وجهة نظر عقلانية

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 32 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الأعداد والهندسة الجبرية ، تُعرف النقطة النسبية في صنف جبري بأنها نقطة تنتمي إحداثياتها إلى حقل معين . إذا لم يُذكر الحقل، يُفهم عمومًا أنه حقل الأعداد النسبية . أما إذا كان الحقل هو حقل الأعداد الحقيقية ، فتُسمى النقطة النسبية عادةً بالنقطة الحقيقية .

يُعدّ فهم النقاط النسبية هدفًا أساسيًا في نظرية الأعداد والهندسة الديوفانتية . على سبيل المثال، يمكن إعادة صياغة نظرية فيرما الأخيرة على النحو التالي: بالنسبة لـ n > 2 ، يكون منحنى فيرما هو المعادلةxن+yن=1{\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}لا توجد نقاط عقلانية أخرى غير (1، 0) ، (0، 1) ، وإذا كان n زوجيًا، (–1، 0) و (0، –1) .

تعريف

بالنظر إلى حقل k ، وامتداد مغلق جبريًا K لـ k ، فإن التنوع الأفيني X على k هو مجموعة الأصفار المشتركة في K n لمجموعة من كثيرات الحدود ذات المعاملات في k :

و1(x1،...،xن)=0،⋮ور(x1،...،xن)=0.{\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\\&\qquad \quad \vdots \\&f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})=0.\end{aligned}}}

تُسمى هذه الأصفار المشتركة بنقاط X.

النقطة العقلانية من الرتبة k (أو النقطة k ) في X هي نقطة من X تنتمي إلى k n ، أي متتالية(أ1،...،أن){\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}من n عنصرًا من k بحيثوج(أ1،...،أن)=0{\displaystyle f_{j}(a_{1},\dots ,a_{n})=0}لكل j . غالبًا ما يُرمز إلى مجموعة النقاط العقلانية k لـ X بـ X ( k ) .

أحيانًا، عندما يكون الحقل k مفهومًا، أو عندما يكون k هو الحقلسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }فيما يتعلق بالأعداد النسبية ، يقول المرء "نقطة نسبية" بدلاً من " نقطة نسبية من الرتبة k ".

على سبيل المثال، النقاط النسبية لدائرة الوحدة ذات المعادلة

x2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

هي أزواج من الأعداد النسبية

(أج،بج)،{\displaystyle \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right),}

حيث ( أ، ب، ج ) هي ثلاثية فيثاغورس .

وينطبق هذا المفهوم أيضاً على سياقات أكثر عمومية. تنوع إسقاطي X في فضاء إسقاطيPن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}يمكن تعريف المجال k بواسطة مجموعة من المعادلات متعددة الحدود المتجانسة في متغيراتx0،...،xن.{\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}.}نقطة k من​Pن،{\displaystyle \mathbb {P} ^{n},}مكتوب​[أ0،...،أن]،{\displaystyle [a_{0},\dots ,a_{n}],}يُعطى بواسطة متتالية من n + 1 عنصرًا من k ، ليست جميعها أصفارًا، مع العلم أن ضرب جميعأ0،...،أن{\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}}إن استخدام نفس العنصر غير الصفري من k يعطي نفس النقطة في الفضاء الإسقاطي. إذن، النقطة k في X تعني النقطة k في ⁠Pن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}عندها تتلاشى كثيرات الحدود المعطاة.

بشكلٍ أعم، ليكن X مخططًا على حقل k . هذا يعني وجود تشاكل للمخططات f : X → Spec ( k ) . عندئذٍ، تعني النقطة k في X مقطعًا من هذا التشاكل، أي تشاكل a : Spec( k ) → X بحيث يكون التركيب fa هو العنصر المحايد على Spec( k ) . يتوافق هذا مع التعريفات السابقة عندما يكون X صنفًا أفينيًا أو إسقاطيًا (يُنظر إليه كمخطط على k ).

