توزيع بيتا

يتم دعم توزيع بيتا ذي معاملي الشكل α و β على النطاق [0,1] أو (0,1). من الممكن تغيير موقع ومقياس التوزيع عن طريق إدخال معاملين إضافيين يمثلان القيم الدنيا، a ، والقصوى ، c ( حيث c > a )، للتوزيع، ^{[ 1 ]} عن طريق تحويل خطي يستبدل المتغير غير البعدي x بدلالة المتغير الجديد y (الذي يدعم النطاق [ a , c ] أو ( a , c )) والمعاملين a و c .

$${\displaystyle y=x(c-a)+a,{\text{ therefore }}x={\frac {y-a}{c-a}}.}$$

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع بيتا ذي الأربعة معلمات تساوي دالة كثافة الاحتمال لتوزيع ذي المعلمتين، مضروبة في المدى ( c  - a )، (بحيث تكون المساحة الكلية تحت منحنى الكثافة مساوية لاحتمال واحد)، مع إزاحة المتغير "y" وقياسه على النحو التالي:  $${\displaystyle {\begin{aligned}f(y;\alpha ,\beta ,a,c)={\frac {f(x;\alpha ,\beta )}{c-a}}&={\frac {\left({\frac {y-a}{c-a}}\right)^{\alpha -1}\left({\frac {c-y}{c-a}}\right)^{\beta -1}}{(c-a)B(\alpha ,\beta )}}\\[1ex]&={\frac {(y-a)^{\alpha -1}(c-y)^{\beta -1}}{(c-a)^{\alpha +\beta -1}B(\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}}$$

يُرمز إلى أن المتغير العشوائي Y يتبع توزيع بيتا بأربعة معلمات α و β و a و c بالرمز التالي:

$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta ,a,c).}$$

يتم تغيير مقياس بعض مقاييس الموقع المركزي (بواسطة ( c  − a )) وإزاحتها (بواسطة a )، على النحو التالي: 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{Y}&=\mu _{X}(c-a)+a\\[1ex]&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\left(c-a\right)+a={\frac {\alpha c+\beta a}{\alpha +\beta }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mode}}(Y)&={\text{mode}}(X)(c-a)+a\\[1ex]&={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\left(c-a\right)+a\\[1ex]&={\frac {(\alpha -1)c+(\beta -1)a}{\alpha +\beta -2}}\ ,&{\text{ if }}\alpha ,\,\beta >1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{median}}(Y)&={\text{median}}(X)(c-a)+a\\[1ex]&=I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\left(c-a\right)+a\end{aligned}}}$$

ملاحظة: لا يمكن تحويل المتوسط ​​الهندسي والمتوسط ​​التوافقي عن طريق التحويل الخطي بالطريقة التي يمكن بها تحويل المتوسط ​​والوسيط والمنوال.

يمكن كتابة معلمات شكل Y بدلالة متوسطها وتباينها كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {\left(a-\mu _{Y}\right)\left(a\,c-a\,\mu _{Y}-c\,\mu _{Y}+\mu _{Y}^{2}+\sigma _{Y}^{2}\right)}{\sigma _{Y}^{2}(c-a)}}\\\beta &=-{\frac {\left(c-\mu _{Y}\right)\left(a\,c-a\,\mu _{Y}-c\,\mu _{Y}+\mu _{Y}^{2}+\sigma _{Y}^{2}\right)}{\sigma _{Y}^{2}(c-a)}}\end{aligned}}}$$

يتم قياس مقاييس التشتت الإحصائي (لا تحتاج إلى إزاحة لأنها متمركزة بالفعل حول المتوسط) بواسطة المدى ( c  − a )، خطيًا بالنسبة للانحراف المتوسط ​​وغير خطيًا بالنسبة للتباين: 

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{(mean deviation around mean)}}(Y)\\[1ex]&=({\text{(mean deviation around mean)}}(X))(c-a)\\&={\frac {2\alpha ^{\alpha }\beta ^{\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(\alpha +\beta )^{\alpha +\beta +1}}}(c-a)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\text{var}}(Y)={\text{var}}(X)(c-a)^{2}={\frac {\alpha \beta (c-a)^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.}$$

بما أن الالتواء والتفرطح الزائد كميتان لا بعديتان ( كلحظات متمركزة حول المتوسط ​​ومُقاسة بالانحراف المعياري )، فإنهما مستقلتان عن المعاملين a و c ، وبالتالي فهما متساويتان مع التعبيرات المذكورة أعلاه بدلالة X (مع الدعم [0,1] أو (0,1)):

$${\displaystyle {\text{skewness}}(Y)={\text{skewness}}(X)={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}.}$$

$${\displaystyle {\text{kurtosis excess}}(Y)={\text{kurtosis excess}}(X)={\frac {6\left[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)\right]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$$

