مؤشر أتكينسون

مؤشر أتكينسون (المعروف أيضاً باسم مقياس أتكينسون أو مقياس أتكينسون لعدم المساواة ) هو مقياس لعدم المساواة في الدخل طوره الخبير الاقتصادي البريطاني أنتوني بارنز أتكينسون . يُفيد هذا المقياس في تحديد أي طرف من التوزيع ساهم بشكل أكبر في عدم المساواة الملحوظة. ^{[ 1 ]}

يُعرَّف مؤشر أتكينسون على النحو التالي:

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{for}}\ 0\leq \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{for}}\ \varepsilon =1\\1-{\frac {1}{\mu }}\min \left(y_{1},...,y_{N}\right)&{\mbox{for}}\ \varepsilon =+\infty \end{cases}}}$

أين${\displaystyle y_{i}}$هو الدخل الفردي (حيث i = 1، 2، ...، N ) و${\displaystyle \mu }$هو متوسط ​​الدخل.

وبعبارة أخرى، فإن مؤشر أتكينسون هو مكمل لـ 1 لنسبة المتوسط ​​المعمم لهولدر ذي الأس 1−ε إلى المتوسط ​​الحسابي للدخول (حيث يتم تفسير المتوسط ​​المعمم ذي الأس 0 كالمعتاد على أنه المتوسط ​​الهندسي ).

يمكن تحويل المؤشر إلى مقياس معياري عن طريق فرض معامل${\displaystyle \varepsilon }$لترجيح الدخول. يمكن إعطاء وزن أكبر للتغيرات في جزء معين من توزيع الدخل عن طريق اختيار${\displaystyle \varepsilon }$، مستوى "النفور من عدم المساواة"، بشكل مناسب. يصبح مؤشر أتكينسون أكثر حساسية للتغيرات في الطرف الأدنى من توزيع الدخل كلما${\displaystyle \varepsilon }$يزداد. وعلى العكس من ذلك، كلما انخفض مستوى النفور من عدم المساواة (أي كلما${\displaystyle \varepsilon }$عندما تقترب قيمة مؤشر أتكينسون من الصفر، يصبح أقل حساسية للتغيرات في الطرف الأدنى من التوزيع. مؤشر أتكينسون لا قيمة له.${\displaystyle \varepsilon }$تتأثر بشدة بالدخل المرتفع بسبب القيد الشائع الذي${\displaystyle \varepsilon }$غير سالب. ^{[ 2 ]}

أتكينسون${\displaystyle \varepsilon }$يُطلق على هذا المعامل غالبًا اسم "معامل النفور من عدم المساواة"، لأنه ينظم حساسية الخسائر الضمنية في الرفاه الاجتماعي الناجمة عن عدم المساواة لعدم المساواة في الدخل، كما يُقاس بمؤشر إنتروبيا معمّم مُناسب. يُعرَّف مؤشر أتكينسون بالرجوع إلى دالة الرفاه الاجتماعي المُناظرة، حيث يُعطي حاصل ضرب متوسط ​​الدخل في واحد ناقص مؤشر أتكينسون الدخل المُوزَّع بالتساوي المُكافئ للرفاه . وبالتالي، يُعطي مؤشر أتكينسون نسبة الدخل الحالي التي يُمكن التضحية بها، دون تقليل الرفاه الاجتماعي، في حال تطبيق عدم المساواة التامة.${\displaystyle \varepsilon =0}$(مع عدم وجود نفور من عدم المساواة)، فإن الرفاه الاجتماعي الحدي الناتج عن الدخل ثابت بغض النظر عن الدخل، أي أن الزيادات الحدية في الدخل تُنتج نفس القدر من الرفاه الاجتماعي سواءً ذهبت إلى فرد فقير أو غني. في هذه الحالة، يكون الدخل المكافئ للرفاه الاجتماعي الموزع بالتساوي مساويًا لمتوسط ​​الدخل، ويكون مؤشر أتكينسون صفرًا.

