مضلع مستقيم

المضلع المستقيم هو مضلع تلتقي جميع أضلاعه بزوايا قائمة . وبالتالي، فإن الزاوية الداخلية عند كل رأس إما 90° أو 270°. المضلعات المستقيمة هي حالة خاصة من المضلعات المتساوية الزوايا .

في كثير من الحالات، يُفضّل تعريف آخر: المضلع المستقيم هو مضلع أضلاعه موازية لمحاور الإحداثيات الديكارتية . يصبح هذا التمييز بالغ الأهمية عند الحديث عن مجموعات المضلعات: فالتعريف الأخير يعني أن أضلاع جميع المضلعات في المجموعة محاذية لمحاور الإحداثيات نفسها. وفي إطار التعريف الثاني، من الطبيعي الحديث عن الأضلاع الأفقية والأضلاع الرأسية للمضلع المستقيم.

تُعرف المضلعات المستقيمة أيضًا بالمضلعات المتعامدة . ومن المصطلحات الأخرى المستخدمة: المضلعات متساوية التوجيه ، والمضلعات المحاذية للمحاور ، والمضلعات الموجهة للمحاور . وتكون هذه الصفات أقل إرباكًا عندما تكون هذه المضلعات مستطيلات ، ويُفضل استخدام مصطلح " مستطيل محاذٍ للمحاور" ، على الرغم من استخدام مصطلحي "مستطيل متعامد" و "مستطيل مستقيم" أيضًا.

تكمن أهمية فئة المضلعات المستقيمة فيما يلي.

• تُعدّ هذه التقنية ملائمة لتمثيل الأشكال في تصميمات أقنعة الدوائر المتكاملة نظرًا لبساطة تصميمها وتصنيعها. وتنتج العديد من الأجسام المصنّعة مضلعات متعامدة.
• تُتيح مسائل الهندسة الحسابية المُصاغة بدلالة المضلعات في كثير من الأحيان خوارزميات أكثر كفاءة عند اقتصارها على المضلعات المتعامدة. ومن الأمثلة على ذلك نظرية معرض الفنون للمضلعات المتعامدة، والتي تُؤدي إلى تغطية حماية أكثر كفاءة مما هو ممكن للمضلعات العشوائية.

المضلع المستقيم له حواف من نوعين : أفقية ورأسية .

• اللمة : عدد الحواف الأفقية يساوي عدد الحواف الرأسية (لأن كل حافة أفقية تتبعها حافة رأسية والعكس صحيح).
  • النتيجة: المضلعات المتعامدة لها عدد زوجي من الحواف.

للمضلع المستقيم نوعان من الزوايا: الزوايا التي تكون فيها الزاوية الأصغر (90 درجة) داخلية للمضلع تسمى محدبة، والزوايا التي تكون فيها الزاوية الأكبر (270 درجة) داخلية تسمى مقعرة . ^{[ 1 ]}

النتوء هو حافة طرفاها زاويتان محدبتان. أما النتوء المضاد فهو حافة طرفاها زاويتان مقعرتان. ^{[ 1 ]}

يُطلق على المضلع المستقيم البسيط اسم المضلع الخالي من الثقوب لأنه لا يحتوي على أي ثقوب، بل يمتلك حدًا متصلًا واحدًا فقط. وله عدة خصائص مثيرة للاهتمام:

1. عدد الزوايا المحدبة يزيد بأربع زوايا عن عدد الزوايا المقعرة. لفهم السبب، تخيل أنك تتحرك على طول حدود المضلع باتجاه عقارب الساعة (بيدك اليمنى داخل المضلع ويدك اليسرى خارجه). عند كل زاوية محدبة، تنعطف 90 درجة إلى اليمين؛ وعند كل زاوية مقعرة، تنعطف 90 درجة إلى اليسار. في النهاية، يجب أن تُكمل دورة كاملة (360 درجة) وتعود إلى نقطة البداية؛ لذا، يجب أن يزيد عدد الانعطافات إلى اليمين بأربع زوايا عن عدد الانعطافات إلى اليسار.
   • النتيجة: كل مضلع مستقيم له 4 زوايا محدبة على الأقل.
2. عدد النتوءات (الأضلاع التي تربط زاويتين محدبتين) يزيد بأربعة عن عدد النتوءات المضادة (الأضلاع التي تربط زاويتين مقعرتين). ولتوضيح ذلك، لنفترض أن X هو عدد الزوايا المحدبة و Y هو عدد الزوايا المقعرة. بناءً على الحقيقة السابقة، X = Y + 4. لنفترض أن XX هو عدد الزوايا المحدبة التي تليها زاوية محدبة، وXY هو عدد الزوايا المحدبة التي تليها زاوية مقعرة، و YX و YY معرفتان بشكل مماثل. من الواضح إذن أن X = XX + XY = XX + YX و Y = XY + YY = YX + YY . وبالتالي، XX = X − XY = X − ( Y − YY ) = YY + ( X − Y ) = YY + 4. ^{[ 2 ]}
   • النتيجة: كل مضلع مستقيم يحتوي على 4 نتوءات على الأقل.

يمكن تغطية مضلع مستقيم بعدد محدود من المربعات أو المستطيلات ذات الحواف الموازية لحواف المضلع (انظر تغطية المضلع ). من الممكن تمييز عدة أنواع من المربعات/المستطيلات الموجودة في مضلع مستقيم معين P : ^{[ 1 ]}

المربع الأعظم في المضلع P هو مربع في P لا يحتويه أي مربع آخر في P. وبالمثل، المستطيل الأعظم هو مستطيل لا يحتويه أي مستطيل آخر في P.

يكون المربع s أعظميًا في P إذا كان كل زوج من الحواف المتجاورة في s يتقاطع مع حدود P. ويُبرهن على كلا الجانبين بالتناقض.

• إذا لم يتقاطع زوج متجاور معين في s مع حدود P ، فسيتم دفع هذا الزوج أكثر نحو الحدود، وبالتالي فإن s ليس أقصى.
• إذا لم تكن s هي القيمة القصوى في P ، فهناك مربع أكبر في P يحتوي على s ؛ يحتوي الجزء الداخلي من هذا المربع الأكبر على زوج من الحواف المتجاورة لـ s ، وبالتالي فإن هذا الزوج لا يتقاطع مع حدود P.

ينطبق الاتجاه الأول أيضًا على المستطيلات، أي: إذا كان المستطيل s أقصى ما يمكن، فإن كل زوج من الحواف المتجاورة لـ s يتقاطع مع حدود P. أما الاتجاه الثاني فليس بالضرورة صحيحًا: فقد يتقاطع المستطيل مع حدود P في ثلاثة جوانب متجاورة، ومع ذلك لا يكون أقصى ما يمكن، لأنه قد يمتد من الجانب الرابع.

النتيجة: كل مربع/مستطيل أقصى في P له نقطتان على الأقل ، على ضلعين متقابلين، يتقاطعان مع حدود P.

المربع الزاوي هو مربع أقصى s في مضلع P بحيث تتداخل زاوية واحدة على الأقل من s مع زاوية محدبة من P. لكل زاوية محدبة، يوجد مربع أقصى (زاوية) واحد يغطيها، ولكن قد يغطي مربع أقصى واحد أكثر من زاوية. لكل زاوية، قد توجد العديد من المستطيلات القصوى المختلفة التي تغطيها.

المربع الفاصل في المضلع P هو مربع s في P بحيث يكون P − s غير متصل.

• اللمة : في المضلع المستقيم البسيط، يُعتبر المربع الأعظم الذي لا يحتوي على نتوء فاصلاً. ^{[ 3 ]} قد يكون المربع الذي يحتوي على نتوء فاصلاً أو لا. قد يكون عدد مربعات الفواصل المختلفة لانهائيًا، بل وغير قابل للعد. على سبيل المثال، في المستطيل، يُعتبر كل مربع أعظم لا يلامس أحد الأضلاع الأقصر فاصلاً.

المربع المتصل هو مربع s داخل مضلع P بحيث يكون تقاطع حدود s مع حدود P متصلاً. المربع المتصل الأقصى هو دائمًا مربع زاوية. علاوة على ذلك، يحتوي المربع المتصل الأقصى دائمًا على نتوء. لذا، فإن عدد المربعات المتصلة محدود دائمًا بعدد النتوءات.