نمط المتغير العشوائي X الموزع بيتا مع α ، β > 1 هو القيمة الأكثر احتمالا للتوزيع (المقابلة للذروة في دالة كثافة الاحتمال)، ويتم إعطاؤه بالصيغة التالية: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}$$

عندما تكون كلتا المعلمتين أقل من واحد ( α ، β < 1)، فهذا هو النمط المضاد: أدنى نقطة في منحنى كثافة الاحتمال. ^{[ 8 ]}

بوضع α = β ، يتبسط تعبير المنوال إلى 1/2، مما يدل على أنه عندما يكون α = β > 1، يكون المنوال (أو النمط المضاد عندما يكون α ، β < 1 ) في مركز التوزيع: وهو متناظر في هذه الحالات. راجع قسم الأشكال في هذه المقالة للاطلاع على قائمة كاملة بحالات المنوال، لقيم اختيارية لـ α و β . في العديد من هذه الحالات، تقع القيمة القصوى لدالة الكثافة عند أحد طرفي التوزيع أو كليهما. في بعض الحالات، تكون القيمة (القصوى) لدالة الكثافة عند الطرف محدودة. على سبيل المثال، في حالة α = 2، β = 1 (أو α = 1، β = 2)، تصبح دالة الكثافة توزيعًا مثلثيًا قائم الزاوية محدودًا عند كلا الطرفين. في حالات أخرى، توجد نقطة شاذة عند أحد الطرفين، حيث تقترب قيمة دالة الكثافة من اللانهاية. على سبيل المثال، في حالة α = β = 1/2، يتبسط توزيع بيتا ليصبح توزيع الجيب العكسي . يوجد جدل بين علماء الرياضيات حول بعض هذه الحالات، وما إذا كان يمكن تسمية طرفي التوزيع ( x = 0 و x = 1) بالمنوال أم لا. ^{[ 9 ] [ 2 ]}

• ما إذا كانت النهايات جزءًا من نطاق دالة الكثافة
• هل يمكن تسمية التفرد بنمط ما؟
• هل ينبغي تسمية الحالات التي تحتوي على قيمتين عظميين بالحالات ثنائية النمط ؟

الوسيط لتوزيع بيتا هو العدد الحقيقي الفريد${\displaystyle x=I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )}$والتي تكون دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة لها${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )={\tfrac {1}{2}}}$لا توجد صيغة عامة مغلقة لوسيط توزيع بيتا لأي قيم لـ α و β . فيما يلي صيغ مغلقة لقيم محددة للمعاملين α و β :

• في الحالات المتناظرة α = β ، الوسيط = 1/2.
• بالنسبة لـ α = 1 و β > 0، الوسيط${\displaystyle =1-2^{-1/\beta }}$(هذه الحالة هي صورة معكوسة لتوزيع دالة القوة )
• بالنسبة لـ α > 0 و β = 1، الوسيط =${\displaystyle 2^{-1/\alpha }}$(هذه الحالة هي توزيع دالة القوة ^{[ 9 ]} )
• بالنسبة لـ α = 3 و β = 2، الوسيط = 0.6142724318676105...، الحل الحقيقي للمعادلة الرباعية 1 − 8 x ³ + 6 x ⁴ = 0، والتي تقع في [0,1].
• بالنسبة لـ α = 2 و β = 3، الوسيط = 0.38572756813238945... = 1−median(Beta(3, 2))

فيما يلي الحدود التي يكون فيها أحد المعاملات محدودًا (غير صفري) والآخر يقترب من هذه الحدود:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}{\text{median}}=\lim _{\alpha \to \infty }{\text{median}}=1,\\\lim _{\alpha \to 0}{\text{median}}=\lim _{\beta \to \infty }{\text{median}}=0.\end{aligned}}}$$

يتم إعطاء تقريب معقول لقيمة الوسيط لتوزيع بيتا، لكل من α و β أكبر من أو يساوي واحد، بواسطة الصيغة ^{[ 10 ].}

$${\displaystyle {\text{median}}\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}{\text{ for }}\alpha ,\beta \geq 1.}$$

عندما تكون قيمتا α و β أكبر من أو تساوي 1، يكون الخطأ النسبي ( الخطأ المطلق مقسومًا على الوسيط) في هذا التقريب أقل من 4%، ويكون أقل من 1% عندما تكون قيمتا α و β أكبر من أو تساويان 2 أو أكبر من أو تساويان 2. وبالمثل، يكون الخطأ المطلق مقسومًا على الفرق بين المتوسط ​​والمنوال صغيرًا جدًا.

