مقالٌ نحو حلّ مشكلة في مذهب الاحتمالات

"مقال في سبيل حل مشكلة في نظرية الاحتمالات" هو عمل في النظرية الرياضية للاحتمالات من تأليف توماس بايز ، نُشر عام 1763، ^{[ 1 ]} بعد عامين من وفاة مؤلفه. وقد أعدّ المقال للنشر، وأُضيفت إليه تعديلات وإضافات، صديق بايز، ريتشارد برايس .

يعكس العنوان الاستخدام المعاصر لمصطلح "مذهب الاحتمالات" للدلالة على نظرية الاحتمالات ، وهو استخدامٌ بدأ مع عنوان كتابٍ لأبراهام دي مويفر . أما الطبعات المعاصرة للمقال فتحمل عنوانًا أكثر وصفًا: "طريقة لحساب الاحتمال الدقيق لجميع الاستنتاجات المبنية على الاستقراء" . ^{[ 2 ]}

تحتوي المقالة على نظريات الاحتمال الشرطي التي تشكل أساس ما يعرف الآن بنظرية بايز ، بالإضافة إلى معالجة مفصلة لمشكلة تحديد الاحتمال المسبق .

== نظرة عامة == اعتبر بايز سلسلة من التجارب المستقلة، كل منها ينتج عنه إما نجاح أو فشل، مع احتمال النجاح في أي تجربة معينة يساوي كمية ثابتة ولكنها غير معروفة p بين 0 و 1. لقد تعامل مع p نفسها على أنها غير مؤكدة، وخصص لها احتمال الوقوع في أي فترة فرعية من [0، 1] يساوي طول تلك الفترة الفرعية - باللغة الحديثة، توزيع منتظم على [0، 1].

بشرط قيمة p ، تكون نتائج التجارب مستقلة؛ أما بدون شرط، فهي غير مستقلة، لأن ملاحظة العديد من النجاحات تجعل قيمة p الأكبر أكثر احتمالاً، مما يزيد بدوره من احتمالية النجاح في التجربة التالية. وكان سؤال بايز: بالنظر إلى عدد النجاحات والإخفاقات الملاحظة حتى الآن، ما هو التوزيع الاحتمالي الشرطي لـ p ؟

الجواب هو أن دالة كثافة الاحتمال لـ p ، مع الأخذ في الاعتبار k من النجاحات في n من المحاولات، هي

${\displaystyle f(p)={\frac {(n+1)!}{k!(nk)!}},p^{k}(1-p)^{nk}\qquad {\text{لـ }}0\leq p\leq 1}$

(و f ( p ) = 0 خارج تلك الفترة). هذا هو توزيع بيتا ذو المعاملات k + 1 و n − k + 1.

== ملخص == تشير نتائج بايز الأولية حول الاحتمال الشرطي - وخاصة القضايا 3 و4 و5 - إلى النظرية التي سُميت باسمه. بكلماته الخاصة:

إذا وقع حدثان متتاليان، فإن احتمال وقوع الحدث الثاني هو b/N واحتمال وقوعهما معًا هو P/N ، وإذا تم اكتشاف وقوع الحدث الثاني أولًا، فمن ثم أستنتج أن الحدث الأول قد وقع أيضًا، فإن احتمال صحة استنتاجي هو P/b . ^{[ 1 ]}

بشكل رمزي (انظر ستيجلر 1982 ^{[ 3 ]} )، هذا هو:

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},\quad {\text{if }}P(A)\neq 0}$

مما يؤدي إلى نظرية بايز للاحتمالات الشرطية:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A),P(A)}{P(B)}},\quad {\text{if }}P(B)\neq 0}$

لا يبدو أن بايز قد ركز على هذه الهوية بحد ذاتها. كان هدفه الحقيقي مشكلة استدلالية أوسع نطاقًا.

