نظرية باور-فايك

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية باور-فايك نتيجةً أساسيةً في نظرية الاضطراب للقيم الذاتية لمصفوفة قطرية ذات قيم مركبة . وخلاصتها، تُحدد هذه النظرية حدًا أعلى مطلقًا لانحراف قيمة ذاتية واحدة لمصفوفة مضطربة عن قيمة ذاتية مختارة بعناية للمصفوفة الأصلية. وبعبارة أخرى، تُشير النظرية إلى أن حساسية القيم الذاتية تُقدّر بواسطة عدد شرط مصفوفة المتجهات الذاتية .

تم إثبات النظرية بواسطة فريدريش إل. باور وسي تي فايك في عام 1960.

فيما يلي نفترض ما يلي:

• A ∈ C ^{n ، n} هي مصفوفة قابلة للتقطير ؛
• V ∈ C ^{n ، n} هي مصفوفة المتجهات الذاتية غير المنفردةبحيث A = V Λ V ⁻¹ ، حيث Λ هي مصفوفة قطرية.
• إذا كان X ∈ C ^{n ، فإن n} قابل للعكس، ويُرمز إلى رقم شرطه في معيار p بـ κ _p ( X ) ويُعرف على النحو التالي:

${\displaystyle \kappa _{p}(X)=\|X\|_{p}\left\|X^{-1}\right\|_{p}.}$

نظرية باور-فايك. ليكن μ قيمة ذاتية للمصفوفة A + δA . عندئذٍ يوجد λ ∈ Λ ( A ) بحيث:

${\displaystyle |\lambda -\mu |\leq \kappa _{p}(V)\|\delta A\|_{p}}$

البرهان. يمكننا افتراض أن μ ∉ Λ ( A ) ، وإلا نأخذ λ = μ ، وتكون النتيجة صحيحة بشكل بديهي لأن _κp ( V ) ≥ 1. بما أن μ قيمة ذاتية لـ A + δA ، فإن det( A + δA − μI ) = 0، وبالتالي

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\det(A+\delta A-\mu I)\\&=\det(V^{-1})\det(A+\delta A-\mu I)\det(V)\\&=\det \left(V^{-1}(A+\delta A-\mu I)V\right)\\&=\det \left(V^{-1}AV+V^{-1}\delta AV-V^{-1}\mu IV\right)\\&=\det \left(\Lambda +V^{-1}\delta AV-\mu I\right)\\&=\det(\Lambda -\mu I)\det \left((\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV+I\يمين)\\\النهاية {محاذاة}}}$

ومع ذلك، فإن افتراضنا، μ ∉ Λ ( A ) ، يعني أن: det(Λ − μI ) ≠ 0 وبالتالي يمكننا كتابة:

${\displaystyle \det \left((\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV+I\right)=0.}$

وهذا يكشف أن -1 هي قيمة ذاتية لـ

${\displaystyle (\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV.}$

بما أن جميع معايير p هي معايير مصفوفة متسقة ، فإن | λ | ≤ || A || _p حيث λ قيمة ذاتية للمصفوفة A. في هذه الحالة، يعطينا هذا:

${\displaystyle 1=|-1|\leq \left\|(\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV\right\|_{p}\leq \left\|(\Lambda -\mu I)^{-1}\right\|_{p}\left\|V^{-1}\right\|_{p}\|V\|_{p}\|\delta A\|_{p}=\left\|(\Lambda -\mu I)^{-1}\right\|_{p}\ \kappa _{p}(V)\|\delta A\|_{p}}$

But (Λ − μI)⁻¹ is a diagonal matrix, the p-norm of which is easily computed:

${\displaystyle \left\|\left(\Lambda -\mu I\right)^{-1}\right\|_{p}\ =\max _{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}\neq 0}{\frac {\left\|\left(\Lambda -\mu I\right)^{-1}{\boldsymbol {x}}\right\|_{p}}{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}}}=\max _{\lambda \in \Lambda (A)}{\frac {1}{|\lambda -\mu |}}\ ={\frac {1}{\min _{\lambda \in \Lambda (A)}|\lambda -\mu |}}}$

whence:

${\displaystyle \min _{\lambda \in \Lambda (A)}|\lambda -\mu |\leq \ \kappa _{p}(V)\|\delta A\|_{p}.}$

The theorem can also be reformulated to better suit numerical methods. In fact, dealing with real eigensystem problems, one often has an exact matrix A, but knows only an approximate eigenvalue-eigenvector couple, (λ^a, v^a) and needs to bound the error. The following version comes in help.

