متغيرات أشتيكار

في صياغة ADM للنسبية العامة ، يُقسّم الزمكان إلى شرائح مكانية ومحور زمني. وتُعتبر المتغيرات الأساسية هي المقياس المستحث.${\displaystyle q_{ab}(x)}$على الشريحة المكانية والزخم المترافق للمقياس${\displaystyle K^{ab}(x)}$، وهو ما يرتبط بالانحناء الخارجي ، ويمثل مقياسًا لكيفية تطور المقياس المستحث بمرور الوقت. ^{[ 1 ]} هذه هي الإحداثيات المترية الأساسية .

في عام 1986، قدم أبهاي أشتيكار مجموعة جديدة من المتغيرات الكنسية، وهي متغيرات أشتيكار ( الجديدة ) ، لتمثيل طريقة غير عادية لإعادة كتابة المتغيرات الكنسية المترية على الشرائح المكانية ثلاثية الأبعاد بدلالة حقل قياس SU(2) ومتغيره المكمل. ^{[ 2 ]}

توفر متغيرات أشتيكار ما يسمى بتمثيل الاتصال للنسبية العامة الكلاسيكية، والذي أدى إلى تمثيل الحلقة للنسبية العامة الكمومية ^{[ 3 ]} وبالتالي إلى جاذبية الكموم الحلقية ونظرية الهولوونوميا الكمومية . ^{[ 4 ]}

لنقدم مجموعة من ثلاثة حقول متجهة${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ ,}$${\displaystyle \ j=1,2,3\ }$أي المتعامدة،

${\displaystyle \delta _{jk}=q_{ab}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^{b}~.}$

ال${\displaystyle \ E_{i}^{a}\ }$تُسمى هذه الفهارس بالثلاثية أو drei-bein (الترجمة الحرفية الألمانية: "ثلاثية الأرجل"). يوجد الآن نوعان مختلفان من الفهارس، وهما فهارس "الفضاء".${\displaystyle \ a,b,c\ }$التي تتصرف مثل المؤشرات العادية في فضاء منحني، والمؤشرات "الداخلية".${\displaystyle \ j,k,\ell \ }$والتي تتصرف كمؤشرات للمساحة المسطحة (المقياس المقابل الذي يرفع ويخفض المؤشرات الداخلية هو ببساطة${\displaystyle \ \delta _{jk}\ }$). عرّف العلاقة الثنائية بين الأضلاع الثلاثة${\displaystyle \ E_{a}^{j}\ }$مثل

${\displaystyle \ E_{a}^{j}=q_{ab}\ E_{j}^{b}~.}$

ثم لدينا علاقتا التعامد

${\displaystyle \ \delta ^{jk}=q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\ ,}$

أين${\displaystyle q^{ab}}$هي المصفوفة العكسية للمقياس${\displaystyle \ q_{ab}\ }$(يأتي هذا من استبدال صيغة المثلث المزدوج بدلالة المثلث في${\displaystyle \ q^{ab}\ E_{a}^{j}\ E_{b}^{k}\ }$وباستخدام تعامد الأضلاع الثلاثة ).

و

${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ E_{b}^{j}\ =\delta _{b}^{a}\ }$

(يحدث هذا نتيجة التعاقد)${\displaystyle \ \delta _{jk}=q_{ab}\ E_{k}^{b}\ E_{j}^{a}\ }$مع${\displaystyle \ E_{c}^{j}\ }$وباستخدام الاستقلال الخطي لـ${\displaystyle \ E_{a}^{k}\ }$ومن ثم يسهل التحقق من ذلك من علاقة التعامد الأولى، باستخدام${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ E_{b}^{j}=\delta _{b}^{a}\ ,}$الذي - التي

${\displaystyle \ q^{ab}~=~\sum _{j,\ k=1}^{3}\;\delta _{jk}\ E_{j}^{a}\ E_{k}^{b}~=~\sum _{j=1}^{3}\;E_{j}^{a}\ E_{j}^{b}\ ,}$

لقد توصلنا إلى صيغة للمقياس العكسي بدلالة الأعداد الثلاثية . ويمكن اعتبار الأعداد الثلاثية بمثابة "الجذر التربيعي" للمقياس (والمعنى الفيزيائي لذلك هو أن المقياس${\displaystyle \ q^{ab}\ ,}$عند كتابتها من حيث الأساس${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ ,}$(مسطحة محليًا). في الواقع، ما يُؤخذ في الاعتبار هو

${\displaystyle \ \left(\mathrm {det} (q)\right)\ q^{ab}~=~\sum _{j=1}^{3}\;{\tilde {E}}_{j}^{a}\ {\tilde {E}}_{j}^{b}\ ,}$

والذي يتضمن " الأعمدة الثلاثة المكثفة"${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$بدلاً من ذلك ( مكثفة كـ${\textstyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}={\sqrt {\det(q)\ }}\ E_{j}^{a}\ }$يتعافى المرء من${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$المقياس مضروبًا في عامل يُحدد بواسطة مُحدده. من الواضح أن${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$و${\displaystyle \ E_{j}^{a}\ }$تحتوي على نفس المعلومات، ولكن بترتيب مختلف. الآن الخيار لـ${\displaystyle \ {\tilde {E}}_{j}^{a}\ }$ليس فريدًا، وفي الواقع يمكن إجراء دوران محلي في الفضاء بالنسبة للمؤشرات الداخلية${\displaystyle \ j\ }$دون تغيير المقياس (المعكوس). هذا هو أصل${\displaystyle \ \mathrm {SU(2)} \ }$ثبات القياس. الآن، إذا أردنا إجراء عمليات على كائنات ذات مؤشرات داخلية، فسنحتاج إلى تعريف مشتقة مناسبة ( مشتقة متغايرة )، على سبيل المثال المشتقة المتغايرة للكائن.${\displaystyle \ V_{i}^{b}\ }$سيكون

