بديهية باش
في الهندسة ، تُعدّ بديهية باش عبارةً في الهندسة المستوية ، استخدمها إقليدس ضمنيًا ، ولا يمكن استنتاجها من المسلّمات كما وضعها إقليدس. [ 1 ] وقد اكتشف موريتز باش دورها الأساسي عام 1882. [ 2 ]
إفادة
تنص البديهية على ذلك، [ 3 ]
بديهية باش - لتكن A و B و C ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم ، وليكن a خطًا مستقيمًا في المستوى ABC لا يتقاطع مع أي من النقاط A أو B أو C. إذا مر الخط a بنقطة من القطعة المستقيمة AB ، فإنه يمر أيضًا بنقطة من القطعة المستقيمة AC ، أو بنقطة من القطعة المستقيمة BC .
تم إثبات حقيقة أن القطعتين AC و BC لا يتقاطعان مع الخط a في الملحق الأول، 1، الذي كتبه ب . بيرنايز . [ 4 ]
أما النسخة الأكثر حداثة من هذه البديهية فهي كالتالي: [ 5 ]
نسخة أكثر حداثة من بديهية باش - في المستوى، إذا تقاطع خط مع أحد أضلاع المثلث داخليًا فإنه يتقاطع مع ضلع آخر داخليًا والضلع الثالث خارجيًا ، إذا لم يمر عبر رأس من رؤوس المثلث.
(في حالة كون الضلع الثالث موازياً لخطنا، فإننا نعتبر "التقاطع عند اللانهاية" تقاطعاً خارجياً.) غالباً ما نرى نسخة غير رسمية من هذه البديهية:
نسخة غير رسمية من بديهية باش - إذا التقى خط مستقيم، لا يمر بأي رأس من رؤوس المثلث، بأحد أضلاع المثلث فإنه يلتقي بضلع آخر.
تاريخ
نشر باش هذه البديهية عام 1882، [ 2 ] وأظهر أن بديهيات إقليدس غير مكتملة. وكانت هذه البديهية جزءًا من منهج باش لإدخال مفهوم النظام في الهندسة المستوية.
المكافئات
في معالجات أخرى للهندسة الابتدائية، باستخدام مجموعات مختلفة من البديهيات، يمكن إثبات بديهية باش كنظرية؛ [ 6 ] وهي نتيجة بديهية فصل المستويات عندما تُعتبر هذه الأخيرة إحدى البديهيات. يستخدم هيلبرت بديهية باش في معالجته البديهية للهندسة الإقليدية . [ 7 ] وبالنظر إلى البديهيات المتبقية في نظام هيلبرت، يمكن إثبات أن بديهية باش مكافئة منطقيًا لبديهية فصل المستويات. [ 8 ]
استخدام هيلبرت لبديهية باش
يستخدم ديفيد هيلبرت بديهية باش في كتابه " أسس الهندسة" ، والتي تُقدّم أساسًا بديهيًا للهندسة الإقليدية. ويُشار إليها، بحسب الطبعة، إما بالرقم II.4 أو II.5. [ 7 ] وقد وردت عبارته أعلاه.
في معالجة هيلبرت، تظهر هذه البديهية في القسم المتعلق ببديهيات الترتيب، ويُشار إليها باسم بديهية الترتيب المستوية . ولأنه لا يصوغ البديهية بدلالة أضلاع المثلث (التي تُعتبر خطوطًا مستقيمة وليست قطعًا مستقيمة)، فلا حاجة للحديث عن التقاطعات الداخلية والخارجية للخط a مع أضلاع المثلث ABC .
محاذير
تختلف بديهية باش عن نظرية باش، التي تُعنى بترتيب أربع نقاط على خط مستقيم. مع ذلك، يُشار إلى بديهية باش في العديد من المراجع باسم نظرية باش. ومن الأمثلة البارزة على ذلك ما ذكره غرينبيرغ (1974 ، ص 67) .
لا ينبغي الخلط بين بديهية باش وبديهية فيبلين-يونغ للهندسة الإسقاطية ، [ 9 ] والتي يمكن صياغتها على النحو التالي:
بديهية فيبلين-يونغ للهندسة الإسقاطية - إذا تقاطع خط مع ضلعين من المثلث، فإنه يتقاطع أيضًا مع الضلع الثالث.
