مضلع بسيط

في الهندسة ، المضلع البسيط هو مضلع لا يتقاطع مع نفسه ولا يحتوي على ثقوب. أي أنه منحنى جوردان خطي متقطع يتكون من عدد محدود من القطع المستقيمة . وتشمل هذه المضلعات، كحالات خاصة، المضلعات المحدبة ، والمضلعات النجمية ، والمضلعات الرتيبة .

مجموع الزوايا الخارجية لمضلع بسيط هو${\displaystyle 2\pi }$كل مضلع بسيط مع${\displaystyle n}$يمكن تقسيم الجوانب إلى مثلثات بواسطة${\displaystyle n-3}$من أقطارها، وبحسب نظرية معرض الفنون، فإن داخلها مرئي من بعض${\displaystyle \lfloor n/3\rfloor }$من رؤوسها.

تُعتبر المضلعات البسيطة عادةً مدخلات لمشاكل الهندسة الحسابية ، بما في ذلك اختبار النقطة داخل المضلع ، وحساب المساحة ، والغطاء المحدب للمضلع البسيط ، والتثليث، وأقصر المسارات الإقليدية .

تشمل الإنشاءات الأخرى في الهندسة المتعلقة بالمضلعات البسيطة ما يلي: رسم شوارتز-كريستوفيل ، المستخدم لإيجاد الخرائط المطابقة التي تتضمن المضلعات البسيطة، وتشكيل المضلعات لمجموعات النقاط، وصيغ الهندسة الصلبة البنائية للمضلعات، ورسوم بيانية للرؤية للمضلعات.

المضلع البسيط هو منحنى مغلق في المستوى الإقليدي يتكون من قطع مستقيمة تتقاطع أطرافها لتشكل سلسلة مضلعية . ^{[ 1 ]} تتقاطع قطعتان مستقيمتان عند كل طرف، ولا توجد نقاط تقاطع أخرى بين القطع المستقيمة. لا توجد مجموعة جزئية فعلية من القطع المستقيمة لها نفس الخصائص. ^{[ 2 ]} يُحذف وصف " بسيط" أحيانًا، ويُفترض أن كلمة "مضلع" تعني مضلعًا بسيطًا. ^{[ 3 ]}

تُسمى القطع المستقيمة التي تُشكّل المضلع حوافّه أو أضلاعه . وتُسمى نقطة نهاية القطعة المستقيمة رأسًا (جمعها رؤوس) ^{[ 2 ]} أو زاوية . تُعدّ مصطلحات الحواف والرؤوس أكثر دقة، ولكنها قد تكون مُبهمة في السياقات التي تتضمن أيضًا حواف ورؤوس الرسم البياني ؛ لذا يُمكن استخدام المصطلحات الأكثر شيوعًا، مثل الأضلاع والزوايا ، لتجنب هذا الغموض. ^{[ 4 ]} عدد الحواف يساوي دائمًا عدد الرؤوس. ^{[ 2 ]} تسمح بعض المصادر بتشكيل زاوية قائمة (180 درجة) بين قطعتين مستقيمتين ، ^{[ 5 ]} بينما تمنع مصادر أخرى ذلك، وتشترط بدلًا من ذلك دمج القطع المستقيمة المتوازية في سلسلة مضلعات مغلقة لتكوين ضلع واحد أطول. ^{[ 6 ]} يُعتبر رأسان متجاورين إذا كانا نقطتي نهاية أحد أضلاع المضلع. ^{[ 7 ]}

تُسمى المضلعات البسيطة أحيانًا بمضلعات جوردان ، لأنها منحنيات جوردان ؛ ويمكن استخدام نظرية منحنى جوردان لإثبات أن مثل هذا المضلع يقسم المستوى إلى منطقتين. ^{[ 8 ]} في الواقع، انطلق برهان كاميل جوردان الأصلي لهذه النظرية من الحالة الخاصة للمضلعات البسيطة (المذكورة دون برهان). ^{[ 9 ]} تُشكل المنطقة داخل المضلع (باطنه ) مجموعة محدودة ^{[ 2 ]} مكافئة طوبولوجيًا لقرص مفتوح وفقًا لنظرية جوردان-شونفليس ، ^{[ 10 ]} بمساحة محدودة ولكنها غير صفرية . ^{[ 11 ]} المضلع نفسه مكافئ طوبولوجيًا لدائرة ، [ ^{12 ] والمنطقة} خارجه ( خارجه ) هي مجموعة مفتوحة متصلة غير محدودة ، بمساحة لانهائية. ^{[ 11 ]} على الرغم من أن التعريف الرسمي للمضلع البسيط عادةً ما يكون على أنه نظام من القطع المستقيمة، إلا أنه من الممكن أيضًا (وهو أمر شائع في الاستخدام غير الرسمي) تعريف المضلع البسيط على أنه مجموعة مغلقة في المستوى، وهي اتحاد هذه القطع المستقيمة مع الجزء الداخلي من المضلع. ^{[ 2 ]}