توجد أنواع مختلفة من المواصلات، بناءً على عدد العقد التي تحتويها وبنيتها الداخلية (انظر الشكل). تُعرَّف شرفة المواصل بأنها النقاط التي لا تغطيها أي مربعات عظمى أخرى (انظر الشكل).

لا يمكن لأي مربع أن يكون مُكملاً وفاصلاً في الوقت نفسه. في المضلعات العامة، قد توجد مربعات ليست مُكملة ولا فاصلة، ولكن هذا لا يمكن أن يحدث في المضلعات البسيطة: ^{[ 1 ]}

1. في المضلع المستقيم البسيط، يكون كل مربع أقصى إما فاصلاً أو متصلاً. وينطبق هذا أيضاً على المستطيلات: فكل مستطيل أقصى إما فاصلاً أو متصلاً.
2. في المضلع المستقيم البسيط الذي ليس مربعًا، يوجد على الأقل اثنان من المتصلات.

هناك تشابه مثير للاهتمام بين المربعات القصوى في مضلع بسيط والعقد في الشجرة: فالعقدة المتصلة تشبه عقدة الورقة والعقدة الفاصلة تشبه العقدة الداخلية.

أبسط مضلع مستقيم هو مستطيل محاذٍ للمحاور - مستطيل له ضلعان موازيان للمحور السيني وضلعان موازيان للمحور الصادي. انظر أيضًا: المستطيل المحيط الأدنى .

المضلع المستطيل هو مضلع مستقيم تكون أطوال أضلاعه متسلسلة بأعداد صحيحة متتالية.

المضلع المستقيم الذي ليس مستطيلاً لا يكون محدباً أبداً ، ولكنه قد يكون محدباً عمودياً. انظر: المضلع المستقيم المحدب عمودياً .

المضلع المستقيم الرتيب هو مضلع رتيب وهو أيضاً مستقيم.

المربع T هو شكل كسري يتم إنشاؤه من سلسلة من المضلعات المستقيمة ذات الخصائص المثيرة للاهتمام.

يمكن تطبيق معظمها على المضلعات العامة أيضًا، لكن توقع خوارزميات أكثر كفاءة يستدعي دراسة منفصلة.

• البحث في نطاق متعامد
• بناء الهيكل المحدب المتعامد
• العمليات المنطقية على المضلعات للمضلعات المتعامدة (مثل التقاطع والاتحاد )
• تخطيط الحركة / تخطيط المسار / التوجيه بين العوائق المستقيمة
• مشاكل الرؤية ( مشاكل الإضاءة )
• مستطيل فارغ أقصى

تُعدّ مسائل تجزئة المضلعات المستقيمة إلى وحدات بسيطة - عادةً ما تكون مستطيلات أو مربعات - ذات أهمية خاصة في مجال المضلعات المستقيمة. وهناك أنواع عديدة من مسائل التجزئة:

• في مسائل التغطية ، الهدف هو إيجاد أصغر مجموعة من الوحدات (مربعات أو مستطيلات) التي يكون اتحادها مساوياً للمضلع. قد تتداخل هذه الوحدات. انظر تغطية المضلع .
• في مسائل التعبئة ، يتمثل الهدف في إيجاد أكبر مجموعة من الوحدات غير المتداخلة التي يقع اتحادها داخل المضلع. وقد يكون الاتحاد أصغر من المضلع.
• في مسائل التقسيم ، يتمثل الهدف في إيجاد أصغر مجموعة من الوحدات غير المتداخلة التي يكون اتحادها مساوياً تماماً للمضلع. انظر تقسيم المضلع .

• المجسمات متعددة الأوجه المتعامدة ، وهي تعميم طبيعي للمضلعات المتعامدة إلى الأبعاد الثلاثية.

• فرانكو ب. بريباراتا ومايكل إيان شاموس (1985). الهندسة الحسابية - مقدمة . سبرينغر . ISBN 0-387-96131-3الطبعة الأولى؛ الطبعة الثانية، مصححة وموسعة، 1988.الفصل الثامن: "هندسة المستطيلات"