القيمة المتوقعة (المتوسط) ( μ ) لمتغير عشوائي X ذي توزيع بيتا مع معلمتين α و β هي دالة لنسبة β / α لهذه المعلمات فقط: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}\end{aligned}}}$$

بوضع α = β في المعادلة أعلاه، نحصل على μ = 1/2 ، مما يدل على أن المتوسط، عندما α = β، يقع في مركز التوزيع: أي أنه متماثل. كما يمكن استنتاج النهايات التالية من المعادلة أعلاه:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to 0}\mu =1\\\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to \infty }\mu =0\end{aligned}}}$$

لذا، عندما تقترب نسبة β / α من الصفر، أو عندما تقترب نسبة α / β من اللانهاية، يقع المتوسط ​​عند الطرف الأيمن، x = 1. عند هذه النسب الحدية، يصبح توزيع بيتا توزيعًا منحلًا بنقطة واحدة مع ذروة دالة ديراك دلتا عند الطرف الأيمن، x = 1 ، باحتمالية  1، واحتمالية صفرية في أي مكان آخر. هناك احتمالية 100% (يقين مطلق) مركزة عند الطرف الأيمن، x = 1 .

وبالمثل، عندما تؤول نسبة β / α إلى اللانهاية، أو عندما تؤول نسبة α / β إلى الصفر، يقع المتوسط ​​عند الطرف الأيسر، x = 0. يصبح توزيع بيتا توزيعًا منحلًا بنقطة واحدة مع ذروة دالة ديراك دلتا عند الطرف الأيسر، x = 0، باحتمالية 1، واحتمالية صفرية في أي مكان آخر. هناك احتمالية 100% (يقين مطلق) مركزة عند الطرف الأيسر، x = 0. فيما يلي النهايات عندما تكون إحدى المعلمتين محدودة (غير صفرية) والأخرى تقترب من هذه النهايات:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}\mu =\lim _{\alpha \to \infty }\mu =1\\\lim _{\alpha \to 0}\mu =\lim _{\beta \to \infty }\mu =0\end{aligned}}}$$

في حين أنه من المعروف أن متوسط ​​العينة (كتقدير للموقع) ليس بنفس قوة الوسيط في التوزيعات أحادية النمط النموذجية (ذات الأنماط المركزية، ونقاط الانعطاف على جانبي النمط، والذيل الطويل) ( حيث α و β > 2 ) ، فإن العكس صحيح في التوزيعات ثنائية النمط المنتظمة أو "على شكل حرف U" (حيث α و β ≤ 1 ) ، إذ تقع الأنماط عند طرفي التوزيع. وكما أشار موستيلر وتوكي ( ^{[ 11 ]} ، ص 207) : " يستخدم متوسط ​​القيمتين المتطرفتين جميع معلومات العينة. وهذا يوضح كيف ينبغي أن تحظى القيم المتطرفة بوزن أكبر في التوزيعات قصيرة الذيل." على النقيض من ذلك، يتضح أن الوسيط للتوزيعات ثنائية النمط "على شكل حرف U" ذات الأنماط عند حافة التوزيع (مع Beta( α , β ) بحيث α , β ≤ 1 ) ليس متينًا، لأن وسيط العينة يستبعد المشاهدات المتطرفة من العينة. ويظهر تطبيق عملي لهذا، على سبيل المثال، في المسارات العشوائية ، حيث أن احتمال وقت آخر زيارة لنقطة الأصل في مسار عشوائي يتوزع وفقًا لتوزيع دالة الجيب العكسي Beta(1/2, 1/2): ^{[ 5 ] [ 12 ]} وبالتالي، فإن متوسط ​​عدد من عمليات محاكاة المسار العشوائي يُعدّ مقدرًا أكثر متانة من الوسيط (الذي يُعدّ تقديرًا غير مناسب لحجم العينة في هذه الحالة).     

إن لوغاريتم المتوسط ​​الهندسي G _X لتوزيع ذي متغير عشوائي X هو المتوسط ​​الحسابي لـ ln( X )، أو بشكل مكافئ، قيمته المتوقعة:

$${\displaystyle \ln G_{X}=\operatorname {E} [\ln X]}$$

بالنسبة لتوزيع بيتا، فإن تكامل القيمة المتوقعة يعطي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\ln X]&=\int _{0}^{1}\ln x\,f(x;\alpha ,\beta )\,dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}\ln x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,\int _{0}^{1}{\frac {\partial x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\partial \alpha }}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha )}{\partial \alpha }}-{\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha +\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}}$$

حيث ψ هي دالة ديغاما .

