 من التنوعات الجبرية . ويُستخدم تعميمان مختلفان بشكل شائع، وهما قواسم كارتييه وقواسم ويل (التي سميت نسبةً إلى بيير كارتييه وأندريه ويل من قِبل ديفيد مامفورد ). وكلاهما مشتق من مفهوم قابلية القسمة في حقول الأعداد الصحيحة والجبرية .

على المستوى العالمي، تُعرَّف كلُّ مُتَجَانِبٍ فرعيٍّ ذي بُعدٍ مُشتركٍ 1 لفضاءٍ إسقاطيٍّ بانعدامِ مُتَجَامِبٍ مُتَشَوِّهٍ واحد ؛ في المقابل، لا يُشترط أن يكون تعريفُ مُتَجَانِبٍ فرعيٍّ ذي بُعدٍ مُشتركٍ r مُقتصرًا على r مُعادلاتٍ فقط عندما يكون r أكبر من 1. (أي أنَّ ليس كلُّ مُتَجَانِبٍ فرعيٍّ لفضاءٍ إسقاطيٍّ هو تقاطعٌ كامل ). على المستوى المحلي، يُمكن تعريفُ كلِّ مُتَجَانِبٍ فرعيٍّ ذي بُعدٍ مُشتركٍ 1 لمُتَجَانٍ أملسٍ بمعادلةٍ واحدةٍ في جوار كلِّ نقطة. مرةً أخرى، لا تنطبق العبارة المُماثلة على المُتَجَانِبِ الفرعية ذات الأبعاد المُشتركة الأعلى. نتيجةً لهذه الخاصية، يدرس جزءٌ كبيرٌ من الهندسة الجبرية أيَّ مُتَجَانٍ من خلال تحليل مُتَجَانِبِه الفرعية ذات البُعد المُشترك 1 وحزم الخطوط المُقابلة لها .

في الأصناف المفردة، قد لا تنطبق هذه الخاصية أيضًا، ولذا يجب التمييز بين الأصناف الفرعية ذات البعد المشترك 1 والأصناف التي يمكن تعريفها محليًا بمعادلة واحدة. الأولى هي قواسم ويل، بينما الثانية هي قواسم كارتييه.

من الناحية الطوبولوجية، تتوافق قواسم ويل مع دورات التماثل ، بينما تتوافق قواسم كارتييه مع فئات التماثل المعرّفة بواسطة حزم الخطوط. على تنوع أملس (أو بشكل أعم مخطط منتظم )، تنص نتيجة مماثلة لازدواجية بوانكاريه على أن قواسم ويل وكارتييه متطابقة.

يعود اسم "القاسم" إلى أعمال ديديكيند وويبر ، اللذين أظهرا أهمية مجالات ديديكيند لدراسة المنحنيات الجبرية . ^{[ 1 ]} ترتبط مجموعة القواسم على منحنى ( المجموعة الأبيلية الحرة المولدة من جميع القواسم) ارتباطًا وثيقًا بمجموعة المُثُل الكسرية لمجال ديديكيند.

الدورة الجبرية هي تعميم ذو بُعد مشترك أعلى للقاسم؛ بحسب التعريف، فإن قاسم ويل هو دورة ذات بُعد مشترك 1.

سطح ريمان هو متعدد شعب معقد أحادي البعد ، وبالتالي فإن متعددات الشعب الفرعية ذات البعد المشترك 1 لها بعد 0. مجموعة القواسم على سطح ريمان مضغوط X هي مجموعة أبيلية حرة على نقاط X.

بصورة مكافئة، القاسم على سطح ريمان متراص X هو توليفة خطية منتهية من نقاط X ذات معاملات صحيحة . درجة القاسم على X هي مجموع معاملاته.

لأي دالة ميرومورفية غير صفرية f على X ، يمكن تعريف رتبة تلاشي f عند نقطة p في X ، أي ord _p ( f ). وهي عدد صحيح، سالب إذا كان لـ f قطب عند p . يُعرَّف قاسم دالة ميرومورفية غير صفرية f على سطح ريمان المدمج X كما يلي:

${\displaystyle (f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

وهو مجموع محدود. تُسمى القواسم من الشكل ( f ) أيضًا بالقواسم الرئيسية . بما أن ( fg ) = ( f ) + ( g )، فإن مجموعة القواسم الرئيسية هي زمرة جزئية من زمرة القواسم. يُطلق على قاسمين يختلفان بقاسم رئيسي اسم متكافئين خطيًا .