عندما يكون X تنوعًا على حقل مغلق جبريًا k ، فإن جزءًا كبيرًا من بنية X يتحدد بمجموعة نقاطه العقلانية من الرتبة k ، X ( k ) . أما بالنسبة لحقل عام k ، فإن X ( k ) لا تُعطي سوى معلومات جزئية عن X. على وجه الخصوص، بالنسبة لتنوع X على حقل k وأي امتداد حقل E لـ k ، فإن X يُحدد أيضًا مجموعة نقاطه العقلانية من الرتبة E ، X ( E ) ، أي مجموعة حلول المعادلات التي تُعرّف X بقيم في E.

مثال: ليكن X هو المنحنى المخروطيx2+y2=-1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=-1}في المستوى الأفيني A 2 على الأعداد الحقيقيةR.{\displaystyle \mathbb {R} .}ثم مجموعة النقاط الحقيقيةX(R){\displaystyle X(\mathbb {R} )}المجموعة فارغة، لأن مربع أي عدد حقيقي غير سالب. من ناحية أخرى، في مصطلحات الهندسة الجبرية، فإن التنوع الجبري X علىR{\displaystyle \mathbb {R} }ليست فارغة، لأن مجموعةالنقاط المركبةX(ج){\displaystyle X(\mathbb {C} )}ليس فارغًا.

بشكلٍ أعم، بالنسبة لمخطط X على حلقة تبديلية R وأي جبر تبديلي على R ، S ، فإن مجموعة X ( S ) من نقاط S لـ X تعني مجموعة التشكلات Spec( S ) → X على Spec( R ) . يُحدد المخطط X حتى التشاكل بواسطة الدالة S ↦ X ( S ) ؛ وهذه هي فلسفة تعريف المخطط بدالة نقاطه . صيغة أخرى هي أن المخطط X على R يُحدد مخططًا X <sub>S </sub> على S بتغيير القاعدة ، ويمكن تعريف نقاط S لـ X (على R ) بنقاط S لـ X <sub>S</sub> (على S ).

كانت نظرية المعادلات الديوفانتية تعني تقليديًا دراسة النقاط التكاملية ، أي حلول المعادلات متعددة الحدود في الأعداد الصحيحة .Z{\displaystyle \mathbb {Z} }بدلاً من العقلانيينسؤال.{\displaystyle \mathbb {Q} .}بالنسبة لمعادلات كثيرات الحدود المتجانسة مثلx3+y3=z3،{\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3},}المشكلتان متكافئتان بشكل أساسي، حيث يمكن تغيير مقياس كل نقطة نسبية لتصبح نقطة صحيحة.

النقاط العقلانية على المنحنيات

يمكن اعتبار جزء كبير من نظرية الأعداد بمثابة دراسة النقاط النسبية للأصناف الجبرية، ومن الأمثلة الملائمة على ذلك الأصناف الإسقاطية الملساء . بالنسبة للمنحنيات الإسقاطية الملساء ، يعتمد سلوك النقاط النسبية بشكل كبير على جنس المنحنى.

الجنس 0

كل منحنى إسقاطي أملس X من النوع صفر على حقل k يكون متماثلاً مع منحنى مخروطي (من الدرجة 2) فيP2.{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}.}إذا كانلـ X نقطة عقلانية من الرتبة k ، فإنها متماثلة معP1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}على k ، وبالتالي فإننقاطها العقلانية k مفهومة تمامًا. [ 1 ] إذا كان k هو الحقلسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }بالنسبة للأعداد النسبية (أو بشكل أعم حقل الأعداد )، توجد خوارزمية لتحديد ما إذا كان القطع المخروطي المعطى يحتوي على نقطة نسبية، وذلك استنادًا إلى مبدأ هاس : القطع المخروطي فوقسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }يكون للعنصر نقطة عقلانية إذا وفقط إذا كان له نقطة على جميع إكمالات العنصر .سؤال،{\displaystyle \mathbb {Q} ,}أي ، علىR{\displaystyle \mathbb {R} }وجميع الحقول p - adicسؤالص.{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}⁠

الجنس 1

يصعب تحديد ما إذا كان لمنحنى من النوع 1 نقطة منطقية. يفشل مبدأ هاس في هذه الحالة: على سبيل المثال، وفقًا لإرنست سيلمر ، المنحنى التكعيبي3x3+4y3+5z3=0{\displaystyle 3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0}في​P2{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}له نقطة على جميع إنجازاتسؤال،{\displaystyle \mathbb {Q} ,}لكن لا توجد نقطة منطقية. [ 2 ] يتم قياس فشل مبدأ هاس للمنحنيات من النوع 1 بواسطة مجموعة تيت-شافاريفيتش .