لذلك، فإن المتوسط ​​الهندسي لتوزيع بيتا ذي معلمات الشكل α و β هو الدالة الأسية لدوال ديغاما لـ α و β كما يلي:

$${\displaystyle G_{X}=e^{\operatorname {E} [\ln X]}=e^{\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}}$$

في حين أنه بالنسبة لتوزيع بيتا ذي معاملات شكل متساوية α = β ، فإن معامل الالتواء يساوي صفرًا، والمنوال يساوي المتوسط ​​ويساوي الوسيط ويساوي 1/2، فإن المتوسط ​​الهندسي يكون أقل من 1/2: 0 < G _X < 1/2 . والسبب في ذلك هو أن التحويل اللوغاريتمي يُرجّح بشدة قيم X القريبة من الصفر، حيث يميل ln( X ) بشدة نحو سالب ما لا نهاية عندما تقترب X من الصفر، بينما يتسطح ln( X ) نحو الصفر عندما X → 1 .

على طول الخط α = β ، تنطبق الحدود التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{X}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{X}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

فيما يلي الحدود مع وجود أحد المعاملات محدودًا (غير صفري) والآخر يقترب من هذه الحدود:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{X}=1\\\lim _{\alpha \to 0}G_{X}=\lim _{\beta \to \infty }G_{X}=0\end{aligned}}}$$

يُظهر الرسم البياني المرفق الفرق بين المتوسط ​​والمتوسط ​​الهندسي لمعاملات الشكل α و β من الصفر إلى 2. وبالإضافة إلى حقيقة أن الفرق بينهما يقترب من الصفر عندما تقترب α و β من اللانهاية، وأن هذا الفرق يصبح كبيرًا عندما تقترب قيم α و β من الصفر، يمكن ملاحظة عدم تناظر واضح في المتوسط ​​الهندسي بالنسبة لمعاملات الشكل α و β . ويكون الفرق بين المتوسط ​​الهندسي والمتوسط ​​أكبر عند القيم الصغيرة لـ α مقارنةً بـ β منه عند تبديل قيم β و α .

يقترح كل من NLJohnson و S. Kotz ^{[ 1 ]} التقريب اللوغاريتمي لدالة ديجاما ψ ( α ) ≈ ln( α  −  1/2) والذي ينتج عنه التقريب التالي للمتوسط ​​الهندسي:

$${\displaystyle G_{X}\approx {\frac {\alpha \,-{\frac {1}{2}}}{\alpha +\beta -{\frac {1}{2}}}}{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$$

فيما يلي القيم الرقمية للخطأ النسبي في هذا التقريب: [ ( α = β = 1): 9.39% ]؛ [ ( α = β = 2): 1.29% ]; [ ( α = 2، β = 3): 1.51% ]؛ [ ( α = 3، β = 2): 0.44% ]؛ [ ( α = β = 3): 0.51% ]; [ ( α = β = 4): 0.26% ]; [ ( α = 3، β = 4): 0.55% ]؛ [ ( α = 4, β = 3): 0.24% ].

وبالمثل، يمكن حساب قيمة معلمات الشكل اللازمة لكي يساوي المتوسط ​​الهندسي  1/2. بمعرفة قيمة المعلمة β ، ما هي قيمة المعلمة الأخرى α اللازمة لكي يساوي المتوسط ​​الهندسي 1/2؟ الجواب هو أنه (عندما تكون β > 1 )، فإن قيمة α المطلوبة تقترب من β + 1/2 عندما تقترب β من اللانهاية . على سبيل المثال، كل هذه الأزواج لها نفس الوسط الهندسي 1/2: [ β = 1, α = 1.4427 ], [ β = 2, α = 2.46958 ], [ β = 3, α = 3.47943 ], [ β = 4, α = 4.48449 ], [ β = 5, α = 5.48756 ]، [ β = 10، α = 10.4938 ]، [ β = 100، α = 100.499 ].   