على سطح ريمان متراص، تكون درجة القاسم الرئيسي صفرًا؛ أي أن عدد أصفار الدالة الميرومورفية يساوي عدد أقطابها، مع مراعاة التعددية. ونتيجة لذلك، تكون الدرجة مُعرَّفة جيدًا على فئات التكافؤ الخطي للقواسم.

بالنظر إلى قاسم D على سطح ريمان متراص X ، من المهم دراسة الفضاء المتجهي المركب للدوال الميرومورفية على X التي لا يزيد عدد أقطابها عن عدد أقطاب D ، والذي يُسمى H₀( X ^, O ( D ) ) أو فضاء مقاطع حزمة الخطوط المرتبطة بـ D. تُشير درجة D إلى الكثير حول بُعد هذا الفضاء المتجهي. على سبيل المثال، إذا كانت درجة D سالبة، فإن هذا الفضاء المتجهي يساوي صفرًا (لأن الدالة الميرومورفية لا يمكن أن يكون لها أصفار أكثر من أقطابها). أما إذا كانت درجة D موجبة، فإن بُعد H₀ ⁽ X , O ( mD )) ينمو خطيًا مع m عندما تكون m كبيرة بما فيه الكفاية. تُعدّ نظرية ريمان-روخ بيانًا أكثر دقة في هذا السياق. من ناحية أخرى، فإن البُعد الدقيق لـ ^H₀ ( X , O ( D ) ) للقواسم D ذات الدرجة المنخفضة غير واضح، ولا يتحدد كليًا بدرجة D. وتنعكس السمات المميزة لسطح ريمان المتراص في هذه الأبعاد.

أحد القواسم الرئيسية على سطح ريمان المدمج هو القاسم القانوني . لتعريفه، يُعرَّف أولًا قاسم شكل ميرومورفي من الدرجة الأولى غير صفري وفقًا لما سبق. بما أن فضاء الأشكال الميرومورفية من الدرجة الأولى هو فضاء متجهي أحادي البعد فوق حقل الدوال الميرومورفية، فإن أي شكلين ميرومورفيين من الدرجة الأولى غير صفريين ينتجان قواسم متكافئة خطيًا. يُسمى أي قاسم في فئة التكافؤ الخطي هذه بالقاسم القانوني لـ X ، ويرمز له _بـ KX . يمكن استنتاج جنس G لـ X من القاسم القانوني: أي أن KX له درجة 2g - 2. يتمثل التقسيم الثلاثي الرئيسي بين أسطح ريمان المدمجة _X في ما إذا كان للقاسم القانوني درجة سالبة (وبالتالي يكون جنس X صفرًا )، أو درجة صفرية (جنسه واحد)، أو درجة موجبة (جنسه 2 على الأقل). على سبيل المثال، يحدد هذا ما إذا كان للمصفوفة X مقياس كاهلر ذو انحناء موجب ، أو انحناء صفري، أو انحناء سالب. يكون للقاسم الكنسي درجة سالبة إذا وفقط إذا كانت X متماثلة مع كرة ريمان CP ¹ .

ليكن X مخططًا نوثريًا محليًا متكاملًا . القاسم الأولي أو القاسم غير القابل للاختزال على X هو مخطط فرعي مغلق متكامل Z ذو بُعد مشترك 1 في X. قاسم ويل على X هو مجموع شكلي على القواسم الأولية Z لـ X.

${\displaystyle \sum _{Z}n_{Z}Z,}$

أين المجموعة${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$تكون محدودة محليًا . إذا كانت X شبه متراصة (أي نوثرية)، فإن المحدودة المحلية تعادل${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$كونها محدودة. يُرمز إلى مجموعة جميع قواسم ويل بـ Div( X ) . يكون قاسم ويل D فعالاً إذا كانت جميع معاملاته غير سالبة. يُكتب D ≥ D′ إذا كان الفرق D − D′ فعالاً.