ل${\displaystyle \varepsilon =+\infty }$(نفور لا متناهٍ من عدم المساواة) إن الرفاه الاجتماعي الحدي لدخل أفقر فرد أكبر بكثير من أي فرد أغنى منه ولو قليلاً، ودالة أتكينسون للرفاه الاجتماعي تساوي أدنى دخل في العينة. في هذه الحالة، يساوي مؤشر أتكينسون متوسط ​​الدخل مطروحًا منه أدنى دخل، مقسومًا على متوسط ​​الدخل. ونظرًا لشيوع الدخول الصفرية أو القريبة من الصفر في توزيعات الدخل النموذجية الكبيرة، فإن مؤشر أتكينسون سيميل إلى أن يكون واحدًا أو قريبًا جدًا من الواحد بالنسبة للقيم الكبيرة جدًا.${\displaystyle \varepsilon }$.

يتراوح مؤشر أتكينسون بين 0 و1، وهو مقياس لمقدار المنفعة الاجتماعية التي يمكن الحصول عليها من خلال إعادة توزيع كاملة لتوزيع دخل معين، وذلك لقيمة معينة.${\displaystyle \varepsilon }$المعيار. في ظل المعيار الأخلاقي النفعي وبعض الافتراضات التقييدية (مجتمع متجانس ومرونة ثابتة لمنفعة الإحلال )،${\displaystyle \varepsilon }$يساوي مرونة الدخل للمنفعة الحدية للدخل.

مؤشر أتكينسون مع النفور من عدم المساواة${\displaystyle \varepsilon }$يكافئ (في ظل إعادة التحجيم الرتيب) مؤشر إنتروبيا معمّم ذو معامل${\displaystyle \alpha =1-\varepsilon }$

صيغة اشتقاق مؤشر أتكينسون مع معامل النفور من عدم المساواة${\displaystyle \epsilon }$من مؤشر GE المقابل في ظل القيد${\displaystyle \varepsilon =1-\alpha }$يُعطى بواسطة: $${\displaystyle A=1-[\varepsilon (\varepsilon -1)GE(\alpha )+1]^{(1/(1-\varepsilon ))}\qquad \varepsilon \neq 1}$$$${\displaystyle A=1-e^{-GE(\alpha )}\qquad \varepsilon =1}$$

يُحقق مؤشر أتكينسون الخصائص التالية:

1. المؤشر متناظر في وسائطه:${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})}$لأي تبديل${\displaystyle \sigma }$.
2. يكون المؤشر غير سالب، ويساوي الصفر فقط إذا كانت جميع الدخول متساوية:${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0}$إذا${\displaystyle y_{i}=\mu }$للجميع${\displaystyle i}$.
3. يفي المؤشر بمبدأ التحويلات : إذا تم إجراء تحويل${\displaystyle \Delta >0}$يتم الحصول عليها من فرد لديه دخل${\displaystyle y_{i}}$إلى شخص آخر لديه دخل${\displaystyle y_{j}}$بحيث${\displaystyle y_{i}-\Delta >y_{j}+\Delta }$إذاً، لا يمكن أن يرتفع مؤشر عدم المساواة.
4. يحقق المؤشر بديهية تكرار السكان: إذا تم تشكيل مجموعة سكانية جديدة عن طريق تكرار المجموعة السكانية الحالية عددًا عشوائيًا من المرات، فإن عدم المساواة يظل كما هو:${\displaystyle A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})}$
5. يحقق المؤشر مبدأ استقلال المتوسطات، أو تجانس الدخل: إذا تم ضرب جميع الدخول بثابت موجب، فإن عدم المساواة يبقى كما هو:${\displaystyle A_{\varepsilon}(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})}$لأي${\displaystyle k>0}$.
6. المؤشر قابل للتحليل إلى مجموعات فرعية (بشكل غير جمعي)، بينما مؤشر الإنتروبيا المعمم المقابل قابل للتحليل إلى مجموعات فرعية بشكل جمعي . ^{[ 3 ]} وهذا يعني أنه يمكن حساب التفاوت الكلي في المجتمع كمجموع مؤشرات الإنتروبيا المعممة المقابلة داخل كل مجموعة، ومؤشر الإنتروبيا المعمم لمتوسط ​​دخل المجموعة.