الخاصية الأساسية للمتوسط ​​الهندسي، والتي يمكن إثبات عدم صحتها لأي متوسط ​​آخر، هي

$${\displaystyle G{\left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)}={\frac {G(X_{i})}{G(Y_{i})}}}$$

هذا يجعل المتوسط ​​الهندسي المتوسط ​​الصحيح الوحيد عند حساب متوسط ​​النتائج المعيارية ، أي النتائج المعروضة كنسب إلى القيم المرجعية. ^{[ 13 ]} وهذا مهم لأن توزيع بيتا نموذج مناسب للسلوك العشوائي للنسب المئوية، وهو مناسب بشكل خاص للنمذجة الإحصائية للنسب. يلعب المتوسط ​​الهندسي دورًا محوريًا في تقدير الاحتمال الأقصى، انظر قسم "تقدير المعلمات، الاحتمال الأقصى". في الواقع، عند إجراء تقدير الاحتمال الأقصى، بالإضافة إلى المتوسط ​​الهندسي G( _X) القائم على المتغير العشوائي X، يظهر أيضًا متوسط ​​هندسي آخر بشكل طبيعي: المتوسط ​​الهندسي القائم على التحويل الخطي – (1 − X ) ، وهو صورة معكوسة لـ X ، ويرمز له بـ G _{(1 − X )} .

$${\displaystyle G_{1-X}=e^{\operatorname {E} [\ln(1-X)]}=e^{\psi (\beta )-\psi (\alpha +\beta )}}$$

على طول الخط α = β ، تنطبق الحدود التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{1-X}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{1-X}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

فيما يلي الحدود مع وجود أحد المعاملات محدودًا (غير صفري) والآخر يقترب من هذه الحدود:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{(1-X)}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{(1-X)}=0\\\lim _{\alpha \to 0}G_{(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }G_{(1-X)}=1\end{aligned}}}$$

تبلغ قيمتها التقريبية ما يلي:

$${\displaystyle G_{(1-X)}\approx {\frac {\beta -{\frac {1}{2}}}{\alpha +\beta -{\frac {1}{2}}}}{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$$

على الرغم من أن كلاً من G _X و G _{1− X} غير متناظرين، إلا أنه في حالة تساوي معاملي الشكل α = β ، فإن المتوسطات الهندسية متساوية: G _X = G _{(1− X )} . وتنتج هذه المساواة من التناظر التالي بين المتوسطين الهندسيين:

$${\displaystyle G_{X}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=G_{1-X}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )).}$$

مقلوب المتوسط ​​التوافقي ( H_{_X}) لتوزيع ذي متغير عشوائي X هو المتوسط ​​الحسابي لـ 1/ X ، أو ما يعادله، قيمته المتوقعة. لذا، فإن المتوسط ​​التوافقي ( H _{_X} ) لتوزيع بيتا ذي معاملي الشكل α و β هو:

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{X}&={\frac {1}{\operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]}}\\&={\frac {1}{\int _{0}^{1}{\frac {f(x;\alpha ,\beta )}{x}}\,dx}}\\&={\frac {1}{\int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{x\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx}}\\&={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ if }}\alpha >1{\text{ and }}\beta >0\\\end{aligned}}}$$

المتوسط ​​التوافقي ( H _X ) لتوزيع بيتا مع α < 1 غير معرف، لأن تعبيره المحدد غير محدود في [0، 1] لمعامل الشكل α أقل من واحد.

بوضع α = β في التعبير أعلاه، نحصل على

$${\displaystyle H_{X}={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}},}$$

مما يدل على أنه بالنسبة لـ α = β يتراوح المتوسط ​​التوافقي من 0، بالنسبة لـ α = β = 1، إلى 1/2، بالنسبة لـ α = β → ∞.

فيما يلي الحدود مع وجود أحد المعاملات محدودًا (غير صفري) والآخر يقترب من هذه الحدود:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to 0}H_{X}{\text{ is undefined}}\\&\lim _{\alpha \to 1}H_{X}=\lim _{\beta \to \infty }H_{X}=0\\&\lim _{\beta \to 0}H_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }H_{X}=1\end{aligned}}}$$

يلعب المتوسط ​​التوافقي دورًا في تقدير الاحتمال الأقصى لحالة المعلمات الأربع، بالإضافة إلى المتوسط ​​الهندسي. في الواقع، عند إجراء تقدير الاحتمال الأقصى لحالة المعلمات الأربع، إلى جانب المتوسط ​​التوافقي H _X القائم على المتغير العشوائي X ، يظهر أيضًا متوسط ​​توافقي آخر بشكل طبيعي: المتوسط ​​التوافقي القائم على التحويل الخطي (1  − X )، وهو صورة معكوسة لـ X ، ويرمز له بـ H _{1 − X.}   

$${\displaystyle H_{1-X}={\frac {1}{\operatorname {E} \left[{\frac {1}{1-X}}\right]}}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1,{\text{ and }}\alpha >0.}$$

المتوسط ​​التوافقي ( H _{(1  − X )}  ) لتوزيع بيتا مع β < 1 غير معرف، لأن تعبيره المحدد غير محدود في [0، 1] لمعامل الشكل β أقل من واحد.

