العلاقة بين ليفي-تشيفيتا

في الهندسة الريمانية أو شبه الريمانية (وخاصةً الهندسة اللورنتزية للنسبية العامة )، يُعد اتصال ليفي-تشيفيتا الاتصال الأفيني الوحيد على الحزمة المماسية لمتشعب يحافظ على المقياس الريماني (أو شبه الريماني ) ويكون خاليًا من الالتواء . وتنص النظرية الأساسية للهندسة الريمانية على وجود اتصال وحيد يحقق هذه الخصائص.

يُضفي هذا الربط طابعًا رسميًا وعامًا على طريقة "التدحرج دون انزلاق أو التواء" لنقل المستويات المماسية لسطح أملس مغمور في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$(أو بشكل عام، أي متعدد شعب ريماني، وفقًا لنظريات تضمين ناش ).

يُعرَّف المشتق المتغير بمعلومية أي اتصال أفيني. في نظرية مشعبات ريمان وشبه ريمان ، يُشير مصطلح "المشتق المتغير" افتراضيًا إلى المشتق المُعرَّف باستخدام اتصال ليفي-تشيفيتا. تُسمى مُكوِّنات هذا الاتصال (معاملات البنية) بالنسبة لنظام إحداثيات محلية برموز كريستوفيل .

يُنسب مصطلح "علاقة ليفي-تشيفيتا" إلى توليو ليفي-تشيفيتا ، على الرغم من أن إلوين برونو كريستوفيل هو من اكتشفها في الأصل . استخدم ليفي-تشيفيتا، ^{[ 1 ]} بالتعاون مع غريغوريو ريتشي-كورباسترو ، رموز كريستوفيل ^{[ 2 ]} لتعريف مفهوم النقل المتوازي واستكشاف علاقته بالانحناء ، مما أدى إلى تطوير المفهوم الحديث للهولونومية . ^{[ 3 ]}

في عام 1869، اكتشف كريستوفيل أن مركبات المشتقة الذاتية لحقل متجه، عند تغيير نظام الإحداثيات، تتحول كمركبات متجه متغاير. وكان هذا الاكتشاف بمثابة البداية الحقيقية لتحليل الموترات.

في عام 1906، كان إل إي جيه بروير أول عالم رياضيات ينظر في النقل المتوازي لمتجه في حالة فضاء ذي انحناء ثابت . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

في عام 1917، أشار توليو ليفي-تشيفيتا إلى أهمية المشتقة الذاتية في حالة السطح الفائق المغمور في فضاء إقليدي ، أي في حالة مشعب ريماني مغمور في فضاء محيط "أكبر". ^{[ 1 ]} وقد فسر المشتقة الذاتية في حالة السطح المغمور على أنها المكون المماسي للمشتقة المعتادة في الفضاء الأفيني المحيط. إن مفاهيم ليفي-تشيفيتا للمشتقة الذاتية والإزاحة الموازية لمتجه على طول منحنى منطقية على مشعب ريماني مجرد، على الرغم من أن الدافع الأصلي اعتمد على تضمين محدد.${\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.}$

في عام 1918، وبشكل مستقل عن ليفي-تشيفيتا، حصل يان أرنولدوس شوتين على نتائج مماثلة. ^{[ 6 ]} وفي العام نفسه، عمّم هيرمان فايل نتائج ليفي-تشيفيتا. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• ( M , g ) يرمز إلى مشعب ريماني زائف .
• TM هيالحزمة المماسية لـ M.
• g هوشبه الريماني لـ M.
• X و Y و Z هي حقول متجهة سلسة على M ، أي مقاطع سلسة من TM .
• [ X , Y ] هو قوس لي لـ X و Y. وهو أيضًا حقل متجه أملس.