على سبيل المثال، القاسم على منحنى جبري فوق حقل ما هو مجموع شكلي لعدد محدود من النقاط المغلقة . والقاسم على Spec Z هو مجموع شكلي لأعداد أولية بمعاملات صحيحة، وبالتالي فهو يُقابل مثاليًا كسريًا غير صفري في Q. وينطبق وصف مماثل على القواسم على${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},}$حيث K هو حقل رقمي.

إذا كان Z ⊂ X قاسمًا أوليًا، فإن الحلقة المحلية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$يمتلك كرول بُعدًا واحدًا. إذا${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}}$إذا كانت قيمة غير صفرية، فإن رتبة تلاشي الدالة f على طول Z ، والتي تُكتب ord _Z ( f ) ، هي طول${\displaystyle {\mathcal {O}} _ {X,Z}/(f).}$هذا الطول محدود، ^{[ 2 ]} وهو جمعي بالنسبة للضرب، أي أن ord _Z ( fg ) = ord _Z ( f ) + ord _Z ( g ) . ^{[ 3 ]} إذا كان k ( X ) هو حقل الدوال الكسرية على X ، فيمكن كتابة أي دالة غير صفرية f ∈ k ( X ) على صورة خارج قسمة g / h ، حيث g و h في${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z},}$ويُعرَّف ترتيب تلاشي الدالة f بأنه ord _Z ( g ) - ord _Z ( h ) . ^{[ 4 ]} وفقًا لهذا التعريف، فإن ترتيب التلاشي هو دالة ord _Z  : k ( X ) ^× → Z. إذا كانت X مجموعة طبيعية ، فإن الحلقة المحلية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$هي حلقة تقييم منفصلة ، ​​والدالة ord _Z هي التقييم المقابل. بالنسبة لدالة كسرية غير صفرية f على X ، يُعرَّف قاسم ويل الرئيسي المرتبط بـ f بأنه قاسم ويل.

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.}$

يمكن إثبات أن هذا المجموع محدود محليًا، وبالتالي فهو يُعرّف بالفعل قاسم ويل. يُرمز أيضًا لقاسم ويل الرئيسي المرتبط بالدالة f بالرمز ( f ) . إذا كانت f دالة منتظمة، فإن قاسم ويل الرئيسي لها يكون فعالًا، ولكن هذا ليس صحيحًا بشكل عام. إن خاصية الجمعية لرتبة الدالة المتلاشية تعني أن

${\displaystyle \operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.}$

وبالتالي فإن div هو تشاكل، وعلى وجه الخصوص فإن صورته هي مجموعة فرعية من مجموعة جميع قواسم ويل.

ليكن X مخططًا تكامليًا طبيعيًا نوثريًا. كل قاسم ويل D يحدد حزمة متماسكة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$على X. ويمكن تعريفها بشكل ملموس على أنها حزمة فرعية من حزمة الدوال الكسرية ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ or }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}.}$

أي أن الدالة الكسرية غير الصفرية f هي مقطع من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$على U إذا وفقط إذا كان لأي قاسم أولي Z يتقاطع مع U ،

${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

حيث nZ هو معامل Z في D. إذا كانت D رئيسية، أي أن D قاسم لدالة كسرية g ، فإنه يوجد تماثل _.

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}}$

منذ${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$هو قاسم فعال، ولذلك${\displaystyle fg}$يكون منتظمًا بفضل خاصية التوزيع الطبيعي لـ X. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$متماثل مع${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$كـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$إذا كان D هو الوحدة النمطية، فهو رئيسي. ويترتب على ذلك أن D رئيسي محليًا إذا وفقط إذا${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$قابلة للعكس؛ أي أنها حزمة خطية.

إذا كان D قاسمًا فعالًا يُقابل مخططًا فرعيًا من X (على سبيل المثال، يمكن أن يكون D قاسمًا مختزلًا أو قاسمًا أوليًا)، فإن الحزمة المثالية للمخطط الفرعي D تساوي${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D).}$وهذا يؤدي إلى تسلسل دقيق قصير يُستخدم غالباً ،

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.}$

يُظهر علم التماثل الحزمي لهذه المتتالية أن${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))}$يحتوي على معلومات حول ما إذا كانت الدوال المنتظمة على D هي قيود على الدوال المنتظمة على X.