بوضع α = β في التعبير أعلاه، نحصل على

$${\displaystyle H_{(1-X)}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}},}$$

مما يدل على أنه بالنسبة لـ α = β يتراوح المتوسط ​​التوافقي من 0، بالنسبة لـ α = β = 1، إلى 1/2، بالنسبة لـ α = β → ∞.

فيما يلي الحدود مع وجود أحد المعاملات محدودًا (غير صفري) والآخر يقترب من هذه الحدود:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}{\text{ is undefined}}\\&\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\&\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$$

على الرغم من أن كلاً من H _X و H _{1− X} غير متناظرين، فإنه في حالة تساوي معاملي الشكل α = β ، تتساوى المتوسطات التوافقية: H _X ​​= H _{1− X.} وتنتج هذه المساواة من التناظر التالي بين المتوسطين التوافقيين:

$${\displaystyle H_{X}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=H_{1-X}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )){\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$$

التباين (العزم الثاني المتمركز حول المتوسط) لمتغير عشوائي X ذي توزيع بيتا مع المعلمات α و β هو : ^{[ 1 ] [ 14 ]}

$${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]={\frac {\alpha \beta }{\left(\alpha +\beta \right)^{2}\left(\alpha +\beta +1\right)}}}$$

بوضع α = β في التعبير أعلاه، نحصل على

$${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(2\beta +1)}},}$$

يُظهر هذا أنه عندما α = β، يتناقص التباين بشكل رتيب مع ازدياد α = β . بوضع α = β = 0 في هذه المعادلة، نجد أن أقصى تباين var( X ) = 1/4 ^{[ 1 ]} لا يحدث إلا عند الاقتراب من النهاية، أي عند α = β = 0 .

يمكن أيضًا تحديد معلمات توزيع بيتا من حيث متوسطه μ (0 < μ < 1) وحجم العينة ν = α + β ( ν > 0 ) (انظر القسم الفرعي المتوسط ​​وحجم العينة ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\mu \nu ,&{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0,\\\beta &=(1-\mu )\nu ,&{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0.\end{aligned}}}$$

باستخدام هذه المعلمة ، يمكن التعبير عن التباين بدلالة المتوسط ​​μ وحجم العينة ν على النحو التالي:

$${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {\mu (1-\mu )}{1+\nu }}}$$

بما أن ν = α + β > 0 ، فإنه يتبع ذلك var( X ) < μ (1 − μ ) .

بالنسبة للتوزيع المتماثل، يكون المتوسط ​​في منتصف التوزيع، μ = 1/2 ، وبالتالي:

$${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(1+\nu )}}{\text{ if }}\mu ={\tfrac {1}{2}}}$$

كذلك، يمكن الحصول على النهايات التالية (مع اقتراب المتغير المذكور فقط من النهاية) من التعبيرات المذكورة أعلاه:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\beta \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\alpha \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\beta \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\alpha \to \infty }\operatorname {var} (X)=0\\&\lim _{\nu \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\mu \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\mu \to 1}\operatorname {var} (X)=0\\&\lim _{\nu \to 0}\operatorname {var} (X)=\mu (1-\mu )\end{aligned}}}$$

إن لوغاريتم التباين الهندسي، ln(var _GX )، لتوزيع ذي متغير عشوائي X هو العزم الثاني للوغاريتم X متمركزًا حول المتوسط ​​الهندسي لـ X ، ln( G _X ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {var} _{GX}&=\operatorname {E} \left[\left(\ln X-\ln G_{X}\right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[\left(\ln X-\operatorname {E} \left[\ln X\right]\right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[\left(\ln X\right)^{2}\right]-\left(\operatorname {E} [\ln X]\right)^{2}\\&=\operatorname {var} [\ln X]\end{aligned}}}$$

وبالتالي، فإن التباين الهندسي هو:

$${\displaystyle \operatorname {var} _{GX}=e^{\operatorname {var} [\ln X]}}$$

في مصفوفة معلومات فيشر ، وانحناء دالة الاحتمال اللوغاريتمي، يظهر لوغاريتم التباين الهندسي للمتغير المنعكس 1  − X ولوغاريتم التغاير الهندسي بين X و 1 − X :   

