مضاعفة المكعب

مضاعفة المكعب ، والمعروفة أيضًا باسم مشكلة ديليان ، هي مشكلة هندسية قديمة ^{[أ] [1] : 9.} نظرًا لحافة المكعب ، تتطلب المشكلة إنشاء حافة مكعب ثانٍ يكون حجمه ضعف حجم المكعب الأول. كما هو الحال مع المشاكل ذات الصلة بتربيع الدائرة وتثليث الزاوية ، من المعروف الآن أن مضاعفة المكعب من المستحيل إنشاؤها باستخدام الفرجار والمسطرة فقط ، ولكن حتى في العصور القديمة كانت الحلول معروفة باستخدام طرق أخرى.

وفقًا لإيوتوكيوس، كان أرخيتاس أول من حل مشكلة مضاعفة المكعب (ما يسمى بمشكلة ديليان) باستخدام بناء هندسي مبتكر. ^{[2] [3] [4]} وأخيرًا أثبت بيير وانتزل عدم وجود حل باستخدام الفرجار والمسطرة في عام 1837.

من الناحية الجبرية، يتطلب مضاعفة مكعب الوحدة إنشاء قطعة مستقيمة بطول x ، حيث x ³ = 2 ؛ بعبارة أخرى، x =${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ، الجذر التكعيبي لاثنين . وذلك لأن المكعب بطول ضلع 1 له حجم 1 ³ = 1 ، والمكعب الذي يبلغ ضعف هذا الحجم (حجم 2) له طول ضلع الجذر التكعيبي لـ 2. وبالتالي فإن استحالة مضاعفة المكعب تعادل العبارة التي مفادها أنه ليس عددًا قابلاً للإنشاء . وهذا نتيجة لحقيقة مفادها أن إحداثيات نقطة جديدة يتم إنشاؤها بواسطة بوصلة ومستقيمة هي جذور كثيرات الحدود على المجال الناتج عن إحداثيات النقاط السابقة، بدرجة لا تزيد عن الدرجة التربيعية . وهذا يعني أن درجة امتداد المجال الناتج عن نقطة قابلة للإنشاء يجب أن تكون قوة 2. ومع ذلك، فإن امتداد المجال الناتج عن ، من الدرجة 3. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

نبدأ بقطعة الخط الوحدوي المحددة بالنقطتين (0,0) و(1,0) في المستوى . نحن مطالبون بإنشاء قطعة خط محددة بنقطتين تفصل بينهما مسافة . من السهل إظهار أن إنشاءات البوصلة والمسطرة المستقيمة تسمح بتحريك مثل هذه القطعة المستقيمة بحرية لتلمس الأصل ، بالتوازي مع قطعة الخط الوحدوي - وبالتالي يمكننا أن نفكر بشكل مكافئ في مهمة إنشاء قطعة خط من (0,0) إلى ( ، 0)، والتي تستلزم إنشاء النقطة ( ، 0). ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

وعلى التوالي، تسمح لنا أدوات البوصلة والمسطرة برسم دوائر مركزها نقطة محددة مسبقًا وتمر عبر نقطة أخرى، ورسم خطوط تمر عبر نقطتين محددتين مسبقًا. تنشأ أي نقطة محددة حديثًا إما كنتيجة لتقاطع دائرتين من هذا القبيل، كتقاطع دائرة وخط، أو كتقاطع خطين. يُظهِر تمرين في الهندسة التحليلية الأولية أنه في جميع الحالات الثلاث، يفي كل من إحداثيات x و y للنقطة المحددة حديثًا بكثير حدود بدرجة لا تزيد عن الدرجة التربيعية، مع معاملات هي عمليات جمع وطرح وضرب وقسمة تتضمن إحداثيات النقاط المحددة مسبقًا (والأرقام النسبية). وبإعادة صياغة المصطلحات الأكثر تجريدًا، فإن إحداثيات x و y الجديدة لها كثيرات حدود دنيا بدرجة لا تزيد عن 2 على الحقل الفرعي الناتج عن الإحداثيات السابقة. وبالتالي، فإن درجة امتداد الحقل المقابلة لكل إحداثي جديد هي 2 أو 1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