يمكن للدالة g أن تأخذ ما يصل إلى متجهين أو حقلين متجهين X و Y كمعاملات. في الحالة الأولى، يكون الناتج عددًا، وهو حاصل الضرب الداخلي (الزائف) لـ X و Y. أما في الحالة الثانية، فيُحسب حاصل الضرب الداخلي لـ X _{_p} و Y _{_p} عند جميع النقاط p على المتشعب بحيث تُعرّف g ( X , Y ) دالة سلسة على M. تعمل الحقول المتجهة (بحكم تعريفها) كمؤثرات تفاضلية على الدوال السلسة. في الإحداثيات المحلية${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$، هكذا جاء في الإجراء

${\displaystyle X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _{i}f}$

حيث يتم استخدام اصطلاح الجمع الخاص بأينشتاين .

اتصال أفيني${\displaystyle \nabla }$يُطلق عليه اسم علاقة ليفي-تشيفيتا إذا

1. فهو يحافظ على المقياس ، أي${\displaystyle \nabla g=0}$.
2. وهو خالٍ من الالتواء ، أي بالنسبة لأي حقول متجهة${\displaystyle X}$ و${\displaystyle Y}$لدينا${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$، أين${\displaystyle [X,Y]}$هو قوس لي لحقول المتجهات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$.

يُشار أحيانًا إلى الشرط 1 أعلاه باسم التوافق مع المقياس ، ويُطلق على الشرط 2 أحيانًا اسم التناظر، انظر نص دو كارمو. ^{[ 9 ]}

نظرية: كل مشعب ريماني زائف${\displaystyle (M,g)}$تتمتع بعلاقة فريدة مع ليفي-تشيفيتا${\displaystyle \nabla }$.

البرهان : ^{[ 10 ] [ 11 ]} لإثبات التفرد، حلل تعريف تأثير الاتصال على الموترات لإيجاد

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$.

وبالتالي يمكن كتابة الشرط الذي${\displaystyle \nabla }$يحافظ على المقياس كـ

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$.

بفضل تناظر${\displaystyle g}$،

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)}$.

وبالتالي، فإن الطرف الأيمن يساوي

${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X)}$.

وبالتالي، صيغة كوزول

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Big \}}}$

صحيح. لذا، إذا وُجدت صلة بين ليفي وتشيفيتا، فلا بد أن تكون فريدة، لأن${\displaystyle Z}$هو أمر اعتباطي،${\displaystyle g}$غير متدهور، والجانب الأيمن لا يعتمد على${\displaystyle \nabla }$.

لإثبات الوجود، لاحظ أنه بالنسبة لحقل متجه معين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، يكون الطرف الأيمن من تعبير كوزول خطيًا على الدوال الملساء في حقل المتجهات${\displaystyle Z}$ليس فقط خطيًا حقيقيًا. ومن ثم، بسبب عدم انحلال${\displaystyle g}$، يحدد الجانب الأيمن بشكل فريد حقل متجه جديد، والذي يُشار إليه بشكل موحٍ.${\displaystyle \nabla _{X}Y}$كما هو الحال في الجانب الأيسر. باستبدال صيغة كوزول، يتم الآن التحقق من أن ذلك ينطبق على جميع حقول المتجهات.${\displaystyle X,Y,Z}$وجميع الوظائف${\displaystyle f}$،

${\displaystyle g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X}Y_{2},Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}}$

${\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).}$

وبالتالي فإن تعبير كوزول يحدد بالفعل اتصالاً، وهذا الاتصال متوافق مع المقياس وخالٍ من الالتواء، أي أنه اتصال ليفي-سيفيتا.

مع اختلاف طفيف، يُظهر نفس الدليل وجود اتصال فريد يتوافق مع المقياس وله التواء محدد.

يترك${\displaystyle \nabla }$ليكن اتصالًا خطيًا على حزمة المماس. اختر إحداثيات محلية${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$مع حقول متجهات أساس الإحداثيات${\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n}}$واكتب${\displaystyle \nabla _{j}}$ل${\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}}$رموز كريستوفيل${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}}$ل${\displaystyle \nabla }$تُعرَّف هذه الإحداثيات بالنسبة إلى ما يلي:

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}}$

وعلى العكس من ذلك، تحدد رموز كريستوفيل العلاقة${\displaystyle \nabla }$في نطاق الإحداثيات المجاورة لأن

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X}Y&=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}\end{aligned}}}$

إنه،

${\displaystyle (\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}$

اتصال أفيني${\displaystyle \nabla }$متوافق مع المقياس إذا وفقط إذا

${\displaystyle \partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j},\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l},\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})}$

أي، إذا وفقط إذا

${\displaystyle \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.}$

تكون الوصلة الأفينية ∇ خالية من الالتواء إذا وفقط إذا

${\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}-\nabla _{k}\partial _{j}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l})\partial _{l}=[\partial _{j},\partial _{k}]=0.}$

أي، إذا وفقط إذا

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}}$

متناظر في مؤشريه السفليين.