${\displaystyle GE(\alpha ;y_{gi}:g=1,\ldots ,G,i=1,\ldots ,N_{g})=\sum _{g=1}^{G}w_{g}GE(\alpha ;y_{g1},\ldots ,y_{gN_{g}})+GE(\alpha$ ;\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})}

أين${\displaystyle g}$مجموعات الفهارس،${\displaystyle i}$الأفراد داخل المجموعات،${\displaystyle \mu _{g}}$متوسط ​​الدخل في المجموعة${\displaystyle g}$والأوزان${\displaystyle w_{g}}$يعتمد على${\displaystyle \mu _{g},\mu ,N}$و${\displaystyle N_{g}}$تُعدّ فئة مؤشرات التفاوت القابلة للتحليل الجمعي محدودة للغاية؛ في الواقع، مؤشرات الإنتروبيا المعممة فقط هي القابلة للتحليل الجمعي. العديد من المؤشرات الشائعة، بما في ذلك مؤشر جيني ، لا تُحقق هذه الخاصية.

• مقاييس عدم المساواة في الدخل
• مؤشر الإنتروبيا المعمم
• مؤشر جيني

• أتكينسون، أ.ب. (1970). حول قياس عدم المساواة. مجلة النظرية الاقتصادية ، 2 (3)، ص  244-263، doi : 10.1016/0022-0531(70)90039-6 . الورقة الأصلية التي اقترحت مؤشر عدم المساواة هذا.
• أليسون، ب. د. (1978). مقاييس عدم المساواة، المجلة الأمريكية لعلم الاجتماع ، 43، ص  865-880. يقدم هذا البحث مناقشة فنية لخصائص مقياس أتكينسون. يوجد خطأ في صيغة مؤشر أتكينسون، وقد تم تصحيحه في بحث أليسون (1979).
• أليسون، بي دي (1979) رد على جاسّو. المجلة الأمريكية لعلم الاجتماع 44(5):870–72.
• بيوين إم، وجينكينز إس بي (2003). تقدير مؤشرات الإنتروبيا المعممة ومؤشرات عدم المساواة لأتكينسون من بيانات المسح المعقدة. ورقة مناقشة IZA رقم 763. تقدم استدلالًا إحصائيًا لمؤشرات أتكينسون.
• لامبرت، ب. (2002). توزيع وإعادة توزيع الدخل . الطبعة الثالثة، مطبعة جامعة مانشستر، رقم ISBN 978-0-7190-5732-8.
• سين أ، فوستر جيه إي (1997) حول عدم المساواة الاقتصادية ، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-828193-1( برنامج بايثون لمجموعة مختارة من الصيغ الواردة في الكتاب)
• قاعدة بيانات عدم المساواة في الدخل العالمي، مؤرشفة بتاريخ 13 مارس 2011 على موقع Wayback Machine ، من المعهد العالمي لبحوث اقتصاديات التنمية
• عدم المساواة في الدخل، 1947-1998 ، من مكتب الإحصاء الأمريكي .

برمجة:

• تحسب الآلة الحاسبة المجانية عبر الإنترنت معامل جيني، وترسم منحنى لورنز، وتحسب العديد من مقاييس التركيز الأخرى لأي مجموعة بيانات
• آلة حاسبة مجانية : برامج نصية متاحة عبر الإنترنت وقابلة للتنزيل ( بايثون ولوا ) لحساب متباينات أتكينسون وجيني وهوفر
• يمكن لمستخدمي برنامج تحليل البيانات R تثبيت حزمة "ineq" التي تسمح بحساب مجموعة متنوعة من مؤشرات عدم المساواة بما في ذلك جيني، وأتكنسون، وثيل.
• حزمة MATLAB للمتباينات، مؤرشفة بتاريخ 4 أكتوبر 2008 على موقع Wayback Machine ، تتضمن شفرة لحساب مؤشرات جيني، وأتكنسون، وثيل، ولرسم منحنى لورنز. تتوفر العديد من الأمثلة.
• حزم Stata الخاصة بالمتباينات: ineqdeco لتحليل المتباينات حسب المجموعات؛ وsvygei وsvyatk لحساب التباينات المتسقة مع التصميم لمؤشري الإنتروبيا المعممة وأتكينسون؛ وglcurve للحصول على منحنى لورنز المعمم. يمكنك كتابة ssc install ineqdecoetc. في موجه أوامر Stata لتثبيت هذه الحزم.