لذا، بالنظر إلى إحداثيات أي نقطة مبنية، يمكننا المتابعة استقرائيًا للخلف عبر إحداثيات x و y للنقطتين بالترتيب الذي تم تعريفهما به حتى نصل إلى الزوج الأصلي من النقاط (0,0) و(1,0). ونظرًا لأن كل امتداد مجال له درجة 2 أو 1، ونظرًا لأن امتداد المجال على إحداثيات الزوج الأصلي من النقاط هو بوضوح من الدرجة 1، فإنه يتبع من قاعدة البرج أن درجة امتداد المجال على أي إحداثي لنقطة مبنية هي قوة 2 . ${\displaystyle \mathbb {س} }$${\displaystyle \mathbb {س} }$

الآن، p ( x ) = x ³ − 2 = 0 يمكن رؤيته بسهولة على أنه غير قابل للاختزال على - أي تحليل إلى عوامل سيتضمن عاملًا خطيًا ( x − k ) لبعض k ∈ ، وبالتالي يجب أن يكون k جذرًا لـ p ( x ) ؛ ولكن يجب أيضًا أن يقسم k 2 ( بمبدأ الجذر النسبي )؛ أي أن k = 1، 2، −1 أو −2 ، ولا شيء من هذه جذور لـ p ( x ) . وفقًا لمبرهنة جاوس ، فإن p ( x ) غير قابل للاختزال أيضًا على ، وبالتالي فهو متعدد حدود أدنى على لـ . وبالتالي فإن امتداد المجال من الدرجة 3. لكن هذا ليس قوة لـ 2، لذا وفقًا لما سبق: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {س} }$${\displaystyle \mathbb {س} }$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} }$

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ليست إحداثيات نقطة قابلة للإنشاء، لذا
• لا يمكن إنشاء قطعة خط مستقيم باستخدام المسطرة والبوصلة، و${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$
• لا يمكن مضاعفة المكعب باستخدام المسطرة والبوصلة فقط.

يرجع اسم المشكلة إلى قصة تتعلق بمواطني ديلوس ، الذين استشاروا أوراكل في دلفي من أجل تعلم كيفية هزيمة الطاعون الذي أرسله أبولو . ^{[5] [1] : 9} وفقًا لبلوتارخ ، ^{[6] ومع ذلك} ، استشار مواطنو ديلوس أوراكل في دلفي لإيجاد حل لمشاكلهم السياسية الداخلية في ذلك الوقت، والتي أدت إلى تكثيف العلاقات بين المواطنين. رد العراف أنه يجب عليهم مضاعفة حجم المذبح لأبولو، والذي كان مكعبًا عاديًا. بدت الإجابة غريبة بالنسبة لأهل ديلوس، واستشاروا أفلاطون ، الذي كان قادرًا على تفسير العراف على أنه المشكلة الرياضية المتمثلة في مضاعفة حجم مكعب معين، وبالتالي شرح العراف على أنه نصيحة أبولو لمواطني ديلوس لشغل أنفسهم بدراسة الهندسة والرياضيات من أجل تهدئة عواطفهم. ^[7]

وفقًا لبلوتارخ ، أعطى أفلاطون المشكلة إلى يودوكسوس وأرخيتاس وميناكموس ، الذين حلوا المشكلة باستخدام وسائل ميكانيكية، وكسبوا توبيخًا من أفلاطون لعدم حل المشكلة باستخدام الهندسة البحتة . ^{[8] قد يكون هذا هو السبب في الإشارة إلى المشكلة في عام 350 قبل الميلاد من} قبل مؤلف سيزيف الأفلاطوني الزائف (388e) على أنها لا تزال دون حل. ^[9] ومع ذلك، تقول نسخة أخرى من القصة (ينسبها إلى إراتوستينس يوتوكيوس من عسقلان ) أن الثلاثة وجدوا حلولاً لكنها كانت مجردة للغاية بحيث لا تكون ذات قيمة عملية. ^[10]

كان التطور المهم في إيجاد حل للمشكلة هو اكتشاف أبقراط من خيوس أن الأمر يعادل إيجاد متوسطين هندسيين متناسبين بين قطعة مستقيمة وأخرى بطول مضاعف. ^[11] في التدوين الحديث، يعني هذا أنه إذا أعطينا قطعتين بطول a و 2 a ، فإن مضاعفة المكعب تعادل إيجاد قطعتين بطول r و s بحيث

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.}$

وهذا يعني بدوره أن

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.}$

لكن بيير وانتزل أثبت في عام 1837 أن الجذر التكعيبي لـ 2 غير قابل للإنشاء ؛ أي أنه لا يمكن إنشاؤه باستخدام المسطرة والفرجار . ^[12]