قطر المضلع البسيط هو أي قطعة مستقيمة لها رأسان من رؤوس المضلع كنقطتي نهاية لها، وتقع بالكامل داخل المضلع. ^{[ 13 ]}

الزاوية الداخلية لمضلع بسيط، عند أحد رؤوسه، هي الزاوية التي يشكلها باطن المضلع عند ذلك الرأس. ويكون الرأس محدبًا إذا كانت زاويته الداخلية أقل من${\displaystyle \pi }$(زاوية مستقيمة، 180 درجة) ومقعرة إذا كانت الزاوية الداخلية أكبر من${\displaystyle \pi }$إذا كانت الزاوية الداخلية${\displaystyle \theta }$الزاوية الخارجية عند نفس الرأس تُعرَّف بأنها مكملتها${\displaystyle \pi -\theta }$الزاوية الخارجية هي زاوية الانعطاف من ضلع موجه إلى الضلع التالي. تكون الزاوية الخارجية موجبة عند الرأس المحدب وسالبة عند الرأس المقعر. بالنسبة لأي مضلع بسيط، يكون مجموع الزوايا الخارجية هو${\displaystyle 2\pi }$(دورة كاملة، 360 درجة). وبالتالي فإن مجموع الزوايا الداخلية، لمضلع بسيط مع${\displaystyle n}$الجانب هو${\displaystyle (n-2)\pi }$[ ^{14 ]​}

يمكن تقسيم أي مضلع بسيط إلى مثلثات غير متداخلة بواسطة مجموعة فرعية من أقطاره. عندما يكون للمضلع${\displaystyle n}$من الجوانب، ينتج هذا${\displaystyle n-2}$مثلثات، مفصولة بـ${\displaystyle n-3}$الأقطار. يُطلق على التقسيم الناتج اسم تثليث المضلع . ^{[ 8 ]} يمكن تحديد شكل المضلع البسيط المُثلث بشكل فريد من خلال الزوايا الداخلية للمضلع والنسب التبادلية للأشكال الرباعية المتكونة من أزواج المثلثات التي تشترك في قطر. ^{[ 15 ]}

بحسب نظرية الأذنين ، فإن كل مضلع بسيط ليس مثلثًا له أذنان على الأقل ، وهما رأسان يكون جيرانهما طرفي قطر. ^{[ 8 ]} وتنص نظرية أخرى على أن كل مضلع بسيط ليس محدبًا له فم ، وهو رأس يكون جيرانه طرفي قطعة مستقيمة تقع خارج المضلع تمامًا. وتُسمى المضلعات التي لها أذنان وفم واحد فقط بالمضلعات البشرية الشكل . ^{[ 16 ]}

وفقًا لنظرية معرض الفنون ، في مضلع بسيط مع${\displaystyle n}$بالنسبة للرؤوس، من الممكن دائمًا إيجاد مجموعة جزئية من على الأكثر${\displaystyle \lfloor n/3\rfloor }$من الرؤوس التي تتميز بخاصية أن كل نقطة في المضلع مرئية من أحد الرؤوس المحددة. وهذا يعني أنه لكل نقطة${\displaystyle p}$يوجد في المضلع قطعة مستقيمة تربط${\displaystyle p}$إلى رأس مُختار، مرورًا فقط بالنقاط الداخلية للمضلع. إحدى طرق إثبات ذلك هي استخدام تلوين الرسم البياني على تثليث المضلع: من الممكن دائمًا تلوين الرؤوس بثلاثة ألوان، بحيث يكون لكل ضلع أو قطر في التثليث نقطتا نهاية بلونين مختلفين. كل نقطة من المضلع مرئية لرأس من كل لون، على سبيل المثال، أحد الرؤوس الثلاثة للمثلث الذي يحتوي على تلك النقطة في التثليث المُختار. يُستخدم أحد الألوان من قِبل رأس واحد على الأكثر${\displaystyle \lfloor n/3\rfloor }$من الرؤوس، مما يثبت النظرية. ^{[ 17 ]}

