بديهية الإضافة

في نظرية المجموعات الرياضية، تنص بديهية الإلحاق على أنه لأي مجموعتين x و y ، توجد مجموعة w  = x ∪ { y } تُعطى بإلحاق المجموعة y بالمجموعة x . ويُصاغ ذلك على النحو التالي:   

${\displaystyle \forall x.\forall y.\exists w.\forall z.{\big (}z\in w\leftrightarrow (z\in x\lor z=y){\big )}.}$

قدّم بيرنايز ( 1937 ، صفحة 68، البديهية الثانية (2)) بديهية الاقتران كإحدى بديهيات نظام نظرية المجموعات الذي طرحه حوالي عام 1929. وهي بديهية ضعيفة، تُستخدم في بعض أنظمة نظرية المجموعات الضعيفة، مثل نظرية المجموعات العامة أو نظرية المجموعات المنتهية . كما تُستخدم عملية الاقتران كإحدى عمليات دوال المجموعات الاسترجاعية الأولية . 

أظهر تارسكي وشميلو أن حساب روبنسون (${\displaystyle {\mathsf {Q}}}$يمكن تفسير ذلك في نظرية مجموعات ضعيفة، حيث تتمثل بديهياتها في الامتداد ، ووجود المجموعة الفارغة، وبديهية الاقتران ( تارسكي 1953 ، ص 34) . في الواقع، بلغة نظرية المجموعات الموسعة برمز دالة للاقتران، تكفي بديهيات المجموعة الفارغة والاقتران وحدها (بدون الامتداد) لتفسير ذلك.${\displaystyle {\mathsf {Q}}}$[ ^{1 ]} (يمكن تفسيرها بشكل متبادل. ⁾

إضافة الاستقراء الإبسيلوني إلى المجموعة الفارغة والاقتران ينتج عنه نظرية قابلة للتفسير المتبادل مع حساب بيانو (${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$). كما أن مخططًا بديهيًا آخر يُنتج نظرية قابلة للتفسير المتبادل مع${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \forall x.\forall y.\exists w.\forall z.{\Big (}z\in w\leftrightarrow {\big (}(z\in x\lor z=y)\land \phi {\big )}{\Big )}}$،

أين${\displaystyle \phi }$لا يُسمح له بامتلاك${\displaystyle w}$مجاني. يجمع هذا بين بديهيات نظرية المجموعات: لـ${\displaystyle \phi }$صحيحٌ بشكلٍ بديهي، فقد اختُزل إلى بديهية الاقتران المذكورة أعلاه، و لـ${\displaystyle (z\neq y)\land P}$وهو يعطي بديهية الانفصال مع${\displaystyle P}$.