Bauer–Fike Theorem (Alternate Formulation). Let (λ^a, v^a) be an approximate eigenvalue-eigenvector couple, and r = Av^a − λ^av^a. Then there exists λ ∈ Λ(A) such that:

${\displaystyle \left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq \kappa _{p}(V){\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}}}}$

Proof. We can suppose λ^a ∉ Λ(A), otherwise take λ = λ^a and the result is trivially true since κ_p(V) ≥ 1. So (A − λ^aI)⁻¹ exists, so we can write:

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{a}=\left(A-\lambda ^{a}I\right)^{-1}{\boldsymbol {r}}=V\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}V^{-1}{\boldsymbol {r}}}$

since A is diagonalizable; taking the p-norm of both sides, we obtain:

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}=\left\|V\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}V^{-1}{\boldsymbol {r}}\right\|_{p}\leq \|V\|_{p}\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}\left\|V^{-1}\right\|_{p}\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}=\kappa _{p}(V)\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}.}$

However

${\displaystyle \left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}}$

is a diagonal matrix and its p-norm is easily computed:

${\displaystyle \left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}=\max _{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}\neq 0}{\frac {\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}{\boldsymbol {x}}\right\|_{p}}{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}}}=\max _{\lambda \in \sigma (A)}{\frac {1}{\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|}}={\frac {1}{\min _{\lambda \in \sigma (A)}\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|}}}$

whence:

${\displaystyle \min _{\lambda \in \lambda (A)}\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq \kappa _{p}(V){\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}}}.}$

Both formulations of Bauer–Fike theorem yield an absolute bound. The following corollary is useful whenever a relative bound is needed:

Corollary. Suppose A is invertible and that μ is an eigenvalue of A + δA. Then there exists λ ∈ Λ(A) such that:

${\displaystyle {\frac {|\lambda -\mu |}{|\lambda |}}\leq \kappa _{p}(V)\left\|A^{-1}\delta A\right\|_{p}}$

Note.||A⁻¹δA|| can be formally viewed as the relative variation ofA, just as ⁠|λ − μ|/|λ|⁠ is the relative variation of λ.

Proof. Since μ is an eigenvalue of A + δA and det(A) ≠ 0, by multiplying by −A⁻¹ from left we have:

${\displaystyle -A^{-1}(A+\delta A){\boldsymbol {v}}=-\mu A^{-1}{\boldsymbol {v}}.}$

If we set:

${\displaystyle A^{a}=\mu A^{-1},\qquad (\delta A)^{a}=-A^{-1}\delta A}$

ثم لدينا:

${\displaystyle \left(A^{a}+(\delta A)^{a}-I\right){\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}}$

وهذا يعني أن 1 قيمة ذاتية للمصفوفة A ^a + ( δA ) ^a ، حيث v متجه ذاتي. الآن، القيم الذاتية للمصفوفة A ^a هي μ / λ _i ، ولها نفس مصفوفة المتجهات الذاتية للمصفوفة A. بتطبيق نظرية باور-فايك على المصفوفة A ^a + ( δA ) ^a ذات القيمة الذاتية 1 ، نحصل على:

${\displaystyle \min _{\lambda \in \Lambda (A)}\left|{\frac {\mu }{\lambda }}-1\right|=\min _{\lambda \in \Lambda (A)}{\frac {|\lambda -\mu |}{|\lambda |}}\leq \kappa _{p}(V)\left\|A^{-1}\delta A\right\|_{p}}$

إذا كانت المصفوفة A طبيعية ، فإن المصفوفة V هي مصفوفة وحدوية ، وبالتالي:

${\displaystyle \|V\|_{2}=\left\|V^{-1}\right\|_{2}=1,}$

بحيث يكون κ ₂ ( V ) = 1. وتصبح نظرية باور-فايك عندئذٍ:

${\displaystyle \exists \lambda \in \Lambda (A):\quad |\lambda -\mu |\leq \|\delta A\|_{2}}$

أو بصيغة بديلة:

${\displaystyle \exists \lambda \in \Lambda (A):\quad \left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq {\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{2}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{2}}}}$

وهذا يظل صحيحًا بالطبع إذا كانت A مصفوفة هيرميتية . في هذه الحالة، مع ذلك، توجد نتيجة أقوى بكثير، تُعرف باسم نظرية فايل للقيم الذاتية . في حالة المصفوفات الهيرميتية، يمكن أيضًا إعادة صياغة نظرية باور-فايك على النحو التالي: إن الدالة A ↦ Λ ( A ) التي تُسقط مصفوفة على طيفها هي دالة غير متوسعة بالنسبة لمسافة هاوسدورف على مجموعة المجموعات الجزئية المدمجة من C.

• باور، فلوريدا؛ فايك، كونيتيكت (1960). "المعايير ونظريات الاستبعاد". الرياضيات العددية 2 (1): 137-141 . doi : 10.1007/BF01386217 . S2CID 121278235 . 
• أيزنستات، إس سي؛ إيبسن، آي سي إف (1998). "ثلاثة حدود مطلقة للاضطراب لقيم المصفوفة الذاتية تستلزم حدودًا نسبية". مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 20 (1): 149-158 . CiteSeerX 10.1.1.45.3999 . doi : 10.1137/S0895479897323282 .