كما يتضمن ذلك حزمًا

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

وهذا يوفر عنصرًا أساسيًا من${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$أي صورة المقطع العالمي 1. يُسمى هذا المقطع المقطع القانوني ، ويُرمز له بـ s _D. بينما المقطع القانوني هو صورة دالة كسرية لا تتلاشى في أي مكان، فإن صورته في${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$يتلاشى على طول D لأن دوال الانتقال تتلاشى على طول D. عندما يكون D قاسم كارتييه أملس، يمكن تحديد النواة المشتركة للتضمين المذكور أعلاه؛ انظر #قواسم كارتييه أدناه.

لنفترض أن X مخطط تكاملي طبيعي منفصل من النوع المحدود على حقل. ولتكن D قاسم ويل. عندئذٍ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$هي حزمة انعكاسية من الرتبة الأولى ، وبما أن${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$يُعرَّف بأنه حزمة فرعية من${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$إنها حزمة مثالية كسرية (انظر أدناه). وعلى العكس، فإن كل حزمة انعكاسية من الرتبة الأولى تقابل قاسم ويل: يمكن تقييد الحزمة بالموضع المنتظم، حيث تصبح حرة وبالتالي تقابل قاسم كارتييه (انظر أدناه أيضًا)، ولأن الموضع الشاذ له بُعد مشترك لا يقل عن اثنين، فإن إغلاق قاسم كارتييه هو قاسم ويل.

زمرة فئات القواسم لـ Weil، Cl( X )، هي خارج قسمة Div( X ) على الزمرة الجزئية لجميع قواسم Weil الرئيسية. يُقال إن قاسمين متكافئان خطيًا إذا كان الفرق بينهما رئيسيًا، لذا فإن زمرة فئات القواسم هي زمرة القواسم بتردد التكافؤ الخطي. بالنسبة لمتنوعة X ذات بُعد n على حقل، فإن زمرة فئات القواسم هي زمرة تشاو ؛ أي أن Cl( X ) هي زمرة تشاو CHₙ₋₁ _{( X} ) للدورات ذات البُعد ( n₋₁ ).

ليكن Z مجموعة جزئية مغلقة من X. إذا كانت Z غير قابلة للاختزال ذات بُعد مشترك يساوي واحدًا، فإن Cl( X − Z ) متماثلة مع زمرة القسمة لـ Cl( X ) بحسب فئة Z. إذا كان بُعد Z المشترك في X يساوي 2 على الأقل ، فإن التقييد Cl( X ) → Cl( X − Z ) يكون تماثلًا. ^{[ 6 ]} (هذه الحقائق حالات خاصة من متتالية التموضع لزمر تشاو).

في مخطط نوثري تكاملي عادي X ، يكون قاسمَا ويل D و E متكافئين خطيًا إذا وفقط إذا${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$و${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$متماثلة مثل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدات. تشكل فئات التشاكل للحزم الانعكاسية على X أحاديًا مع حاصل ضرب يُعطى على أنه الغلاف الانعكاسي لحاصل ضرب موتر. ثم${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$يُعرّف تماثل أحادي من مجموعة فئات القواسم لـ Weil لـ X إلى أحادي فئات التماثل للحزم الانعكاسية من الرتبة الأولى على X.

ليكن X مخططًا نوثريًا متكاملًا. عندئذٍ، يمتلك X حزمة من الدوال الكسرية.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$جميع الدوال المنتظمة هي دوال كسرية، مما يؤدي إلى متتالية تامة قصيرة

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

قاسم كارتييه على X هو مقطع عالمي من${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$ويمكن وصف قاسم كارتييه بأنه مجموعة.${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$أين${\displaystyle \{U_{i}\}}$هو غلاف مفتوح لـ${\displaystyle X,f_{i}}$هو جزء من${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$على${\displaystyle U_{i},}$و${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$على${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$حتى الضرب في جزء من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$

كما أن لقواسم كارتييه وصفًا نظريًا للحزم. الحزمة المثالية الكسرية هي حزمة فرعية من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- وحدة من${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$تكون حزمة المثالي الجزئي J قابلة للعكس إذا كان لكل x في X ، توجد جوار مفتوح U لـ x يكون فيه تقييد J على U مساوياً لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\cdot f,}$أين${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$ويتم إدخال المنتج${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$يُعرّف كل قاسم كارتييه حزمة مثالية كسرية قابلة للعكس باستخدام وصف قاسم كارتييه كمجموعة${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$وبالعكس، تُعرّف حزم المثاليّات الكسرية القابلة للعكس قواسم كارتييه. إذا رُمز لقاسم كارتييه بالرمز D ، فإن حزمة المثاليّات الكسرية المقابلة لها تُرمز لها بالرمز D.${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$أو L ( D ).

