الانحناء

في نظرية أويلر-بيرنولي للعوارض النحيلة، يُفترض أساسًا أن "المقاطع المستوية تبقى مستوية". بعبارة أخرى، لا يُؤخذ في الحسبان أي تشوه ناتج عن القص عبر المقطع (لا يوجد تشوه قص). كما أن هذا التوزيع الخطي لا ينطبق إلا إذا كان الإجهاد الأقصى أقل من إجهاد الخضوع للمادة. بالنسبة للإجهادات التي تتجاوز إجهاد الخضوع، يُرجى الرجوع إلى مقالة الانحناء اللدن . عند إجهاد الخضوع، يُعرَّف الإجهاد الأقصى الذي يتعرض له المقطع (عند أبعد النقاط عن المحور المحايد للعارضة) بأنه مقاومة الانحناء .

ضع في اعتبارك العوارض التي تنطبق عليها الشروط التالية:

• العارضة مستقيمة ونحيفة في الأصل، وأي تناقص فيها طفيف.
• المادة متجانسة الخواص (أو متعامدة الخواص )، ومرنة خطية ، ومتجانسة عبر أي مقطع عرضي (ولكن ليس بالضرورة على طولها).
• لا يتم الأخذ في الاعتبار إلا الانحرافات الصغيرة

في هذه الحالة، المعادلة التي تصف انحراف الشعاع (${\displaystyle w}$يمكن تقريب ) على النحو التالي:

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$

حيث المشتقة الثانية لشكلها المنحرف بالنسبة إلى${\displaystyle x}$يُفسَّر ذلك على أنه انحناؤها،${\displaystyle E}$هو معامل يونغ ،${\displaystyle I}$يمثل عزم القصور الذاتي لمساحة المقطع العرضي، و${\displaystyle M}$يمثل عزم الانحناء الداخلي في العارضة.

وإذا كان العارضة، بالإضافة إلى ذلك، متجانسة على طولها أيضًا، وليست مدببة (أي ذات مقطع عرضي ثابت)، وتنحرف تحت تأثير حمل عرضي مطبق${\displaystyle q(x)}$ويمكن إثبات ما يلي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

هذه هي معادلة أويلر-بيرنولي لانحناء العارضة.

بعد الحصول على حل لإزاحة العارضة، يتم حساب عزم الانحناء (${\displaystyle M}$) وقوة القص (${\displaystyle Q}$يمكن حساب ) في العارضة باستخدام العلاقات

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.}$

غالبًا ما يتم تحليل انحناء العوارض البسيطة باستخدام معادلة عارضة أويلر-بيرنولي. شروط استخدام نظرية الانحناء البسيط هي: ^{[ 4 ]}

1. يتعرض العارضة لانحناء خالص . وهذا يعني أن قوة القص تساوي صفرًا، وأنه لا توجد أحمال التواء أو أحمال محورية.
2. المادة متجانسة الخواص (أو متعامدة الخواص ) ومتجانسة .
3. تخضع المادة لقانون هوك (فهي مرنة خطيًا ولن تتشوه بشكل لدني).
4. يكون الشعاع مستقيماً في البداية وله مقطع عرضي ثابت على طول الشعاع.
5. للشعاع محور تناظر في مستوى الانحناء.
6. أبعاد العارضة تجعلها تنهار بالانحناء بدلاً من السحق أو التجعد أو الانبعاج الجانبي .
7. تبقى المقاطع العرضية للشعاع مستوية أثناء الانحناء.

تتولد قوى ضغط وشد في اتجاه محور العارضة تحت تأثير أحمال الانحناء. تُحدث هذه القوى إجهادات على العارضة. يوجد أقصى إجهاد ضغط عند الحافة العلوية للعارضة، بينما يوجد أقصى إجهاد شد عند الحافة السفلية. ولأن الإجهادات بين هاتين القيمتين القصوى المتقابلتين تتغير خطيًا ، فإنه توجد نقطة على المسار الخطي بينهما لا يوجد عندها إجهاد انحناء. يمثل المحور المحايد هذه النقطة. وبسبب هذه المنطقة الخالية من الإجهاد والمناطق المجاورة ذات الإجهاد المنخفض، فإن استخدام عوارض ذات مقطع عرضي منتظم في الانحناء ليس وسيلة فعالة لدعم الحمل، إذ لا يتم استغلال كامل قدرة العارضة إلا عند اقترابها من الانهيار. تعالج العوارض ذات الحواف العريضة ( العوارض Ɪ ) والعوارض الجمالونية هذا القصور بفعالية، لأنها تقلل من كمية المواد في هذه المنطقة ذات الإجهاد المنخفض.

الصيغة الكلاسيكية لتحديد إجهاد الانحناء في عارضة تحت انحناء بسيط هي: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}}$

أين

• ${\displaystyle {\sigma _{x}}}$إجهاد الانحناء
• ${\displaystyle M_{z}}$– اللحظة حول المحور المحايد
• ${\displaystyle y}$- المسافة العمودية إلى المحور المحايد
• ${\displaystyle I_{z}}$– العزم الثاني للمساحة حول المحور المحايد z .
• ${\displaystyle W_{z}}$- عزم المقاومة حول المحور المحايد z .${\displaystyle W_{z}=I_{z}/y}$

في عام 1921، طوّر تيموشينكو نظرية أويلر-بيرنولي للعوارض بإضافة تأثير القص إلى معادلة العارضة. وتتمثل الافتراضات الحركية لنظرية تيموشينكو فيما يلي:

• تبقى الأعمدة العمودية على محور الشعاع مستقيمة بعد التشوه.
• لا يوجد تغيير في سمك العارضة بعد التشوه

ومع ذلك، ليس من الضروري أن تظل الأعمدة على المحور متعامدة مع المحور بعد التشوه.

معادلة الانحناء شبه الساكن لشعاع مرن خطي، متجانس الخواص، متجانس ذو مقطع عرضي ثابت في ظل هذه الافتراضات هي ^{[ 7 ]}

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

أين${\displaystyle I}$يمثل عزم القصور الذاتي لمساحة المقطع العرضي،${\displaystyle A}$هي مساحة المقطع العرضي،${\displaystyle G}$هو معامل القص ، ${\displaystyle k}$هو معامل تصحيح القص ، و${\displaystyle q(x)}$يمثل حملاً عرضياً مطبقاً. بالنسبة للمواد ذات نسب بواسون (${\displaystyle \nu }$عندما تكون قيمة معامل تصحيح القص قريبة من 0.3، فإن معامل تصحيح القص للمقطع العرضي المستطيل يكون تقريبًا

${\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}}$

الدوران (${\displaystyle \varphi (x)}$يتم وصف ) العمودي بالمعادلة

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi} {\mathrm {d} x}}=- {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}}$

عزم الانحناء (${\displaystyle M}$) وقوة القص (${\displaystyle Q}$) معطاة بواسطة

$$$ } {\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}$

معادلة أويلر-بيرنولي للانحناء الديناميكي للعوارض النحيلة والمتساوية الخواص والمتجانسة ذات المقطع العرضي الثابت تحت تأثير حمل عرضي مطبق${\displaystyle q(x,t)}$هو ^{[ 7 ]}

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)}$

أين${\displaystyle E}$هو معامل يونغ،${\displaystyle I}$يمثل عزم القصور الذاتي لمساحة المقطع العرضي،${\displaystyle w(x,t)}$يمثل انحراف المحور المحايد للشعاع، و${\displaystyle m}$هي الكتلة لكل وحدة طول من العارضة.

اهتزازات حرة

في حالة عدم وجود حمل عرضي على العارضة، تأخذ معادلة الانحناء الشكل التالي:

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0}$

ويمكن التعبير عن الاهتزازات التوافقية الحرة للشعاع على النحو التالي:

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}$

ويمكن كتابة معادلة الانحناء على النحو التالي

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0}$

الحل العام للمعادلة أعلاه هو

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)}$

أين${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$هي ثوابت و ${\displaystyle \beta$ :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}

أشكال نمط الاهتزاز لشعاع ناتئ Ɪ

في عام 1877، اقترح رايلي تحسينًا لنظرية عارضة أويلر-بيرنولي الديناميكية بإضافة تأثير القصور الذاتي الدوراني للمقطع العرضي للعارضة. وفي عام 1922، طوّر تيموشينكو هذه النظرية بإضافة تأثير القص إلى معادلة العارضة. وتسمح نظرية تيموشينكو-رايلي بتشوهات القص العمودية على السطح المتوسط ​​للعارضة.

معادلة انحناء شعاع مرن خطي، متجانس الخواص، ذو مقطع عرضي ثابت في ظل هذه الافتراضات هي ^{[ 7 ] [ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}}$يمثل عزم القصور الذاتي القطبي للمقطع العرضي،${\displaystyle m=\rho A}$هي الكتلة لكل وحدة طول من العارضة،${\displaystyle \rho }$هي كثافة الشعاع،${\displaystyle A}$هي مساحة المقطع العرضي،${\displaystyle G}$هو معامل القص، و${\displaystyle k}$هو عامل تصحيح القص . بالنسبة للمواد ذات نسب بواسون (${\displaystyle \nu }$) قريبة من 0.3، يكون معامل تصحيح القص تقريبًا

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}$

تتمثل افتراضات نظرية كيرشوف-لوف فيما يلي:

• تبقى الخطوط المستقيمة العمودية على السطح المتوسط ​​مستقيمة بعد التشوه.
• تبقى الخطوط المستقيمة العمودية على السطح المتوسط ​​عمودية على السطح المتوسط ​​بعد التشوه.
• لا يتغير سمك الصفيحة أثناء التشوه.

هذه الافتراضات تعني أن

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

أين ${\displaystyle \mathbf {u} }$هو إزاحة نقطة في الصفيحة و${\displaystyle w^{0}}$هو إزاحة السطح الأوسط.

علاقات الإجهاد والإزاحة هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

معادلات التوازن هي

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

أين${\displaystyle q(x)}$يمثل الحمل المطبق عموديًا على سطح الصفيحة.

من حيث الإزاحات، يمكن كتابة معادلات التوازن لصفيحة متجانسة الخواص ومرنة خطيًا في غياب الحمل الخارجي على النحو التالي

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}$

في تدوين الموتر المباشر،

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

يفترض هذا النموذج بشكل خاص أن المتجهات العمودية على السطح المتوسط ​​تظل مستقيمة وغير قابلة للتمدد، ولكنها ليست بالضرورة عمودية على السطح المتوسط ​​بعد التشوه. وتُعطى إزاحات الصفيحة بالعلاقة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$هي دورانات العمودي.

العلاقات بين الإجهاد والإزاحة الناتجة عن هذه الافتراضات هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \kappa }$هو عامل تصحيح القص.

معادلات التوازن هي

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}}$

تحدد النظرية الديناميكية للصفائح انتشار الموجات فيها، ودراسة الموجات المستقرة وأنماط الاهتزاز. أما المعادلات التي تحكم الانحناء الديناميكي لصفائح كيرشوف فهي:

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}}$

حيث، بالنسبة للوحة ذات كثافة${\displaystyle \rho =\rho (x)}$،

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}}$

و

${\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}}$

تُظهر الأشكال أدناه بعض أنماط الاهتزاز للوحة دائرية.

• 
  الوضع k = 0، p = 1
• 
  الوضع k = 0، p = 2
• 
  الوضع k = 1، p = 2