نظرية المجموعات العامة

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة

نظرية المجموعات العامة ( GST ) هي اسم جورج بولوس (1998) لجزء من نظرية المجموعات البديهية Z. GST كافية لجميع الرياضيات التي لا تتطلب مجموعات غير منتهية ، وهي أضعف نظرية مجموعات معروفة تتضمن نظرياتها بديهيات بيانو من الدرجة الأولى .

علم الوجود

تتطابق أنطولوجيا نظرية المجموعات الإحصائية العامة (GST) مع أنطولوجيا نظرية المجموعات الصفرية (ZFC) ، ولذا فهي نظرية معيارية تمامًا. تتميز GST بمفهوم أنطولوجي أولي واحد ، وهو مفهوم المجموعة ، وفرضية أنطولوجية واحدة، وهي أن جميع الأفراد في مجال الخطاب (وبالتالي جميع الكائنات الرياضية ) عبارة عن مجموعات. توجد علاقة ثنائية أولية واحدة ، وهي انتماء المجموعة ؛ حيث يُكتب أن المجموعة أ عضو في المجموعة ب على النحو التالي : أ ∈ ب (ويُقرأ عادةً " أ عنصر من ب ").

البديهيات

البديهيات الرمزية أدناه مأخوذة من بولوس (1998: 196)، وهي تحكم سلوك المجموعات وتفاعلها. وكما هو الحال مع Z ، فإن المنطق الأساسي لـ GST هو منطق الرتبة الأولى مع عنصر الهوية . في الواقع، GST هو جزء من Z تم الحصول عليه بحذف بديهيات الاتحاد ، ومجموعة القوى ، والمجموعات الأولية (أي الاقتران )، واللانهاية، ثم اعتماد نظرية الاقتران من Z كبديهية. تهدف صيغ البديهيات باللغة الطبيعية إلى تسهيل فهمها.

1) بديهية الامتداد : المجموعتان x و y هما نفس المجموعة إذا كان لهما نفس العناصر.

∀x∀y[∀z[z∈x↔z∈y]→x=y].{\displaystyle \forall x\forall y[\forall z[z\in x\leftrightarrow z\in y]\rightarrow x=y].}

وينتج عكس هذه البديهية من خاصية الاستبدال للمساواة.

2) مخطط التحديد البديهي (أو الفصل أو الفهم المقيد ): إذا كانت z مجموعة وϕ{\displaystyle \phi }إذا كانت أي خاصية يمكن أن تحققها جميع عناصر z أو بعضها أو لا شيء منها ، فإنه يوجد مجموعة جزئية y من z تحتوي فقط على تلك العناصر x في z التي تحقق الخاصيةϕ{\displaystyle \phi }يُعدّ التقييد بـ z ضروريًا لتجنب مفارقة راسل ومتغيراتها. بتعبير أدق، ليكنϕ(x){\displaystyle \phi (x)}ليكن أي صيغة في لغة ضريبة السلع والخدمات حيث يمكن أن يظهر x بحرية ولا يظهر y . عندئذٍ، تكون جميع حالات المخطط التالي بديهيات:

∀z∃y∀x[x∈y↔(x∈z∧ϕ(x))].{\displaystyle \forall z\exists y\forall x[x\in y\leftrightarrow (x\in z\land \phi (x))].}

3) بديهية الإلحاق : إذا كانت x و y مجموعتين، فإنه توجد مجموعة w ، وهي إلحاق x و y ، والتي تتكون عناصرها من y وعناصر x فقط . [ 1 ]

∀x∀y∃w∀z[z∈w↔(z∈x∨z=y)].{\displaystyle \forall x\forall y\exists w\forall z[z\in w\leftrightarrow (z\in x\lor z=y)].}

يشير مصطلح "الاقتران" إلى عملية أولية على مجموعتين، وليس له أي علاقة باستخدام هذا المصطلح في أماكن أخرى في الرياضيات، بما في ذلك نظرية الفئات .

ST هي ضريبة السلع والخدمات مع استبدال مخطط المواصفات البديهي ببديهية المجموعة الفارغة :

∃x∀y[y∉x].{\displaystyle \exists x\forall y[y\notin x].}

مناقشة

الرياضيات الفوقية

لاحظ أن التحديد هو مخطط بديهي. النظرية التي تُقدمها هذه البديهيات غير قابلة للتحديد البديهي النهائي . بيّن مونتاج (1961) أن نظرية ZFC غير قابلة للتحديد البديهي النهائي، وينطبق استنتاجه على نظرية GST. لذا، يجب أن يتضمن أي تحديد بديهي لنظرية GST مخططًا بديهيًا واحدًا على الأقل . وبفضل بديهياتها البسيطة، فإن نظرية GST محصنة أيضًا ضد التناقضات الثلاثة الكبرى لنظرية المجموعات الساذجة : تناقضات راسل ، وبورالي-فورتي ، وكانتور .

يمكن تفسير نظرية GST في جبر العلاقات لأنه لا يوجد جزء من أي بديهية من بديهيات GST يقع ضمن نطاق أكثر من ثلاثة محددات كمية . هذا هو الشرط الضروري والكافي الوارد في تارسكي وجيفانت (1987).