بناءً على التسلسل الدقيق أعلاه، يوجد تسلسل دقيق لمجموعات التماثل الحزمي :

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

يُقال عن قاسم كارتييه أنه رئيسي إذا كان على صورة التشاكل${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$أي، إذا كان قاسمًا لدالة كسرية على X. يكون قاسمان من قواسم كارتييه متكافئين خطيًا إذا كان الفرق بينهما رئيسيًا. كل حزمة خطية L على مخطط نوثري متكامل X هي فئة قاسم من قواسم كارتييه. ونتيجة لذلك، فإن المتتالية التامة أعلاه تُعرّف زمرة بيكارد للحزم الخطية على مخطط نوثري متكامل X مع زمرة قواسم كارتييه بشرط التكافؤ الخطي. ينطبق هذا بشكل أعم على المخططات النوثرية المختزلة، أو على المخططات شبه الإسقاطية على حلقة نوثرية، ^{[ 12 ]} ولكنه قد لا ينطبق بشكل عام (حتى على المخططات الصحيحة على C )، مما يقلل من أهمية قواسم كارتييه في العموم. ^{[ 13 ]}

لنفترض أن D قاسم كارتييه فعال. عندئذٍ توجد متتالية تامة قصيرة

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.}$

تُشتق هذه المتتالية من المتتالية التامة القصيرة التي تربط بين حزم البنية لـ X و D والحزمة المثالية لـ D. ولأن D قاسم كارتييه،${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$هي حرة محليًا، وبالتالي فإن ضرب تلك المتتالية بـ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ينتج عن ذلك متتالية تامة قصيرة أخرى، وهي المتتالية المذكورة أعلاه. عندما تكون D سلسة،${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}(D)}$هي الحزمة الطبيعية لـ D في X.

كنتيجة أساسية لقاسم كارتييه (الكبير)، هناك نتيجة تسمى ليمّة كودايرا: ^{[ 15 ] [ 16 ]}

ليكن X منوعًا إسقاطيًا غير قابل للاختزال، وليكن D قاسمًا كبيرًا من نوع كارتييه على X ، وليكن H قاسمًا فعالًا من نوع كارتييه على X. عندئذٍ

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD-H))\neq 0}$.

لجميع الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle m\in N(X,D)}$.

تعطي ليمّة كودايرا بعض النتائج حول القاسم الكبير.

ليكن φ  : X → Y تشاكلاً بين مخططات نوثرية محلية متكاملة. غالباً ما يكون من الممكن -وليس دائماً- استخدام φ لنقل قاسم D من مخطط إلى آخر. يعتمد ذلك على ما إذا كان القاسم قاسم ويل أو كارتييه، وما إذا كان سيتم نقله من X إلى Y أو العكس، وما هي الخصائص الإضافية التي قد يمتلكها φ.

إذا كان Z قاسمًا أوليًا من نوع ويل على X ، فإن${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$هو مخطط فرعي مغلق وغير قابل للاختزال من Y. اعتمادًا على φ، قد يكون أو لا يكون قاسمًا أوليًا من نوع ويل. على سبيل المثال، إذا كان φ هو تكبير نقطة في المستوى وكان Z هو القاسم الاستثنائي، فإن صورته ليست قاسمًا من نوع ويل. لذلك، يُعرَّف φ _* Z على أنه${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$إذا كان هذا المخطط الفرعي قاسمًا أوليًا، ويُعرَّف بأنه قاسم الصفر فيما عدا ذلك. بتمديد هذا باستخدام الخطية، وبافتراض أن X شبه متراصة، يُعرَّف تشاكل Div( X ) → Div( Y ) يُسمى الدفع الأمامي . (إذا لم تكن X شبه متراصة، فقد لا يكون الدفع الأمامي مجموعًا منتهيًا محليًا). هذه حالة خاصة من الدفع الأمامي على زمر تشاو.