كل مضلع محدب هو مضلع بسيط. ومن أنواع المضلعات البسيطة المهمة الأخرى المضلعات النجمية الشكل ، وهي المضلعات التي لها نقطة (داخلية أو على حدودها) يمكن رؤية كل نقطة منها. ^{[ 2 ]}

مضلع رتيب ، بالنسبة لخط مستقيم${\displaystyle L}$، هو مضلع يكون فيه كل خط عمودي على${\displaystyle L}$يتقاطع مع باطن المضلع في مجموعة متصلة. أو بعبارة أخرى، هو مضلع يمكن تقسيم حدوده إلى سلسلتين مضلعيتين رتيبتين، وهما عبارة عن تسلسلات فرعية من الحواف التي تتقاطع رؤوسها، عند إسقاطها عموديًا على${\displaystyle L}$، بنفس الترتيب على طول${\displaystyle L}$كما يفعلون في السلسلة. ^{[ 18 ]}

في الهندسة الحسابية ، تتضمن العديد من المهام الحسابية المهمة مدخلات على شكل مضلع بسيط.

• يتضمن اختبار النقطة في المضلع تحديد، بالنسبة لمضلع بسيط${\displaystyle P}$ونقطة استعلام${\displaystyle q}$، سواء${\displaystyle q}$يقع في الداخل إلى${\displaystyle P}$يمكن حلها في وقت خطي ؛ أو بدلاً من ذلك، من الممكن معالجة مضلع معين إلى بنية بيانات، في وقت خطي، بحيث يمكن إجراء اختبارات النقاط اللاحقة داخل المضلع في وقت لوغاريتمي. ^{[ 20 ]}
• تُعرف صيغ بسيطة لحساب مساحة الجزء الداخلي من المضلع. وتشمل هذه الصيغ صيغة رباط الحذاء للمضلعات ذات الشكل العشوائي، ^{[ 21 ]} ونظرية بيك للمضلعات ذات إحداثيات الرؤوس الصحيحة. ^{[ 12 ] [ 22 ]}
• يمكن أيضًا إيجاد الغلاف المحدب لمضلع بسيط في وقت خطي، وهو أسرع من الخوارزميات المستخدمة لإيجاد الأغلفة المحدبة للنقاط التي لم يتم توصيلها في مضلع. ^{[ 6 ]}
• يمكن أيضًا إنشاء مثلثات لمضلع بسيط في زمن خطي، على الرغم من تعقيد الخوارزمية. ويمكن استخدام تعديل للخوارزمية نفسها لاختبار ما إذا كانت سلسلة مضلعات مغلقة تُشكّل مضلعًا بسيطًا (أي ما إذا كانت تتجنب التقاطعات الذاتية) في زمن خطي. ^{[ 23 ]} ويؤدي هذا أيضًا إلى خوارزمية خطية لحل مشكلة معرض الفنون باستخدام زمن خطي لا يتجاوز${\displaystyle \lfloor n/3\rfloor }$^{[ 24 ]} على الرغم من إمكانية تحويل أي مثلثين لنفس المضلع إلى بعضهما البعض عن طريق قلب أحد الأقطار في كل مرة، فإن تحديد ما إذا كان بالإمكان القيام بذلك باستخدام عدد محدود فقط من عمليات القلب يُعد مسألة NP-كاملة . ^{[ 25 ]}
• المسار الجيوديسي ، ^{[ 26 ]} وهو أقصر مسار في المستوى يربط نقطتين داخل مضلع دون عبوره إلى خارجه، يمكن إيجاده في زمن خطي باستخدام خوارزمية تستخدم التثليث كإجراء فرعي. ^{[ 27 ]} وينطبق الأمر نفسه على المركز الجيوديسي ، وهو نقطة في المضلع تُقلل أقصى طول لمساراته الجيوديسية إلى جميع النقاط الأخرى. ^{[ 26 ]}
• يمكن إنشاء مضلع الرؤية لنقطة داخلية في مضلع بسيط، أي النقاط المرئية مباشرةً من تلك النقطة بواسطة قطع مستقيمة داخلية في المضلع، في زمن خطي. ^{[ 28 ]} وينطبق الأمر نفسه على المجموعة الجزئية المرئية من نقطة واحدة على الأقل من قطعة مستقيمة معينة. ^{[ 27 ]}

