أريستايوس الأكبر

كان أريستايوس أحد أبرز المساهمين في مجال التحليل الهندسي القديم، إلى جانب إقليدس وأبولونيوس. جمع بابوس 32 عملاً من أعمال هؤلاء العلماء ووضعها في منهج دراسي عُرف باسم " كنز التحليل" . بلغت دراسات أريستايوس خمسة مجلدات من "المواضع الصلبة "، أو رسائل وسيطة حول القطوع المخروطية. ^{[ 2 ]} يهدف التحليل إلى استنتاج خصائص الأشكال الموجودة مسبقًا، ومن أهدافه معرفة كيفية بنائها. وهو عكس التركيب، الذي يهدف إلى بناء أشكال ذات خصائص معينة من العدم.

تحليل أريستيوس يتم على النحو التالي: تخيل أنك تريد إيجاد نقطة على خط مستقيم تحقق شرطًا محددًا بالنسبة لهذا الخط. بحسب صعوبة المسألة، قد يبدو حلها باستخدام التركيب أشبه بمحاولة عبثية. لذا، بدلًا من تركيب النقطة مباشرةً وإثبات امتلاكها للخاصية المطلوبة (وهي عادة إقليدس)، يفترض أريستيوس أن النقطة المطلوبة معطاة. ثم يحلل خصائصها ليرى إن كانت تقع على قطع زائد أو أي قطع مخروطي آخر. إذا كان الأمر كذلك، فإن إنشاء القطع المخروطي المطلوب سيقطع الخط الأصلي، وبالتالي ستحصل على النقطة المطلوبة. يمكن إعادة صياغة هذه النظريات كبرهان تركيبي، لكن هذا يخفي آلية التوصل إلى الحل، وسيتساءل علماء الهندسة عن كيفية اكتشاف النظرية إن لم يكونوا ملمين بالتحليل. اشتهر أرخميدس بإخفاء أساليبه التحليلية، ولهذا السبب تبدو أطروحاته مبسطة للغاية، وبالتالي تبدو بنائه واكتشافاته وكأنها تم إنجازها من خلال ضربات متتالية من العبقرية.

كان لدى أريستايوس نظرة بدائية للقطوع المخروطية. فبدلاً من دراسة جميع الطرق المختلفة التي يمكن أن يتقاطع بها مستوى مع مخروط، اقتصر على دراسة تقاطع المخروط مع مستوى عمودي على سطحه. وهكذا، اكتشف ثلاثة أنواع من القطوع المخروطية. أطلق على أحدها اسم "مقطع المخروط الحاد الزاوية" (وهو قطع ناقص)، وعلى الثاني اسم "مقطع المخروط القائم الزاوية" (وهو قطع مكافئ)، وعلى الأخير اسم "مقطع المخروط المنفرج الزاوية" (وهو قطع زائد). ^{[ 3 ]}

عندما شرع أبولونيوس في دراسة القطوع المخروطية، حيرته هذه المصطلحات، إذ أن كل نوع من المخاريط ينتج عنه كل نوع من القطوع المخروطية. لذا، اضطر إلى إعادة تسمية القطوع المخروطية إلى "القطع الناقص" و"القطع المكافئ" و"القطع الزائد"، مُسميًا إياها وفقًا لخصائصها، وليس بنوع المخروط الذي ينتج عنها. ^{[ 4 ]} وبتعميم التعريف، أُدرجت الدائرة ضمن قطوع المخروط، بعد أن كان أريستايوس قد أغفلها سابقًا.

قدّم أريستايوس إسهامات قيّمة في مجال القطوع المخروطية، إذ يوضح بابوس أن الناس استخدموا مواضعه الهندسية لحلّ مسألة مضاعفة المكعب . ^{[ 5 ]} وقد يكون أريستايوس نفسه هو من فعل ذلك، إذ يبدو أنه حلّ مسألة تثليث الزوايا باستخدام القطع الزائد. ^{[ 6 ]}

كانت هذه المنحنيات تُسمى المواضع الهندسية، أو الخطوط التي لا يمكن توليدها إلا باستخدام المجسمات. أما المسائل التي لا يمكن حلها إلا من خلال المواضع الهندسية، فكانت تُسمى مسائل المجسمات. على سبيل المثال، يتطلب تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء ومضاعفة المكعب هذه المنحنيات الخاصة. ^{[ 7 ]} وقد ثبت لاحقًا، بناءً على عرض أفلاطون، أن هذه المسائل لا يمكن حلها باستخدام الفرجار والمسطرة فقط.

كان كتاب أريستايوس المفقود عن المواضع الصلبة بمثابة رسالة متوسطة في القطوع المخروطية. ولأنه لم يكن تمهيديًا، فقد ألهم أبولونيوس لتناول أساسيات القطوع المخروطية بشكل كامل. يذكر بابوس المواضع الصلبة الخمسة كمجموعة الكتب التالية التي يجب قراءتها بعد كتاب أبولونيوس عن القطوع المخروطية الثمانية في كتابه "كنز التحليل" . على الرغم من أن عنوان هذا العمل فقط هو ما بقي، إلا أنه يمكننا التأكد من أنه كان يتعلق بالقطوع المخروطية لأن بابوس يصفه في موضع آخر بأنه "خمسة كتب عن عناصر القطع المخروطية". ^{[ 8 ]}

كتاب مفقود يقارن بين المجسمات المنتظمة عند رسمها داخل نفس الكرات. يشير توماس هيث في تاريخه للرياضيات اليونانية إلى أن " هيبسيكليس (الذي عاش في الإسكندرية) يقول أيضًا إن أريستايوس، في كتاب بعنوان " مقارنة الأشكال الخمسة "، أثبت أن الدائرة نفسها تحيط بكل من خماسي المجسم ذي الاثني عشر وجهًا ومثلث المجسم ذي العشرين وجهًا المرسومين داخل نفس الكرة؛ ولا نعلم ما إذا كان أريستايوس هذا هو نفسه أريستايوس صاحب كتاب " المواضع الصلبة" ، المعاصر الأكبر لإقليدس." ^{[ 9 ]} تشير الدراسات الحديثة إلى أنه كان عملًا أصليًا له. ^{[ 10 ]} ربما يكون هذا الكتاب قد ألهم الكتاب الثالث عشر من كتاب "الأصول" لإقليدس. كما كتب أبولونيوس عملًا في الموضوع نفسه.