إذا كان X منحنى من النوع 1 بنقطة عقلانية من الرتبة k تساوي p₀ ، فإن X يُسمى منحنى إهليلجيًا على k . في هذه الحالة، يمتلك X بنية زمرة جبرية تبديلية (حيث p₀ هو العنصر الصفري)، وبالتالي فإن مجموعة النقاط العقلانية من الرتبة k ، X ( k )، هي زمرة تبديلية . تنص نظرية مورديل-ويل على أنه بالنسبة لمنحنى إهليلجي (أو، بشكل أعم، صنف تبديلي ) X على حقل عددي k ، فإن الزمرة التبديلية X ( k ) مولدة توليدًا منتهيًا . تستطيع برامج الجبر الحاسوبي تحديد زمرة مورديل-ويل X ( k ) في العديد من الأمثلة، ولكن من غير المعروف ما إذا كانت هناك خوارزمية تنجح دائمًا في حساب هذه الزمرة. ويترتب على ذلك فرضية أن زمرة تيت-شافاريفيتش منتهية، أو فرضية بيرش-سوينرتون-داير ذات الصلة . [ 3 ]

جنس 2 على الأقل

تنص نظرية فالتينغز (المعروفة سابقًا باسم حدسية مورديل) على أنه بالنسبة لأي منحنى X من جنس 2 على الأقل على حقل عددي k ، فإن المجموعة X ( k ) تكون منتهية. [ 4 ]

تُعدّ بعض الإنجازات العظيمة لنظرية الأعداد تحديد النقاط النسبية على منحنيات معينة. فعلى سبيل المثال، تُكافئ نظرية فيرما الأخيرة (التي أثبتها ريتشارد تايلور وأندرو وايلز ) القول بأنه لأي عدد صحيح n أكبر من أو يساوي 3، فإن النقاط النسبية الوحيدة على المنحنى هي نقاط نسبية.xن+yن=zن{\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}في​P2{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}انتهى​​سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }وهي المنحنيات الواضحة: [0,1,1] و [1,0,1] ؛ و [0,1,−1] و [1,0,−1] عندما يكون n زوجيًا؛ و [1,−1,0] عندما يكون n فرديًا . المنحنى X (مثل أي منحنى أملس من الدرجة n فيP2{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}) له جنس(ن-1)(ن-2)2.{\displaystyle {\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}.}

لا يُعرف ما إذا كانت هناك خوارزمية لإيجاد جميع النقاط العقلانية على منحنى عشوائي من جنس لا يقل عن 2 فوق حقل عددي. توجد خوارزمية تعمل في بعض الحالات. ويترتب على انتهائها عمومًا فرضيات مفادها أن زمرة تيت-شافاريفيتش لمتنوعة أبيلية فوق حقل عددي منتهية، وأن عائق براور-مانين هو العائق الوحيد أمام مبدأ هاس، في حالة المنحنيات. [ 5 ]

أبعاد أعلى

أنواع ذات نقاط عقلانية قليلة

في الأبعاد الأعلى، يتمثل أحد الأهداف الموحدة في حدسية بومبيري - لانغ التي تنص على أنه لأي صنف X من النوع العام على حقل عددي k ، فإن مجموعة النقاط العقلانية من الرتبة k في X ليست كثيفة زاريسكي في X. (أي أن النقاط العقلانية من الرتبة k موجودة في اتحاد منتهٍ لأصناف فرعية ذات أبعاد أقل من X ). في البعد 1، هذه هي بالضبط نظرية فالتينغز ، حيث يكون المنحنى من النوع العام إذا وفقط إذا كان جنسه 2 على الأقل. كما وضع لانغ حدسيات أدق تربط بين محدودية النقاط العقلانية والقطع الزائد لكوباياشي . [ 6 ]