تشمل المشكلات الحسابية الأخرى التي دُرست للمضلعات البسيطة إنشاء أطول قطر أو أطول قطعة مستقيمة داخل مضلع، ^{[ 13 ]} وإنشاء الجمجمة المحدبة (أكبر مضلع محدب داخل المضلع البسيط المُعطى)، ^{[ 29 ] [ 30 ]} وإنشاء هياكل عظمية أحادية البعد تُقارب شكله، بما في ذلك المحور المتوسط ^{​​[ 31 ]} والهيكل العظمي المستقيم . ^{[ 32 ]} كما درس الباحثون إنتاج مضلعات أخرى من مضلعات بسيطة باستخدام منحنيات الإزاحة ، ^{[ 33 ]} وعمليات الاتحاد والتقاطع، ^{[ 11 ]} ومجاميع مينكوفسكي ، ^{[ 34 ]} ولكن هذه العمليات لا تُنتج دائمًا مضلعًا بسيطًا كنتيجة لها. يمكن تعريفها بطريقة تُنتج دائمًا منطقة ثنائية الأبعاد، ولكن هذا يتطلب تعريفات دقيقة لعمليات التقاطع والفرق لتجنب إنشاء ميزات أحادية البعد أو نقاط معزولة. ^{[ 11 ]}

وفقًا لنظرية ريمان للتحويل ، يمكن تحويل أي مجموعة جزئية مفتوحة بسيطة الاتصال من المستوى تحويلًا توافقيًا إلى قرص. يوفر تحويل شوارتز-كريستوفيل طريقةً لإنشاء تحويل صريح من قرص إلى أي مضلع بسيط باستخدام زوايا رؤوس محددة وصور عكسية لرؤوس المضلع على حدود القرص. تُحسب هذه الرؤوس العكسية عادةً عدديًا. ^{[ 35 ]}

يمكن توصيل أي مجموعة محدودة من النقاط في المستوى، التي لا تقع على خط مستقيم واحد، لتشكيل رؤوس مضلع بسيط (بزوايا 180 درجة)؛ على سبيل المثال، أحد هذه المضلعات هو حل مسألة البائع المتجول . ^{[ 36 ]} يُطلق على توصيل النقاط لتشكيل مضلع بهذه الطريقة اسم التضليع . ^{[ 37 ]}

يمكن تمثيل كل مضلع بسيط بصيغة في الهندسة الفراغية البنائية ، حيث تُنشئ هذه الصيغة المضلع (كمجموعة مغلقة تشمل الجزء الداخلي) من اتحادات وتقاطعات أنصاف المستويات ، مع ظهور كل ضلع من أضلاع المضلع مرة واحدة كنصف مستوى في الصيغة. تحويل${\displaystyle n}$يمكن تحويل المضلع ذي الأضلاع إلى هذا التمثيل في وقت${\displaystyle O(n\log n)}$[ ^{38 ]​}

يربط مخطط الرؤية لمضلع بسيط رؤوسه بحواف تمثل أضلاعه وأقطاره. ^{[ 3 ]} ويحتوي دائمًا على دورة هاميلتونية ، تتكون من أضلاع المضلع. ولا تزال مسألة التعقيد الحسابي لإعادة بناء مضلع له مخطط رؤية معين، ودورة هاميلتونية محددة تمثل دورة أضلاعه، مسألة مفتوحة. ^{[ 39 ]}

• مسألة قاعدة كاربنتر ، حول الحركة المستمرة لمضلع بسيط إلى مضلع محدب
• نظرية إردوش-ناغي ، وهي عملية عكس أجزاء من مضلع بسيط غير محدب لجعله محدبًا.
• الشبكة (متعدد السطوح) ، وهي مضلع بسيط يمكن طيه ولصقه لتشكيل متعدد السطوح معين
• المضلع الكروي ، مفهوم مماثل على سطح الكرة
• المضلع البسيط الضعيف ، وهو تعميم للمضلعات البسيطة يسمح للحواف بالتلامس بطرق محدودة

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مضلع بسيط" . عالم الرياضيات .