حساب البيانو

بوضع φ ( x ) في فصل المجموعات بحيث x ≠ x ، وبافتراض أن المجال غير فارغ، نضمن وجود المجموعة الفارغة . ويعني الاقتران أنه إذا كانت x مجموعة، فإن x كذلك.S(x)=x∪{x}{\displaystyle S(x)=x\cup \{x\}}بالنظر إلى الاقتران ، يمكن المضي قدمًا في البناء المعتاد للأعداد الترتيبية اللاحقة من المجموعة الفارغة ، حيث تُعرَّف الأعداد الطبيعية على النحو التالي:∅،S(∅)،S(S(∅))،...،{\displaystyle \varnothing ,\,S(\varnothing ),\,S(S(\varnothing )),\,\ldots ,}انظر بديهيات بيانو . يمكن تفسير GST بشكل متبادل مع حساب بيانو (وبالتالي فإن لها نفس القوة البرهانية مثل PA).

إن أبرز ما يميز نظرية المجموعات القياسية (ST) (وبالتالي نظرية المجموعات القياسية العامة GST) هو أن هذه الأجزاء الصغيرة من نظرية المجموعات تُنتج رياضياتٍ ثرية. فبينما تُعدّ ST جزءًا صغيرًا من نظريتي المجموعات الكلاسيكية المعروفة ZFC و NBG ، فإنها تُفسّر حساب روبنسون (Q)، وبالتالي ترث ST الرياضيات القيّمة لـ Q. على سبيل المثال، ST غير قابلة للتقرير أساسًا لأن Q كذلك، وكل نظرية متسقة تتضمن نظرياتها بديهيات ST هي أيضًا غير قابلة للتقرير أساسًا. [ 2 ] [ 3 ] يشمل ذلك GST وكل نظرية مجموعات بديهية جديرة بالدراسة، بافتراض اتساقها. في الواقع، إن عدم قابلية ST للتقرير يستلزم عدم قابلية منطق الرتبة الأولى للتقرير باستخدام حرف محمول ثنائي واحد . [ 4 ]

تُعتبر نظرية Q غير مكتملة أيضاً وفقاً لنظرية عدم الاكتمال لغودل . وأي نظرية قابلة للتحديد البديهي، مثل ST وGST، التي تتضمن نظرياتها بديهيات Q، تُعتبر أيضاً غير مكتملة. علاوة على ذلك، لا يمكن إثبات اتساق GST داخل GST نفسها، إلا إذا كانت GST في الواقع غير متسقة.

المجموعات اللانهائية

بالنظر إلى أي نموذج M من ZFC، فإن مجموعة المجموعات المنتهية وراثيًا في M ستُحقق بديهيات GST. لذلك، لا يُمكن لـ GST إثبات وجود حتى مجموعة لانهائية قابلة للعد ، أي مجموعة يكون عدد عناصرهاℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}حتى لو سمحت نظرية المجموعات العامة (GST) بوجود مجموعة غير منتهية قابلة للعد، فإنها لا تستطيع إثبات وجود مجموعة يكون عدد عناصرهاℵ1{\displaystyle \aleph _{1}}لأن نظرية المجموعات العامة تفتقر إلى بديهية مجموعة القوى. لذا، لا يمكن لهذه النظرية أن تُؤسس للتحليل والهندسة ، وهي ضعيفة للغاية بحيث لا تصلح كأساس للرياضيات .

تاريخ

لم يهتم بولوس بنظرية GST إلا كجزء من Z يتمتع بالقوة الكافية لتفسير حساب بيانو . لم يُسهب في دراسة GST، بل أشار إليها بإيجاز في عدة أوراق بحثية تناولت أنظمة Grundlagen و Grundgesetze لفريجه ، وكيفية تعديلها للتخلص من مفارقة راسل . النظام A ξ ' [ δ 0 ] في تارسكي وجيفانت (1987: 223) هو في جوهره GST مع استبدال مخطط التحديد بمخطط بديهي للاستقراء ، وافتراض وجود مجموعة فارغة بشكل صريح.

يُطلق على GST اسم STZ في كتاب بورغيس (2005)، صفحة  223. [ 5 ] نظرية بورغيس ST [ 6 ] هي GST مع استبدال مخطط التحديد البديهي بمجموعة فارغة . إن ظهور الحرفين "ST" في "GST" هو محض صدفة.

الحواشي

  1. ↑ نادراً ما يتم ذكر الإضافة في الأدبيات. الاستثناءات هي Burgess (2005) في مواضع متفرقة ، و QIII في Tarski و Givant (1987: 223).
  2. ↑ بورغيس (2005)، 2.2، ص. 91.
  3. ↑ كولينز ودانيال (1970)، حيث يُطلق على STاسم S.
  4. ^ تارسكي وآخرون. (1953)، ص. 34.
  5. ↑ إن بديهية المجموعة الفارغة في STZ زائدة عن الحاجة، لأن وجود المجموعة الفارغة يمكن استنتاجه من مخطط البديهيات الخاص بالمواصفات.
  6. ↑ دعا S' في Tarski وآخرون. (1953: 34).

مراجع