كما يتحقق المرء من خلال أخذ${\displaystyle X,Y,Z}$حقول متجهات الإحداثيات${\displaystyle \partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}}$(أو يحسبها مباشرة)، فإن تعبير كوزول عن اتصال ليفي-تشيفيتا المشتق أعلاه يكافئ تعريف رموز كريستوفيل من حيث المقياس كما يلي:

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)}$

حيث كالمعتاد${\displaystyle g^{ij}}$هي معاملات موتر القياس المزدوج، أي عناصر معكوس المصفوفة${\displaystyle g_{kl}}$.

يُعرّف اتصال ليفي-تشيفيتا (مثل أي اتصال أفيني) مشتقة على طول المنحنيات ، ويُشار إليها أحيانًا بـ${\displaystyle D}$.

بافتراض منحنى أملس${\displaystyle \gamma }$على${\displaystyle (M,g)}$وحقل متجه${\displaystyle V}$على امتداد${\displaystyle \gamma }$يتم تعريف مشتقها بواسطة $${\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}$$

رسميا،${\displaystyle D}$هل وصلة السحب للخلف${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla }$حزمة السحب${\displaystyle \gamma ^{*}TM}$.

بخاصة،${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$هو حقل متجه على طول المنحنى${\displaystyle \gamma }$نفسها. إذا${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}$عندما يتلاشى المنحنى، يُطلق عليه اسم جيوديسي للمشتقة المتغيرة. ويمكن إعادة صياغة الشرط رسميًا على أنه تلاشي اتصال السحب العكسي المطبق على${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$: $${\displaystyle \left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.}$$

إذا كان المشتق المتغير هو اتصال ليفي-سيفيتا لمقياس معين، فإن الخطوط الجيوديسية لهذا الاتصال هي بالضبط تلك الخطوط الجيوديسية للمقياس التي يتم تحديدها بشكل متناسب مع طول قوسها.

بشكل عام، يُعرّف النقل المتوازي على طول منحنى بالنسبة إلى وصلة ما، التشاكلات بين الفضاءات المماسية عند نقاط المنحنى. إذا كانت الوصلة وصلة ليفي-تشيفيتا، فإن هذه التشاكلات تكون متعامدة ، أي أنها تحافظ على الجداءات الداخلية على مختلف الفضاءات المماسية.

تُظهر الصور أدناه النقل المتوازي الناتج عن اتصال ليفي-تشيفيتا المرتبط بمقياسين ريمانيين مختلفين على المستوى المثقوب${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\backslash \{0,0\}}$المنحنى الذي يتم على طوله النقل الموازي هو دائرة الوحدة. في الإحداثيات القطبية ، يكون المقياس على اليسار هو المقياس الإقليدي القياسي.${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$بينما المقياس الموجود على اليمين هو${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}}$يمتد المقياس الأول إلى المستوى بأكمله، لكن المقياس الثاني له نقطة تفرد عند الأصل:

${\displaystyle dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

${\displaystyle d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$.

عمليات نقل متوازية على المستوى المثقوب تحت وصلات ليفي-تشيفيتا

يتم تحديد هذا النقل بواسطة المقياس${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$.

يتم تحديد هذا النقل بواسطة المقياس${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}}$.

تنبيه: هذا نقل متوازٍ على المستوى المثقوب على طول دائرة الوحدة، وليس نقلًا متوازٍ على دائرة الوحدة نفسها. في الواقع، في الصورة الأولى، تقع المتجهات خارج الفضاء المماسي لدائرة الوحدة.