${\displaystyle \ D_{a}\ V_{j}^{b}=\partial _{a}V_{j}^{b}-\Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ V_{k}^{b}+\Gamma _{ac}^{b}\ V_{j}^{c}\ }$

أين${\displaystyle \ \Gamma _{ac}^{b}\ }$هذا هو الارتباط المعتاد بين ليفي-تشيفيتا و${\displaystyle \ \Gamma _{a\;\;j}^{\;\;k}\ }$هذا ما يُسمى بوصلة الدوران . لنفترض أن متغير التكوين هو

${\displaystyle \ A_{a}^{j}=\Gamma _{a}^{j}+\beta \ K_{a}^{j}\ }$

أين${\displaystyle \Gamma _{a}^{j}=\Gamma _{ak\ell }\ \epsilon ^{k\ell j}}$و${\textstyle K_{a}^{j}=K_{ab}\ {\tilde {E}}^{bj}/{\sqrt {\det(q)\ }}~.}$إن المتغير المترافق للزخم الثلاثي الأبعاد SU(2) هو متغير الزخم المترافق لهذا الحقل القياسي ثلاثي الأبعاد SU(2) (أو الاتصال).${\displaystyle \ A_{b}^{k}\ ,}$حيث أنها تحقق علاقة قوس بواسون

${\displaystyle \ \{\ {\tilde {E}}_{j}^{a}(x),\ A_{b}^{k}(y)\ \}=8\pi \ G_{\mathsf {Newton}}\ \beta \ \delta _{b}^{a}\ \delta _{j}^{k}\ \delta ^{3}(x-y)~.}$

الثابت${\displaystyle \beta }$هو معامل إميرزي ، وهو عامل يعيد تطبيع ثابت نيوتن${\displaystyle \ G_{\mathsf {Newton}}~.}$يمكن استخدام الـ drei-bein المكثف لإعادة بناء المقياس كما نوقش أعلاه، ويمكن استخدام الاتصال لإعادة بناء الانحناء الخارجي. تتوافق متغيرات Ashtekar مع الاختيار${\displaystyle \ \beta =-i\ }$(سالب العدد التخيلي ،${\displaystyle \ i\ }$);${\displaystyle \ A_{a}^{j}\ }$ويطلق عليه حينها اسم اتصال الدوران الكيرالي.

كان سبب اختيار هذا الربط الدوراني هو قدرة أشتيكار على تبسيط معادلة النسبية العامة الكلاسيكية الأكثر تعقيدًا بشكل كبير، ألا وهي قيد هاميلتون في نظرية الجاذبية الكمومية الخطية . أدى هذا الاختيار إلى تلاشي الحد الثاني الضخم، وأصبح الحد المتبقي متعدد الحدود في متغيراته الجديدة. وقد أثار هذا التبسيط آمالًا جديدة لبرنامج الجاذبية الكمومية الكلاسيكية . ^{[ 5 ]} ومع ذلك، فقد طرح بعض الصعوبات: فعلى الرغم من أن متغيرات أشتيكار تميزت بتبسيط هاميلتون، إلا أنها تعاني من مشكلة تحول المتغيرات إلى أعداد مركبة . ^{[ 6 ]} عند تكميم النظرية، يصبح من الصعب ضمان استعادة النسبية العامة الحقيقية ، بدلًا من النسبية العامة المركبة . كما أن قيد هاميلتون الذي عمل عليه أشتيكار كان النسخة المكثفة، بدلًا من هاميلتون الأصلي؛ أي أنه عمل مع${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H~.}$

واجهت عملية تحويل هذه الكمية إلى مؤثر كمومي صعوبات بالغة . في عام 1996، تمكن توماس ثيمان من استخدام تعميم لصيغة أشتيكار ليشمل الروابط الحقيقية (${\displaystyle \beta }$يأخذ قيمًا حقيقية) وعلى وجه الخصوص، ابتكر طريقة لتبسيط الهاميلتوني الأصلي، بالإضافة إلى الحد الثاني. كما تمكن من تحويل قيد الهاميلتوني هذا إلى مؤثر كمي محدد جيدًا ضمن تمثيل الحلقة. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

اكتشف كلٌّ من لي سمولين وتيد جاكوبسون ، وجوزيف صموئيل، بشكلٍ مستقل، وجود صياغة لاغرانجية للنظرية من خلال دراسة الصياغة الذاتية المزدوجة لمبدأ فعل بالاتيني الرباعي في النسبية العامة. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} وقد قُدِّمت هذه البراهين بدلالة السبينورات. وقدّم غولدبرغ برهانًا موتريًا بحتًا للمتغيرات الجديدة بدلالة الثلاثيات ^{[ 12 ]} ، بينما قدّم هينو ونيلسون وشومبلوند (1989) برهانًا بدلالة الرباعيات. ^{[ 13 ]}

• أشتيكار، أبهاي (1986). "متغيرات جديدة للجاذبية الكلاسيكية والكمية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 57 (18): 2244-2247 . Bibcode : 1986PhRvL..57.2244A . doi : 10.1103/PhysRevLett.57.2244 . PMID 10033673 .