يتضمن حل ميناكميوس الأصلي تقاطع منحنيين مخروطيين . تتضمن الطرق الأخرى الأكثر تعقيدًا لمضاعفة المكعب نيوسيس ، أو سيسيود ديوكليس ، أو كونكويد نيكوميدس ، أو خط فيلو . وجد باندروسيون ، عالم رياضيات من اليونان القديمة على الأرجح، حلاً تقريبيًا دقيقًا عدديًا باستخدام مستويات في ثلاثة أبعاد، لكنه تعرض لانتقادات شديدة من بابوس الإسكندري لعدم تقديم دليل رياضي مناسب . ^{[13] حل} أرخيتاس المشكلة في القرن الرابع قبل الميلاد باستخدام البناء الهندسي في ثلاثة أبعاد، وحدد نقطة معينة كتقاطع لثلاثة أسطح دوارة.

تستخدم نظرية ديكارت للحل الهندسي للمعادلات القطع المكافئ لإدخال المعادلات التكعيبية، وبهذه الطريقة من الممكن إنشاء معادلة يكون حلها هو الجذر التكعيبي للعدد 2. لاحظ أن القطع المكافئ نفسه لا يمكن إنشاؤه إلا بالطرق ثلاثية الأبعاد.

تنتشر ادعاءات كاذبة حول مضاعفة المكعب باستخدام الفرجار والمسطرة في الأدبيات الرياضية الزائفة ( الرياضيات الزائفة ).

يمكن أيضًا استخدام الأوريجامي لإنشاء الجذر التكعيبي للعدد اثنين عن طريق طي الورق .

هناك بناء نيوسيس بسيط يستخدم مسطرة محددة لطول يساوي الجذر التكعيبي لـ 2 مضروبًا في طول آخر. ^[14]

1. قم بوضع علامة على المسطرة بالطول المحدد؛ وسوف يصبح هذا في النهاية GH.
2. قم بإنشاء مثلث متساوي الأضلاع ABC بطول ضلع محدد.
3. قم بتمديد AB بمقدار متساوٍ مرة أخرى إلى D.
4. قم بتمديد الخط BC لتشكيل الخط CE.
5. قم بتمديد الخط DC ليشكل الخط CF.
6. ضع المسطرة المحددة بحيث تمر عبر A بحيث يقع أحد طرفيها، G، من الطول المحدد على الشعاع CF ويقع الطرف الآخر من الطول المحدد، H، على الشعاع CE. وبالتالي، يكون GH هو الطول المحدد.

ثم AG هو الطول المعطى مرات . ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

في نظرية الموسيقى ، النظير الطبيعي للتضاعف هو الأوكتاف (فاصل موسيقي ناتج عن مضاعفة تردد نغمة)، والنظير الطبيعي للمكعب هو تقسيم الأوكتاف إلى ثلاثة أجزاء، كل منها له نفس الفاصل . بهذا المعنى، يتم حل مشكلة مضاعفة المكعب بواسطة الثلث الرئيسي في مزاج متساوٍ . هذا فاصل موسيقي يساوي ثلث الأوكتاف بالضبط. يضاعف تردد نغمة في ، طول ضلع مكعب ديليان. ^[15]${\displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}}$

• فريديريك بياتريكس، بيتر كاتزلنجر: حل دقيق إلى حد ما لمشكلة ديليان . في: Parabola المجلد 59 (2023) العدد 1، مجلة إلكترونية (ISSN 1446-9723) تنشرها كلية الرياضيات والإحصاء بجامعة نيو ساوث ويلز
• مضاعفة المكعب، بناء القرب كرسوم متحركة (الجانب = 1.259921049894873) - ويكيميديا ​​كومنز
• "تكرار المكعب"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• مضاعفة المكعب. JJ O'Connor و EF Robertson في أرشيف تاريخ الرياضيات MacTutor.
• مضاعفة المكعب – حل أرخيتاس. مقتطف من كتاب تاريخ الرياضيات اليونانية للسير توماس هيث .
• تم حل مشكلة Delian. أم أنها ليست كذلك؟ في cut-the-knot .
• فيديو Mathologer: "2000 عام دون حل: لماذا يعد مضاعفة المكعبات وتربيع الدوائر أمرًا مستحيلًا؟"