بمعرفة عدد المرات التي حدث فيها حدث غير معروف وفشل [...] أوجد احتمال أن يقع احتمال حدوثه في تجربة واحدة بين أي درجتين من درجات الاحتمال التي يمكن تسميتها. ^{[ 1 ]}

توضح المقالة ذلك من خلال مثال رجل يحاول تقدير نسبة "الأرقام الفارغة" إلى "الجوائز" في اليانصيب. بعد أن شاهد اليانصيب يُنتج عشرة أرقام فارغة وجائزة واحدة، يُبين بايز كيفية حساب احتمال أن تكون النسبة الحقيقية للأرقام الفارغة إلى الجوائز بين 9:1 و11:1، أي حوالي 7.7%. ثم يُوسع نطاق الحساب مع تراكم المزيد من السحوبات: عشرون رقمًا فارغًا وجائزتان، أربعون رقمًا فارغًا وأربع جوائز، وهكذا، حتى يرتفع الاحتمال إلى حوالي 97% بعد 10000 رقم فارغ و1000 جائزة. ^{[ 1 ]}

النتيجة المركزية لبايز، وهي القضية رقم 9، هي، بالصيغة الحديثة:

بافتراض توزيع مسبق منتظم على المعامل ذي الحدين p ، وبعد ملاحظة m من حالات النجاح و n من حالات الفشل،

${\displaystyle P(a<p<b\mid m,n)={\frac {\displaystyle \int _{a}^{b}{\binom {n+m}{m}}p^{m}(1-p)^{n},dp}{\displaystyle \int _{0}^{1}{\binom {n+m}{m}}p^{m}(1-p)^{n},dp}}}$

يبقى من غير الواضح ما إذا كان بايز نفسه "بايزيًا" بالمعنى الحديث - أي ما إذا كان اهتمامه ينصب على الاستدلال البايزي تحديدًا، بدلًا من الاحتمالات بشكل عام. تبدو القضية التاسعة "بايزية" في صياغتها لعبارة احتمالية حول المعلمة p نفسها. ومع ذلك، يطرح بايز المشكلة الأساسية بمصطلحات فيزيائية تبدو مألوفة في الإحصاء التكراري: تُقذف كرة عشوائيًا على طاولة مربعة، ثم تُقذف كرات أخرى، فتسقط على يسار أو يمين الكرة الأولى باحتمالات p و 1 − p على التوالي. (غالبًا ما تُوصف الطاولة في الروايات بأنها طاولة بلياردو والكرة بأنها كرة بلياردو، مع أن بايز نفسه لم يصفهما بذلك قط). تبقى العمليات الجبرية متطابقة بغض النظر عن التفسير المُعتمد.

== ريتشارد برايس ووجود الله == اكتشف ريتشارد برايس المقال ونظريته ضمن أوراق بايز بعد وفاته، واعتقد أنهما يقدمان دليلاً على وجود الله. كتب برايس في مقدمة المقال:

الهدف الذي أقصده هو بيان الأسباب التي تدفعنا للاعتقاد بوجود قوانين ثابتة في بنية الأشياء تحكم حدوثها، وبالتالي فإن نظام العالم هو نتاج حكمة وقوة سبب عاقل؛ ومن ثم تأكيد الحجة المستندة إلى الغايات النهائية لوجود الإله. وسيتضح بسهولة أن المسألة المعاكسة التي تم حلها في هذه المقالة أكثر ملاءمة لهذا الغرض؛ إذ تُظهر لنا بوضوح ودقة، في كل حالة من حالات أي نظام أو تكرار معين للأحداث، ما هو السبب الذي يدفعنا للاعتقاد بأن هذا التكرار أو النظام نابع من أسباب أو قوانين ثابتة في الطبيعة، وليس من أي خلل عشوائي. ^{[ 1 ]}

وبمصطلحات حديثة، هذا مثال على الحجة الغائية .

بايز، توماس؛ برايس، ريتشارد (1763). "مقال في سبيل حل مشكلة في مذهب الاحتمالات". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . 53 : 370-418 . doi : 10.1098/rstl.1763.0053 .

بارنارد، جي إيه (1958). "دراسات في تاريخ الاحتمالات والإحصاء: التاسع. مقال توماس بايز نحو حل مشكلة في نظرية الاحتمالات". بيومتريكا . 45 ( 3-4 ): 293-295 . doi : 10.1093/biomet/45.3-4.293 .

[إعادة طبع التدوين الأصلي لمقال بايز]

[نسخة من أرشيف الإنترنت بعنوان "مقال في حل مشكلة في نظرية الاحتمالات"]

[نسخة من المقال صادرة عن قسم الإحصاء بجامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس]