BDDC

الموسوعة الحرة

في التحليل العددي ، تُعدّ طريقة BDDC (موازنة تجزئة المجال بالقيود) أسلوبًا لتجزئة المجال يُستخدم لحلّ أنظمة المعادلات الخطية المتناظرة والموجبة المحددة الكبيرة الناتجة عن طريقة العناصر المحدودة . تُستخدم BDDC كمعالج مسبق لطريقة التدرج المترافق . يتميز إصدارٌ مُحدد من BDDC باختيار درجات الحرية التقريبية، والتي قد تكون قيمًا عند زوايا المجالات الفرعية، أو متوسطات على حواف أو أوجه الواجهة بين المجالات الفرعية. يجمع أحد تطبيقات معالج BDDC المسبق بين حلّ المسائل المحلية على كل مجال فرعي وحلّ مسألة تقريبية شاملة، حيث تكون درجات الحرية التقريبية هي المجاهيل. المسائل المحلية على المجالات الفرعية المختلفة مستقلة تمامًا عن بعضها البعض، لذا فإنّ هذه الطريقة مناسبة للحوسبة المتوازية . باختيار مناسب لدرجات الحرية الأساسية (الزوايا في بُعدين، أو الزوايا مع الحواف، أو الزوايا مع الأوجه في ثلاثة أبعاد) ومع أشكال منتظمة للمجالات الفرعية، يكون عدد شرط الطريقة محدودًا عند زيادة عدد المجالات الفرعية، ولا ينمو إلا ببطء شديد مع عدد العناصر في كل مجال فرعي. وبالتالي، يكون عدد التكرارات محدودًا بنفس الطريقة، وتتناسب الطريقة جيدًا مع حجم المسألة وعدد المجالات الفرعية.

تاريخ

طُرحت طريقة BDDC من قِبل مؤلفين مختلفين وبمناهج متباينة في نفس الفترة تقريبًا، أي من قِبل كروس [ 1 ] ، ودورمان [ 2 ] ، وفراغاكيس وبابادراكاكيس [ 3 ] ، كبديل أساسي لطريقة تجزئة المجال FETI-DP التي طورها فرحات وآخرون [ 4 ] [ 5 ] . انظر [ 6 ] للاطلاع على برهان يُثبت أن هذه الطرق جميعها في الواقع هي نفس طريقة BDDC. وقد صاغ ماندل ودورمان [ 7 ] اسم هذه الطريقة، لأنها تُفهم على أنها تطوير إضافي لطريقة BDD ( تجزئة المجال المتوازنة ) [ 8 ] . أثبت ماندل ودورمان وتيزور [ 9 ] أن القيم الذاتية لـ BDDC وFETI-DP متطابقة، باستثناء القيمة الذاتية التي تساوي واحدًا، والتي قد تكون موجودة في BDDC ولكنها غير موجودة في FETI-DP، وبالتالي فإن عدد التكرارات فيهما متطابق عمليًا. وقد تم الحصول على أدلة أبسط بكثير على هذه الحقيقة لاحقًا بواسطة لي وويدلوند [ 10 ] وبرينر وسونغ. [ 11 ]

مساحة خشنة

تتألف المساحة الخشنة لـ BDDC من دوال ذات طاقة دنيا بقيم معطاة لدرجات الحرية الخشنة. وهي نفس المساحة الخشنة المستخدمة للزوايا في نسخة من BDD للألواح والأغلفة . [ 12 ] والفرق هو أنه في BDDC، تُستخدم المسألة الخشنة بطريقة جمعية، بينما في BDD، تُستخدم بطريقة ضربية.

وصف ميكانيكي

تُستخدم طريقة BDDC غالبًا لحل مسائل المرونة الخطية ، ولعل أفضل طريقة لشرحها هي من خلال فهم تشوه بنية مرنة. تكمن مسألة المرونة في تحديد تشوه بنية تخضع لإزاحات وقوى محددة. بعد تطبيق طريقة العناصر المحدودة، نحصل على نظام من المعادلات الجبرية الخطية، حيث تمثل المجاهيل الإزاحات عند عقد العناصر، بينما يمثل الطرف الأيمن القوى (والإزاحات المحددة غير الصفرية على الحدود، ولكن للتبسيط، نفترض أنها تساوي صفرًا).

تُعالج المُهيئات الطرف الأيمن من المعادلة وتُقدم حلاً تقريبياً. لنفترض أن لدينا هيكلاً مرناً مُقسّماً إلى هياكل فرعية غير متداخلة، ولتبسيط الأمر، لنفترض أن درجات الحرية التقريبية هي زوايا المجالات الفرعية فقط. ولنفترض أن القوى المُطبقة على الهيكل مُعطاة.

تتمثل الخطوة الأولى في طريقة BDDC في التصحيح الداخلي، والذي يتضمن إيجاد تشوه كل نطاق فرعي على حدة، مع الأخذ في الاعتبار القوى المؤثرة عليه باستثناء منطقة التماس بينه وبين النطاقات المجاورة. ولأن باطن كل نطاق فرعي يتحرك بشكل مستقل، بينما تبقى منطقة التماس عند تشوه صفري، فإن هذا يُسبب انحناءات عند هذه المنطقة. تُضاف القوى المؤثرة على منطقة التماس، واللازمة للحفاظ على توازن هذه الانحناءات، إلى القوى المؤثرة عليها مسبقًا. ثم تُوزع قوى التماس على النطاق الفرعي (إما بالتساوي، أو بأوزان تتناسب مع صلابة مادة النطاقات الفرعية، بحيث تحصل النطاقات الأكثر صلابة على قوة أكبر).

تتمثل الخطوة الثانية، المسماة تصحيح النطاق الفرعي، في إيجاد التشوه الناتج عن قوى التداخل هذه على كل نطاق فرعي على حدة، مع مراعاة شرط انعدام الإزاحات عند زوايا النطاق الفرعي. تجدر الإشارة إلى أن قيم تصحيح النطاق الفرعي عبر التداخل تختلف عمومًا.

بالتزامن مع تصحيح النطاق الفرعي، يُحسب التصحيح التقريبي، الذي يتضمن الإزاحة عند جميع زوايا النطاق الفرعي، مُستكملةً بين الزوايا في كل نطاق فرعي على حدة، بشرط أن يتخذ النطاق الفرعي نفس الشكل الذي سيكون عليه في حال عدم تطبيق أي قوى عليه. ثم تُطبق قوى التداخل، كما هو الحال في تصحيح النطاق الفرعي، لإيجاد قيم التصحيح التقريبي عند زوايا النطاق الفرعي. وبذلك، يُحسب متوسط ​​قوى التداخل، ويُوجد الحل التقريبي باستخدام طريقة غاليركين . ومرة ​​أخرى، تكون قيم التصحيح التقريبي على واجهات النطاقات الفرعية، بشكل عام، غير متصلة عبر الواجهة.

أخيرًا، تُجمع تصحيحات النطاقات الفرعية والتصحيح التقريبي، ويُحسب متوسط ​​المجموع عبر واجهات النطاقات الفرعية، باستخدام نفس الأوزان التي استُخدمت لتوزيع القوى على النطاق الفرعي سابقًا. وهذا يُعطي قيمة مُخرَج BDDC على الواجهات بين النطاقات الفرعية. ثم تُحسب قيم مُخرَج BDDC داخل النطاقات الفرعية بتكرار التصحيح الداخلي.

في التطبيق العملي، تتم معالجة الطرف الأيمن والتقريب الأولي للتكرارات مسبقًا بحيث تصبح جميع القوى داخل المجالات الفرعية معدومة. ويتم ذلك بتطبيق واحد للتصحيح الداخلي كما هو موضح أعلاه. بعد ذلك، تبقى القوى داخل المجالات الفرعية معدومة خلال تكرارات التدرجات المترافقة، وبالتالي يمكن حذف التصحيح الداخلي الأول في كل تطبيق لـ BDDC.

مراجع

  1. ↑ جيه-إم. كروس، مُهيئ مسبق لطريقة تجزئة المجال باستخدام مكمل شور ، في كتاب "طرق تجزئة المجال في العلوم والهندسة"، تحرير آي. هيريرا، ودي إي كيز، وأو بي ويدلوند، الجامعة الوطنية المستقلة في المكسيك (UNAM)، المكسيك، 2003، الصفحات 373-380. المؤتمر الدولي الرابع عشر حول طرق تجزئة المجال، كوكويوك، المكسيك، 6-12 يناير 2002.
  2. ↑ CR Dohrmann, A preconditioner for substructuring based on constrained energy minimization , SIAM J. Sci. Comput., 25 (2003), pp. 246–258.
  3. ↑ Y. Fragakis و M. Papadrakakis، فسيفساء طرق تجزئة المجال عالية الأداء للميكانيكا الهيكلية: صياغة، والترابط، والكفاءة العددية للطرق الأولية والثنائية ، طرق الحوسبة التطبيقية في الهندسة الميكانيكية، 192 (2003)، ص 3799-3830.
  4. ↑ سي. فرحات، إم. ليسوين، بي. ليتاليك، ك. بيرسون، ودي. ريكسن، FETI-DP: طريقة FETI موحدة ثنائية المستوى. الجزء الأول: بديل أسرع لطريقة FETI ثنائية المستوى ، المجلة الدولية للأساليب العددية في الهندسة، 50 (2001)، ص 1523-1544.
  5. ↑ C. Farhat, M. Lesoinne, and K. Pierson, A scalable dual-primal domain decomposition method , Numer. Linear Algebra Appl., 7 (2000), pp. 687–714. Preconditioning techniques for large sparse matrix problems in industrial applications (Minneapolis, MN, 1999).
  6. ↑ J. Mandel and B. Sousedík, BDDC and FETI-DP under minimalist assumes , Computing, 81 (2007), pp. 269–280.
  7. ↑ J. Mandel و CR Dohrmann، تقارب تجزئة المجال المتوازن بواسطة القيود وتقليل الطاقة ، Numer. Linear Algebra Appl.، 10 (2003)، ص 639-659.
  8. ↑ J. Mandel, Balancing domain decomposition , Comm. Numer. Methods Engrg., 9 (1993), pp. 233–241.
  9. ↑ J. Mandel, CR Dohrmann, and R. Tezaur, An algebraic theory for primal and dual substructuring methods by constraints , Appl. Numer. Math., 54 (2005), pp. 167–193.
  10. ↑ J. Li و OB Widlund، طرق FETI-DP و BDDC و block Cholesky ، المجلة الدولية للطرق العددية في الهندسة، 66 (2006)، ص 250-271.
  11. ↑ SC Brenner و L.-Y. Sung، BDDC و FETI-DP بدون مصفوفات أو متجهات ، Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.، 196 (2007)، ص 1429-1435.
  12. ^ لو تاليك، باتريك. ماندل، جان؛ فيدراسكو، مارينا، خوارزمية تحلل مجال نيومان-نيومان لحل مشاكل الصفائح والقشرة. سيام ج. نومر. شرجي. 35 (1998)، لا. 2، 836-867
  • مقابلة مع جان ماندل، وكلارك دورمان، وراديك تيزور حول "نظرية جبرية لطرق التقسيم الفرعي الأولي والثنائي بواسطة القيود"
  • مقابلة مع أولوف ويدلوند وجينغ لي حول "طرق FETI-DP وBDDC وBlock Cholesky"