فعلى سبيل المثال، تتنبأ فرضية بومبيري-لانغ بأن السطح الفائق الأملس من الدرجة d في الفضاء الإسقاطي ⁠Pن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}لا تحتوي المجموعة X على حقل عددي على نقاط عقلانية كثيفة زاريسكي إذا كان d ≥ n + 2. ولا يُعرف الكثير عن هذه الحالة. وأقوى نتيجة معروفة حول حدسية بومبيري-لانغ هي نظرية فالتينغز حول المجموعات الفرعية من الأصناف الأبيلية (تعميمًا لحالة المنحنيات). أي، إذا كانت X مجموعة فرعية من صنف أبيلي A على حقل عددي k ، فإن جميعالنقاط العقلانية من الرتبة k في X تقع ضمن اتحاد منتهٍ من إزاحات المجموعات الفرعية الأبيلية الموجودة في X. [ 7 ] (لذا، إذالم تحتوي X على أي مجموعات فرعية أبيلية مُزاحة ذات بُعد موجب، فإن X ( k ) تكون منتهية).

أنواع ذات نقاط منطقية عديدة

في الاتجاه المعاكس، يُقال إن تنوعًا X على حقل عددي k يمتلك نقاطًا عقلانية كثيفة محتملة إذا وُجد حقل امتداد منتهٍ E لـ k بحيث تكون النقاط العقلانية E لـ X كثيفة زاريسكي في X. افترض فريدريك كامبانا أن التنوع يكون كثيفًا محتملاً إذا وفقط إذا لم يكن لديه تليف عقلاني على فضاء مداري موجب الأبعاد من النوع العام. [ 8 ] ومن الحالات المعروفة أن كل سطح مكعب فيP3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}يحتوي حقل الأعداد k على نقاط نسبية كثيفة محتملة، لأنه (بشكل أقوى) يصبح نسبيًا على امتداد محدود لـ k (إلا إذا كان مخروطًا فوق منحنى مكعب مستوٍ). كما أن حدسية كامبانا تشير إلى أن سطح K3 X (مثل سطح رباعي أملس فيP3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}( ) على حقل عددي له نقاط نسبية كثيفة محتملة. هذا معروف فقط في حالات خاصة، على سبيل المثال إذا كان X له تليف إهليلجي . [ 9 ]

قد يتساءل المرء متى يكون للتنوع نقطة عقلانية دون توسيع الحقل الأساسي. في حالة السطح الفائق X من الدرجة d فيPن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}في حقل عددي، توجد نتائج جيدة عندما يكون d أصغر بكثير من n ، وغالبًا ما تعتمد هذه النتائج على طريقة دائرة هاردي-ليتلوود . على سبيل المثال، تنص نظرية هاس-مينكوفسكي على أن مبدأ هاس ينطبق على الأسطح الفائقة التربيعية فوق حقل عددي (في حالة d = 2 ). وقد أثبت كريستوفر هولي مبدأ هاس للأسطح الفائقة المكعبة الملساء في ...Pن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}انتهى​​سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }عندما يكون n ≥ 8. [ 10 ] في الأبعاد الأعلى، يكون الأمر أكثر صحة: كل مكعب أملس فيPن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}انتهى​​سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }تحتوي على نقطة عقلانية عندما يكون n ≥ 9 ، وفقًا لروجر هيث براون . [ 11 ] وبشكل أعم، تنص نظرية بيرش على أنه لأي عدد صحيح فردي موجب d ، يوجد عدد صحيح N بحيث أنه لكل n ≥ N ، فإن كل سطح فائق من الدرجة d فيPن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}انتهى​​سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }له وجهة نظر منطقية .

بالنسبة للأسطح الفائقة ذات الأبعاد الأصغر (من حيث درجتها)، قد تكون الأمور أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، لا ينطبق مبدأ هاس على السطح المكعب الأملس.5x3+9y3+10z3+12w3=0{\displaystyle 5x^{3}+9y^{3}+10z^{3}+12w^{3}=0}في​P3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}انتهى​​سؤال،{\displaystyle \mathbb {Q} ,}بقلم إيان كاسيلز وريتشارد غاي. [ 12 ] افترض جان لويس كوليو-ثيلين أن عائق براور-مانين هو العائق الوحيد أمام مبدأ هاس للأسطح المكعبة. وبشكل أعم، ينبغي أن ينطبق ذلك على كل تنوع متصل منطقيًا على حقل عددي. [ 13 ]