إذا كان Z قاسمًا لكارتييه، فإنه في ظل فرضيات معتدلة على φ، يحدث تراجع.${\displaystyle \varphi ^{*}Z}$من منظور نظرية الحزم، عندما يكون هناك خريطة سحب للخلف${\displaystyle \varphi ^{-1}{\mathcal {M}}_{Y}\to {\mathcal {M}}_{X}}$ثم يمكن استخدام هذا التراجع لتحديد تراجع قواسم كارتييه. من حيث المقاطع المحلية، فإن تراجع${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle \{(\varphi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \varphi )\}}$يكون السحب العكسي مُعرَّفًا دائمًا إذا كانت φ هي المهيمنة، ولكنه لا يُمكن تعريفه بشكل عام. على سبيل المثال، إذا كانت X = Z وφ هي تضمين Z في Y ، فإن φ ^* Z غير مُعرَّف لأن المقاطع المحلية المُقابلة ستكون صفرًا في كل مكان. (مع ذلك، فإن السحب العكسي لحزمة الخطوط المُقابلة مُعرَّف).

إذا كانت φ مسطحة، فإن سحب قواسم ويل يكون مُعرَّفًا. في هذه الحالة، يكون سحب Z هو φ ^* Z = φ ^{− 1} ( Z ) . تضمن تسطح φ أن الصورة العكسية لـ Z تظل ذات بُعد مشترك يساوي واحدًا. قد لا يتحقق هذا بالنسبة للتشاكلات غير المسطحة، على سبيل المثال، بالنسبة للانكماش الصغير .

بالنسبة لمخطط نوثري متكامل X ، فإن التشاكل الطبيعي من مجموعة قواسم كارتييه إلى مجموعة قواسم ويل يعطي تشاكلاً

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),}$

تُعرف باسم فئة تشيرن الأولى . ^{[ 17 ] [ 18 ]} تكون فئة تشيرن الأولى أحادية إذا كان X نظاميًا، وتكون متماثلة إذا كان X مضروبًا (كما هو مُعرَّف أعلاه). على وجه الخصوص، يمكن تحديد قواسم كارتييه مع قواسم ويل على أي مخطط منتظم، وبالتالي فإن فئة تشيرن الأولى هي متماثلة لـ X المنتظم.

بصورةٍ أدق، يمكن تعريف فئة تشيرن الأولى كما يلي: بالنسبة لحزمة خطية L على مخطط نوثري متكامل X ، ليكن s مقطعًا كسريًا غير صفري من L (أي مقطعًا على مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة من L )، وهو موجود بحكم خاصية التفاهة المحلية لـ L. عرّف قاسم ويل ( s ) على X قياسًا على قاسم دالة كسرية. عندئذٍ، يمكن تعريف فئة تشيرن الأولى لـ L على أنها القاسم ( s ). يؤدي تغيير المقطع الكسري s إلى تغيير هذا القاسم بالتكافؤ الخطي، حيث أن ( fs ) = ( f ) + ( s ) لدالة كسرية غير صفرية f ومقطع كسري غير صفري s من L. لذا، _فإن العنصر c1 ( L ) في Cl( X ) مُعرَّف جيدًا.

بالنسبة لمجموعة متنوعة معقدة X ذات بُعد n ، وليست بالضرورة ناعمة أو مناسبة على C ، يوجد تماثل طبيعي، وهو خريطة الدورة ، من مجموعة فئة القواسم إلى علم التماثل بوريل-مور :

${\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).}$

تُعرَّف المجموعة الأخيرة باستخدام فضاء X ( C ) للنقاط المركبة لـ X ، مع طوبولوجيتها الكلاسيكية (الإقليدية). وبالمثل، تُحوَّل مجموعة بيكارد إلى علم التماثل التكاملي ، بواسطة فئة تشيرن الأولى بالمعنى الطوبولوجي.

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).}$

يرتبط التشاكلان بمخطط تبادلي ، حيث يكون التطبيق الرأسي الأيمن هو حاصل ضرب غطاء مع الفئة الأساسية لـ X في علم التماثل بوريل-مور:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

بالنسبة لـ X أملس على C ، فإن كلا التطبيقين الرأسيين متماثلان.

يكون قاسم كارتييه فعالاً إذا _كانت دواله التعريفية المحلية fᵢ منتظمة (وليست مجرد دوال كسرية). في هذه الحالة، يمكن تعريف قاسم كارتييه بمخطط فرعي مغلق ذي بُعد مشترك 1 في X ، وهو المخطط الفرعي المعرف محلياً بـ fᵢ = _0. يكون قاسم كارتييه D مكافئاً خطياً لقاسم فعال إذا وفقط إذا كانت حزمة الخط المرتبطة به${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$إذا كان للمقطع العالمي s مقطع غير صفري ، فإن D يكون مكافئًا خطيًا للموضع الصفري لـ s .

ليكن X منوعًا إسقاطيًا على حقل k . عندئذٍ، بضرب مقطع عالمي من${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$لا يؤدي إدخال قيمة عددية غير صفرية في k إلى تغيير موضع أصفارها. ونتيجة لذلك، يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي للخطوط في فضاء المتجهات k للمقاطع العامة H₀ ( X , O ( D )) بمجموعة القواسم الفعالة المكافئة خطيًا لـ D ، والتي تُسمى النظام الخطي الكامل لـ D. ويُطلق ^على الفضاء الخطي الإسقاطي الفرعي لهذا الفضاء الإسقاطي اسم نظام القواسم الخطي .

أحد أسباب دراسة فضاء المقاطع العالمية لحزمة خطية هو فهم التطبيقات الممكنة من صنف معين إلى الفضاء الإسقاطي. وهذا أمر أساسي لتصنيف الأصناف الجبرية. وبشكل أدق، فإن التشكل من صنف X إلى الفضاء الإسقاطي Pn على حقل k يحدد حزمة خطية L على X ، وهي السحب العكسي للحزمة الخطية القياسية ^.${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$على P ⁿ . علاوة على ذلك، تأتي L مع n + 1 مقطعًا يكون موضع قاعدتها (تقاطع مجموعات أصفارها) فارغًا. وعلى العكس من ذلك، فإن أي حزمة خطية L ذات n + 1 مقطعًا عالميًا يكون موضع قاعدتها المشترك فارغًا تحدد تشاكلًا X → P ⁿ . ^{[ 19 ]} تؤدي هذه الملاحظات إلى عدة مفاهيم للإيجابية لقواسم كارتييه (أو الحزم الخطية)، مثل القواسم الوفيرة والقواسم غير الوفيرة . ^{[ 20 ]}

بالنسبة لقاسم D على تنوع إسقاطي X فوق حقل k ، فإن الفضاء المتجهي k -H₀ ⁽ X , O ( D ) ) ذو بُعد محدود. تُعدّ نظرية ريمان-روخ أداةً أساسيةً لحساب بُعد هذا الفضاء المتجهي عندما يكون X منحنى إسقاطيًا. وتُقدّم تعميمات متتالية، هي ^نظرية هيرزبروش-ريمان-روخ ونظرية غروتينديك-ريمان-روخ ، بعض المعلومات حول بُعد H₀ ( X , O ( D )) لتنوع إسقاطي X ذي أي بُعد فوق حقل.

نظرًا لارتباط القاسم المتعارف عليه جوهريًا بالتنوع، فإنّ الخرائط إلى الفضاء الإسقاطي المُعطى بواسطة KX ومضاعفاته الموجبة تلعب دورًا محوريًا في تصنيف التنوعات . يُعدّ بُعد كودايرا لـ X ثابتًا ثنائيًا _{أساسيًا} ، إذ يقيس _نموّ الفضاءات المتجهة H₀(X, mKX) (أي H₀ ⁽ X , O ( mKX ) ) ⁾ مع ازدياد m . يقسم بُعد _{كودايرا} جميع التنوعات ذات البُعد n إلى n +2 فئة، والتي تتدرج (تقريبًا) من الانحناء الموجب إلى الانحناء السالب.

ليكن X صنفًا طبيعيًا. قاسم Q (ويل) هو توليفة خطية شكلية منتهية من أصناف فرعية غير قابلة للاختزال ذات بُعد مشترك 1 من X بمعاملات نسبية. ( يُعرَّف قاسم R بشكل مشابه). يكون قاسم Q فعالًا إذا كانت معاملاته غير سالبة. قاسم Q ، D، هو قاسم كارتييه Q إذا كان mD قاسم كارتييه لعدد صحيح موجب m . إذا كان X صنفًا أملسًا، فإن كل قاسم Q هو قاسم كارتييه Q.

لو

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}$

إذا كان قاسمًا لـ Q ، فإن تقريبه إلى الأسفل هو القاسم.

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},}$

أين${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$هو أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي a . الحزمة${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ثم يُعرَّف بأنه${\displaystyle {\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).}$

تنص نظرية ليفشيتز للمستويات الفائقة على أنه بالنسبة لمتنوعة إسقاطية عقدية ملساء X ذات بُعد لا يقل عن 4 وقاسم وافر أملس Y في X ، فإن التقييد Pic( X ) → Pic( Y ) هو تماثل. على سبيل المثال، إذا كانت Y متنوعة تقاطع كاملة ملساء ذات بُعد لا يقل عن 3 في الفضاء الإسقاطي العقدي، فإن زمرة بيكارد لـ Y متماثلة مع Z ، المولدة بتقييد حزمة الخط O (1) على الفضاء الإسقاطي.

عمّم غروتينديك نظرية ليفشيتز في عدة اتجاهات، شملت حقولًا أساسية اختيارية، وأصنافًا شاذة، ونتائج على الحلقات المحلية بدلًا من الأصناف الإسقاطية. على وجه الخصوص، إذا كانت R حلقة محلية كاملة للتقاطع، وكان عامليًا في بُعد مشترك لا يتجاوز 3 (على سبيل المثال، إذا كان الموضع غير المنتظم لـ R ذا بُعد مشترك لا يقل عن 4)، فإن R تكون مجال تحليل فريد (وبالتالي فإن كل قاسم ويل على Spec( R ) هو قاسم كارتييه). ^{[ 21 ]} يُعد حد البُعد هنا مثاليًا، كما يتضح من مثال المخروط التربيعي ثلاثي الأبعاد، أعلاه.

• ديودونيه، جان (1985)، تاريخ الهندسة الجبرية ، سلسلة وادزورث للرياضيات، ترجمة جوديث د. سالي ، بلمونت، كاليفورنيا: مجموعة وادزورث الدولية، رقم ISBN 0-534-03723-2MR 0780183​ 
• أيزنبد، ديفيد؛ هاريس، جو (2016)، 3264 وكل ذلك: دورة ثانية في الهندسة الجبرية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-1107602724
• الأماكن القريبة : ديودوني ، جان (1967). "Élements de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas، Quatrième Partie" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5 – 361. دوى : 10.1007 / bf02732123 . السيد 0238860 . 
• Grothendieck, الكسندر ; رينود، ميشيل (2005) [1968]، لازلو، إيف (محرر)، Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2) ، Documents Mathématiques، vol.  4، باريس: Société Mathématique de France ، أرخايف : math/0511279 ، بيب كود : 2005math .....11279G ، ISBN 978-2-85629-169-6MR 2171939​ 
• القسم الثاني.6 من كتاب هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 52، نيويورك، هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4757-3849-0 ، ISBN  0-387-90244-9، MR 0463157 
• كلايمان، ستيفن (2005)، "مخطط بيكارد"، الهندسة الجبرية الأساسية ، سلسلة دراسات الرياضيات، المجلد  123، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 235-321 ، arXiv : math/0504020 ، Bibcode : 2005math......4020K ، MR 2223410  
• كولار ، يانوس (2013)، تفردات برنامج النموذج الأدنى ، مطبعة جامعة كامبريدج ، دوى : 10.1017 / CBO9781139547895 ، ISBN 978-1-107-03534-8، MR 3057950 
• لازارسفيلد، روبرت (2004)، الإيجابية في الهندسة الجبرية ، المجلد  1، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، doi : 10.1007/978-3-642-18808-4 ، ISBN 3-540-22533-1، MR 2095471 

• مؤلفو مشروع ستاكس، مشروع ستاكس