ليكن ⟨ , ⟩ هو الضرب القياسي المعتاد على R³ ^. ولتكن S² هي كرة الوحدة في R³ ^. يُعرَّف الفضاء المماسي لـ S² ^عند النقطة m بشكل طبيعي بأنه ^{الفضاء الشعاعي الجزئي لـ} R³ الذي يتكون من جميع المتجهات المتعامدة مع m . ويترتب على ذلك أن حقل المتجهات ^Y على S² يمكن اعتباره تطبيقًا Y  : S² → R³ ^، والذي ^يحقق${\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.$

لنرمز بـ d _m Y إلى تفاضل الدالة Y عند النقطة m . عندئذٍ لدينا:

في الواقع، هذا الاتصال هو اتصال ليفي-سيفيتا للمقياس على S ² الموروث من R ^3. وبالفعل، يمكن التحقق من أن هذا الاتصال يحافظ على المقياس.

إذا كان المقياس${\displaystyle g}$يتم استبدال المقياس في فئة مطابقة بالمقياس المعاد قياسه بشكل مطابق لنفس الفئة.${\displaystyle {\hat {g}}=e^{2\gamma }g}$ثم يتحول اتصال ليفي-تشيفيتا وفقًا للقاعدة ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+X(\gamma )Y+Y(\gamma )X-g(X,Y)\mathrm {grad} _{g}(\gamma ).}$$ أين${\displaystyle \mathrm {grad} _{g}(\gamma )}$هو حقل متجه التدرج لـ${\displaystyle \gamma }$أي حقل المتجهات${\displaystyle g}$-ثنائي إلى${\displaystyle d\gamma }$، في الإحداثيات المحلية المعطاة بواسطة${\displaystyle g^{ik}(\partial _{i}\gamma )\partial _{k}}$في الواقع، من السهل التحقق من ذلك.${\displaystyle {\widehat {\nabla }}}$خالٍ من الالتواء. للتحقق من القياسية، افترض أن${\displaystyle g(Y,Y)}$ثابت. في هذه الحالة، $${\displaystyle {\hat {g}}({\widehat {\nabla }}_{X}Y,Y)=X(\gamma ){\hat {g}}(Y,Y)={\frac {1}{2}}X({\hat {g}}(Y,Y)).}$$

كتطبيق، لننظر مرة أخرى إلى كرة الوحدة، ولكن هذه المرة تحت الإسقاط المجسم ، بحيث يكون المقياس (في إحداثيات فوبيني-ستودي المعقدة)${\displaystyle z,{\bar {z}}}$) يكون: $${\displaystyle g={\frac {4\,dz\,d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}.}$$ يُظهر هذا أن مقياس الكرة مسطح بشكل متطابق، مع المقياس الإقليدي${\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}$، مع ${\displaystyle \gamma =\ln(2)-\ln(1+z{\bar {z}})}$لدينا${\displaystyle d\gamma =-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\,dz+z\,d{\bar {z}})}$وهكذا $${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{z}=-{\frac {2{\bar {z}}\partial _{z}}{1+z{\bar {z}}}}.}$$ باستخدام التدرج الإقليدي${\displaystyle \mathrm {grad} _{Euc}(\gamma )=-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\partial _{z}+z\partial _{\bar {z}})}$لدينا $${\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{\bar {z}}=0.}$$ تحدد هذه العلاقات، إلى جانب مرافقاتها المعقدة، رموز كريستوفيل للكرة الثنائية.

• اتصال ويتزنبوك

• بوثبي، ويليام م. (1986). مقدمة في المشعبات التفاضلية والهندسة الريمانية . دار النشر الأكاديمية. ISBN 0-12-116052-1.
• كوباياشي, شوشيشي ; نوميزو كاتسومي (1963). أسس الهندسة التفاضلية . جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 0-470-49647-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) انظر المجلد الأول، صفحة 158

• "علاقة ليفي-سيفيتا" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• عالم الرياضيات: صلة ليفي-سيفيتا
• بلانيت ماث: صلة ليفي-سيفيتا
• اتصال ليفي-تشيفيتا في أطلس المانيفولد