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {var_{G(1-X)}} &=\operatorname {E} \left[\left(\ln(1-X)-\ln G_{1-X}\right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[\left(\ln(1-X)-\operatorname {E} [\ln(1-X)]\right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(\ln(1-X))^{2}\right]-\left(\operatorname {E} [\ln(1-X)]\right)^{2}\\&=\operatorname {var} [\ln(1-X)]\\&\\\operatorname {var_{G(1-X)}} &=e^{\operatorname {var} [\ln(1-X)]}\\&\\\ln \operatorname {cov_{G{X,1-X}}} &=\operatorname {E} [(\ln X-\ln G_{X})(\ln(1-X)-\ln G_{1-X})]\\&=\operatorname {E} [(\ln X-\operatorname {E} [\ln X])(\ln(1-X)-\operatorname {E} [\ln(1-X)])]\\&=\operatorname {E} \left[\ln X\ln(1-X)\right]-\operatorname {E} [\ln X]\operatorname {E} [\ln(1-X)]\\&=\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\&\\\operatorname {cov} _{G{X,(1-X)}}&=e^{\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]}\end{aligned}}}$$

بالنسبة لتوزيع بيتا، يمكن اشتقاق العزوم اللوغاريتمية من الرتب العليا باستخدام تمثيل توزيع بيتا كنسبة من توزيعين غاما، ثم اشتقاق التكامل. ويمكن التعبير عنها بدلالة دوال غاما متعددة الرتب العليا. انظر القسم §  عزوم المتغيرات العشوائية المحولة لوغاريتميًا . تباين المتغيرات اللوغاريتمية والتباين المشترك لـ ln X و ln(1− X ) هما: 

$${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$$${\displaystyle \operatorname {var} [\ln(1-X)]=\psi _{1}(\beta )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$$${\displaystyle \operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]=-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$

حيث أن دالة تريغاما ، التي يرمز لها بـ ψ ₁ ( α )، هي الثانية من دوال بوليغاما ، وتُعرف بأنها مشتقة دالة ديغاما :

$${\displaystyle \psi _{1}(\alpha )={\frac {d^{2}\ln \Gamma (\alpha )}{d\alpha ^{2}}}={\frac {d\psi (\alpha )}{d\alpha }}.}$$

لذلك،

$${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{GX}=\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$$${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\operatorname {var} [\ln(1-X)]=\psi _{1}(\beta )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$$${\displaystyle \ln \operatorname {cov} _{GX,1-X}=\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]=-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$$

تُظهر الرسوم البيانية المرفقة التباينات الهندسية اللوغاريتمية والتباين المشترك الهندسي اللوغاريتمي مقابل معاملي الشكل α و β . وتُبين هذه الرسوم أن التباينات الهندسية اللوغاريتمية والتباين المشترك الهندسي اللوغاريتمي يقتربان من الصفر عندما يكون معاملا الشكل α و β أكبر من 2، وأن التباينات الهندسية اللوغاريتمية ترتفع بسرعة عندما يكون معاملا الشكل α و β أقل من 1. وتكون التباينات الهندسية اللوغاريتمية موجبة لجميع قيم معاملي الشكل. أما التباين المشترك الهندسي اللوغاريتمي فهو سالب لجميع قيم معاملي الشكل، ويصل إلى قيم سالبة كبيرة عندما يكون α و β أقل من 1.

فيما يلي الحدود مع وجود أحد المعاملات محدودًا (غير صفري) والآخر يقترب من هذه الحدود:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\infty \\&\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=0\\&\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=0\\&\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX}=\psi _{1}(\alpha )\\&\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\psi _{1}(\beta )\\&\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=-\psi _{1}(\beta )\\&\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=-\psi _{1}(\alpha )\end{aligned}}}$$

الحدود مع تغير معيارين:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)})=\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=0\\&\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)})=\infty \\&\lim _{\alpha \to 0}(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=\lim _{\beta \to 0}(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=-\infty \end{aligned}}}$$

على الرغم من أن كلاً من ln(var _GX ) و ln(var _{G (1  − X )}  ) غير متناظرين، إلا أنه عندما تتساوى معاملات الشكل، α = β ، نحصل على: ln(var _GX ) = ln(var _{G (1− X )} ). وتنتج هذه المساواة من التناظر التالي بين التباينين ​​الهندسيين اللوغاريتميين:

$${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{GX}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )).}$$

التغاير الهندسي اللوغاريتمي متناظر:

$${\displaystyle \ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha ))}$$

الانحراف المطلق المتوسط ​​حول المتوسط ​​لتوزيع بيتا بمعاملات الشكل α و β هو: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle \operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2\alpha ^{\alpha }\beta ^{\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(\alpha +\beta )^{\alpha +\beta +1}}}}$$

يُعدّ متوسط ​​الانحراف المطلق حول المتوسط ​​مقياسًا أكثر دقةً للتشتت الإحصائي من الانحراف المعياري لتوزيعات بيتا ذات الذيول ونقاط الانعطاف على جانبي المنوال، أي توزيعات بيتا ( α , β ) حيث α و β > 2، لأنه يعتمد على الانحرافات الخطية (المطلقة) بدلًا من الانحرافات التربيعية عن المتوسط. ولذلك، لا يُؤخذ تأثير الانحرافات الكبيرة جدًا عن المتوسط ​​في الحسبان بنفس القدر. 