لا يوجد ذكر للتقاطعات الداخلية والخارجية في نص بديهية فيبلين-يونغ، التي تُعنى فقط بخاصية التقاطع بين الخطوط. في الهندسة الإسقاطية، لا يصح مفهوم الوساطة (اللازم لتحديد التقاطع الداخلي والخارجي)، وتلتقي جميع الخطوط (وبالتالي لا تُثار مسألة الخطوط المتوازية).
ملحوظات
- ↑ ومع ذلك، يمكن استنتاج ذلك من بديهيات أضعف لفصل المستويات التي اعتبرها إقليدس أمراً مفروغاً منه، كما هو موضح في بامبوشيان 2024
- 1 2 باش 1912 ، ص 21
- ↑ هذا مأخوذ من ترجمة أونغر للطبعة العاشرة من كتاب هيلبرت أسس الهندسة وهو مرقم II.4.
- ↑ هيلبرت 1999 ، ص 200 ، ترجمة أونغر.
- ^ بيوتلسباخر وروزنباوم 1998 ، ص. 7
- ↑ وايلي الابن، 1964 ، ص 100
- 1 2 البديهية II.5 في كتاب هيلبرت أسس الهندسة (ترجمة تاونسند المشار إليها أدناه)، وفي الترجمة الإنجليزية المعتمدة للطبعة العاشرة التي ترجمها ل. أونغر (والتي نشرتها أيضًا دار أوبن كورت) تم ترقيمها II.4. هناك عدة اختلافات بين هاتين الترجمتين.
- ↑ يكفي استخدام بديهيات هيلبرت I.1,2,3 و II.1,2,3 لهذا الغرض. وقد ورد البرهان في كتاب فابر (1983 ، الصفحات 116-117) .
- ^ بيوتلسباخر وروزنباوم 1998 ، ص. 6
مراجع
- بيوتلسباشر، ألبريشت؛ روزنباوم، أوتي (1998)، الهندسة الإسقاطية: من الأسس إلى التطبيقات ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-48364-3MR 1629468
- فابر، ريتشارد ل. (1983)، أسس الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية ، نيويورك: مارسيل ديكر، رقم ISBN 978-0-8247-1748-3
- غرينبيرغ، مارفن جاي (1974)، الهندسات الإقليدية وغير الإقليدية: التطور والتاريخ (الطبعة الأولى )، سان فرانسيسكو: دبليو إتش فريمان، رقم ISBN 978-0-7167-0454-6
- غرينبيرغ، مارفن جاي (2007)، الهندسات الإقليدية وغير الإقليدية: التطور والتاريخ (الطبعة الرابعة )، سان فرانسيسكو: دبليو إتش فريمان، رقم ISBN 978-0-7167-9948-1
- هيلبرت، ديفيد (1903)، Grundlagen der Geometrie (بالألمانية)، لايبزيغ: بي جي تيوبنر
- هيلبرت، ديفيد (1950) [1902]، أسس الهندسة (ملف PDF) ، ترجمة تاونسند، إي جيه، لاسال، إلينوي: دار النشر أوبن كورت
- هيلبرت، ديفيد (1999) [1971]، أسس الهندسة ، ترجمة أونجر، ليو ( الطبعة الثانية)، لاسال، إلينوي: دار أوبن كورت للنشر، رقم ISBN 978-0-87548-164-7
- مويس، إدوين (1990)، الهندسة الابتدائية من منظور متقدم ( الطبعة الثالثة)، أديسون-ويسلي، ريدينغ، ماساتشوستس، ص 74، ISBN 978-0-201-50867-3
- بامبوكيان، فيكتور (2011)، "بديهيات الهندسة المرتبة: الجزء الأول: فضاءات الوقوع المرتبة."، Expositiones Mathematicae (29): 24–66 ، doi : 10.1016/j.exmath.2010.09.004
- بامبوكيان، فيكتور (2024)، "لماذا لم يحتج إقليدس إلى بديهية باش؟"، مجلة الهندسة (115)، doi : 10.1007/s00022-024-00712-x
- باش، موريتز (1912) [الطبعة الأولى 1882]، Vorlesungen uber neuere Geometrie (بالألمانية) ( الطبعة الثانية)، لايبزيغ: BG Teubner
- وايلي الابن، كلارنس ريموند (1964)، أسس الهندسة ، نيويورك: ماكجرو هيل، ISBN 978-0-070-72191-3
{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )- وايلي الابن، سي آر (2009) [1964]، أسس الهندسة ، مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-47214-0
روابط خارجية
- الهندسة المستوية الإقليدية
- أسس الهندسة