في بعض الحالات، من المعروف أن X يمتلك "العديد" من النقاط العقلانية كلما امتلك نقطة عقلانية واحدة. على سبيل المثال، بتوسيع عمل بنيامينو سيغري ويوري مانين ، بيّن يانوس كولار أنه بالنسبة لسطح فائق مكعب X ذي بُعد لا يقل عن 2 على حقل كامل k حيث X ليس مخروطًا، يكون X أحادي العقلانية على k إذا كان يمتلك نقطة عقلانية من الرتبة k . [ 14 ] (على وجه الخصوص، بالنسبة لـ k اللانهائي، فإن أحادية العقلانية تعني أن مجموعة النقاط العقلانية من الرتبة k كثيفة زاريسكي في X ). تُعدّ حدسية مانين بيانًا أكثر دقة يصف السلوك التقاربي لعدد النقاط العقلانية ذات الارتفاع المحدود على صنف فانو .

عد النقاط على الحقول المنتهية

لا يمتلك التنوع X على حقل منتهٍ k سوى عدد محدود من النقاط العقلانية من الرتبة k . تُعطي حدسيات ويل ، التي أثبتها أندريه ويل في البعد 1 وبيير ديلين في أي بُعد، تقديرات قوية لعدد النقاط من الرتبة k بدلالة أعداد بيتي لـ X. على سبيل المثال، إذا كان X منحنى إسقاطيًا أملسًا من الجنس g على حقل k من الرتبة q (قوة عدد أولي)، فإن

||X(ك)|-(q+1)|≤2زq.{\displaystyle {\big |}|X(k)|-(q+1){\big |}\leq 2g{\sqrt {q}}.}

لسطح فائق أملس X من الدرجة d فيPن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}على حقل k من الرتبة q ، تعطي نظرية ديلين الحد: [ 15 ]

||X(ك)|-(qن-1+⋯+q+1)|≤((د-1)ن+1+(-1)ن+1(د-1)د)q(ن-1)/2.{\displaystyle {\big |}|X(k)|-(q^{n-1}+\cdots +q+1){\big |}\leq {\bigg (}{\frac {(d-1)^{n+1}+(-1)^{n+1}(d-1)}{d}}{\bigg )}q^{(n-1)/2}.}

توجد أيضًا نتائج مهمة حول متى يكون للتنوع الإسقاطي على حقل منتهٍ k نقطة عقلانية واحدة على الأقل من الدرجة k . على سبيل المثال، تنص نظرية شيڤالي-وارنينغ على أن أي سطح فائق X من الدرجة d فيPن{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}على حقل منتهٍ k، يكون لـنقطة عقلانية k إذا كان d ≤ n . بالنسبة لـ X الأملس ، يتبع هذا أيضًا مننظرية هيلين إسناولت التي تنص على أن كل تنوع إسقاطي أملس متصل بسلسلة عقلانية ، على سبيل المثال كل تنوع فانو، على حقل منتهٍ k، له نقطة عقلانية k . [ 16 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ هيندري وسيلفرمان (2000)، النظرية أ.4.3.1.
  2. ↑ سيلفرمان (2009)، ملاحظة X.4.11.
  3. ↑ سيلفرمان (2009)، التخمين X.4.13.
  4. ↑ هيندري وسيلفرمان (2000)، النظرية E.0.1.
  5. ↑ سكوروبوغاتوف (2001)، القسم 6،3.
  6. ↑ هيندري وسيلفرمان (2000)، القسم F.5.2.
  7. ↑ هيندري وسيلفرمان (2000)، النظرية F.1.1.1.
  8. ↑ كامبانا (2004)، التخمين 9.20.
  9. ↑ هاسيت (2003)، النظرية 6.4.
  10. ↑ هولي (1988)، نظرية.
  11. ↑ هيث-براون (1983)، نظرية.
  12. ^ كوليو-ثيلين، كانفسكي وسانسوك (1987)، القسم 7.
  13. ^ كوليو-ثيلين (2015)، القسم 6.1.
  14. ^ كولار (2002)، النظرية 1.1.
  15. ↑ كاتز (1980)، القسم الثاني.
  16. ↑ إسناولت (2003)، النتيجة 1.3.

مراجع