باستخدام تقريب ستيرلينغ لدالة غاما ، اشتق كل من NLJohnson و S.Kotz ^{[ 1 ]} التقريب التالي لقيم معلمات الشكل الأكبر من واحد (الخطأ النسبي لهذا التقريب هو -3.5% فقط لـ α = β = 1، ويتناقص إلى الصفر عندما α → ∞، β → ∞):

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\text{mean abs. dev. from mean}}{\text{standard deviation}}}&={\frac {\operatorname {E} [|X-E[X]|]}{\sqrt {\operatorname {var} (X)}}}\\&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left(1+{\frac {7}{12(\alpha +\beta )}}{}-{\frac {1}{12\alpha }}-{\frac {1}{12\beta }}\right),{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.\end{aligned}}}$$

عند الحد α → ∞، β → ∞، تصبح نسبة الانحراف المطلق المتوسط ​​إلى الانحراف المعياري (لتوزيع بيتا) مساوية لنسبة نفس المقاييس للتوزيع الطبيعي:${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$عندما تكون α = β = 1، فإن هذه النسبة تساوي${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$وبالتالي، من α = β = 1 إلى α , β → ∞، تنخفض النسبة بنسبة 8.5%. أما عند α = β = 0، فإن الانحراف المعياري يساوي تمامًا متوسط ​​الانحراف المطلق حول المتوسط. لذلك، تنخفض هذه النسبة بنسبة 15% من α = β = 0 إلى α = β = 1، وبنسبة 25% من α = β = 0 إلى α , β → ∞. مع ذلك، بالنسبة لتوزيعات بيتا الملتوية حيث α → 0 أو β → 0، تقترب نسبة الانحراف المعياري إلى متوسط ​​الانحراف المطلق من اللانهاية (مع أن كلًا منهما، على حدة، يقترب من الصفر) لأن متوسط ​​الانحراف المطلق يقترب من الصفر أسرع من الانحراف المعياري.

باستخدام المعلمات من حيث المتوسط ​​μ وحجم العينة ν = α + β > 0:

يمكن التعبير عن متوسط ​​الانحراف المطلق حول المتوسط ​​بدلالة المتوسط ​​μ وحجم العينة ν على النحو التالي:

$${\displaystyle \operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2\mu ^{\mu \nu }(1-\mu )^{(1-\mu )\nu }}{\nu \mathrm {B} (\mu \nu ,(1-\mu )\nu )}}}$$

بالنسبة للتوزيع المتماثل، يكون المتوسط ​​في منتصف التوزيع، μ = 1/2، وبالتالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2^{1-\nu }}{\nu \mathrm {B} ({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {\nu }{2}})}}&={\frac {2^{1-\nu }\Gamma (\nu )}{\nu (\Gamma ({\tfrac {\nu }{2}}))^{2}}}\\\lim _{\nu \to 0}\left(\lim _{\mu \to {\frac {1}{2}}}\operatorname {E} [|X-E[X]|]\right)&={\frac {1}{2}}\\\lim _{\nu \to \infty }\left(\lim _{\mu \to {\frac {1}{2}}}\operatorname {E} [|X-E[X]|]\right)&=0\end{aligned}}}$$

كذلك، يمكن الحصول على النهايات التالية (مع اقتراب المتغير المذكور فقط من النهاية) من التعبيرات المذكورة أعلاه:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\alpha \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\beta \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\alpha \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\mu \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\mu \to 1}\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\nu \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&={\sqrt {\mu (1-\mu )}}\\\lim _{\nu \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=0\end{aligned}}}$$

متوسط ​​الفرق المطلق لتوزيع بيتا هو:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {MD} &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x;\alpha ,\beta )\,f(y;\alpha ,\beta )\left|x-y\right|dx\,dy\\[1ex]&={\frac {4}{\alpha +\beta }}{\frac {B(\alpha +\beta ,\alpha +\beta )}{B(\alpha ,\alpha )B(\beta ,\beta )}}\end{aligned}}}$$

معامل جيني لتوزيع بيتا يساوي نصف متوسط ​​الفرق المطلق النسبي:

$${\displaystyle \mathrm {G} =\left({\frac {2}{\alpha }}\right){\frac {B(\alpha +\beta ,\alpha +\beta )}{B(\alpha ,\alpha )B(\beta ,\beta )}}}$$