مصفوفة هيرميتية

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 117 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، المصفوفة الهرميتية (أو المصفوفة ذاتية الترافق ) هي مصفوفة مربعة ذات عناصر ذات قيم مركبة ، وتساوي منقولتها المرافقة . أي، إذا كان العنصر فيج{\displaystyle j}الصف -th وك{\displaystyle k}العمود رقم - من مصفوفة هيرميتيةأ{\displaystyle A}هو عدد مركبأجك=x+أناy{\displaystyle A_{jk}=x+iy}ثم العنصر الموجود فيك{\displaystyle k}الصف -th وج{\displaystyle j}العمود رقم - هو مرافقه المركبأكج=أجك¯=x-أناy{\displaystyle A_{kj}={\overline {A_{jk}}}=x-iy}، لكل زوج من المؤشراتج{\displaystyle j}و​​ك{\displaystyle k}. يمكن فهم المصفوفات الهرميتية على أنها تعميم معقد للمصفوفات الحقيقية المتناظرة .

باستخدام الترميز ⁠أتي{\displaystyle \textstyle A^{\mathsf {T}}}بمعنى منقولة​​​أ{\displaystyle A}ووجود خط فوقي للدلالة على المرافق المركب للمصفوفة عنصرًا عنصرًا، فإن خاصية هيرميتية تعادل المساواة أ=أتي¯.{\displaystyle A={\overline {A^{\mathsf {T}}}}.}

يُرمز عادةً إلى منقولة المصفوفة المترافقة بالرمز ⁠أح{\displaystyle \textstyle A^{\mathsf {H}}}، والتي يمكن من خلالها التعبير عن الخاصية الهرميتية بشكل أكثر إيجازًا على النحو التاليأ=أح{\displaystyle \textstyle A=A^{\mathsf {H}}}تتضمن الرموز المكافئة الشائعة الاستخدام ما يلي :أح{\displaystyle \textstyle A^{\mathsf {H}}}،​​أ†{\displaystyle \textstyle A^{\dagger }}و​​أ*{\displaystyle \textstyle A^{*}}، على الرغم من أنه في ميكانيكا الكم ،أ*{\displaystyle \textstyle A^{*}}ويعني ذلك عادةً المرافق المعقد فقط، وليس المرافق المنقول.

سميت المصفوفات الهرميتية نسبة إلى تشارلز هيرميت ، [ 1 ] الذي أثبت في عام 1855 أن المصفوفات من هذا الشكل تشترك مع المصفوفات الحقيقية المتناظرة في خاصية امتلاك قيم ذاتية حقيقية دائمًا .

توصيفات بديلة

يمكن وصف المصفوفات الهرميتية بعدة طرق متكافئة، بعضها مذكور أدناه:

المساواة مع المرافق

مصفوفة مربعةأ{\displaystyle A}تكون المصفوفة هيرميتية إذا وفقط إذا كانت تساوي منقولتها المرافقة ، أي لأي زوج من المتجهاتv،w{\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }، إنه يرضي ⟨v،أw⟩=⟨أv،w⟩،{\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {w} \rangle =\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,} أين⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }يشير إلى عملية الضرب الداخلي القياسية في فضاء الإحداثيات المركبة ، وهو شكل هيرميتي مُعرَّف بواسطة⟨v،w⟩=vحw{\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\mathbf {w} }⁠ .

وهذه هي أيضاً الطريقة التي يتم بها تعريف المفهوم الأكثر عمومية للمؤثر الذاتي المرافق .

القيم الحقيقية للأشكال التربيعية

أنن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةأ{\displaystyle A}يكون هيرميتيًا إذا وفقط إذا ⟨v،أv⟩∈R،للجميع v∈جن.{\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {v} \rangle \in \mathbb {R} ,\quad {\text{for all }}\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}.}

الخصائص الطيفية

تكون المصفوفة المربعة هيرميتية إذا وفقط إذا كانت قابلة للتقطير الوحدوي بقيم ذاتية حقيقية .

التطبيقات

تُعدّ المصفوفات الهرميتية أساسية في ميكانيكا الكم لأنها تصف المؤثرات ذات القيم الذاتية الحقيقية بالضرورة.أ{\displaystyle a}من مشغلأ^{\displaystyle \textstyle {\hat {A}}}في حالة كمومية ما|ψ⟩{\displaystyle |\psi \rangle }يُعد أحد نتائج القياس المحتملة للمشغل، الأمر الذي يتطلب أن يكون للمشغل قيم ذاتية حقيقية.

في معالجة الإشارات ، تُستخدم المصفوفات الهرميتية في مهام مثل تحليل فورييه وتمثيل الإشارات. [ 2 ] تلعب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفات الهرميتية دورًا حاسمًا في تحليل الإشارات واستخلاص المعلومات ذات الدلالة.

تُدرس المصفوفات الهرميتية على نطاق واسع في الجبر الخطي والتحليل العددي . تتميز هذه المصفوفات بخصائص طيفية محددة، وتستغل العديد من الخوارزميات العددية، مثل خوارزمية لانكزوس ، هذه الخصائص لإجراء حسابات فعالة. كما تظهر المصفوفات الهرميتية في تقنيات مثل تحليل القيم المفردة (SVD) وتحليل القيم الذاتية .

في الإحصاء والتعلم الآلي ، تُستخدم المصفوفات الهرميتية كمصفوفات تباين ، والتي تمثل العلاقات بين المتغيرات المختلفة. وتضمن خاصية الإيجابية المحددة لمصفوفة التباين الهرميتية تحديدًا دقيقًا للتوزيعات متعددة المتغيرات. [ 3 ]

تُستخدم المصفوفات الهرميتية في تصميم وتحليل أنظمة الاتصالات ، وخاصة في مجال أنظمة الإدخال والإخراج المتعدد (MIMO). غالبًا ما تُظهر مصفوفات القنوات في أنظمة MIMO خصائص هرميتية.

في نظرية المخططات ، تُستخدم المصفوفات الهرميتية لدراسة أطياف المخططات . تُعدّ مصفوفة لابلاس الهرميتية أداةً أساسيةً في هذا السياق، إذ تُستخدم لتحليل أطياف المخططات المختلطة. [ 4 ] كما تُعدّ مصفوفة التجاور الهرميتية للمخطط المختلط مفهومًا مهمًا آخر، فهي مصفوفة هرميتية تُسهم في دراسة طاقات المخططات المختلطة. [ 5 ]

أمثلة

في المثال التالي،أنا{\displaystyle i}يرمز إلى الوحدة التخيلية ( ⁠أنا=-1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}) : [0أ-أنابج-أنادأ+أناب1م-أنانج+أنادم+أنان2].{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a-ib&c-id\\a+ib&1&m-in\\c+id&m+in&2\end{bmatrix}}.}

يجب أن يكون كل عنصر من العناصر القطرية حقيقياً ، لأنه يجب أن يكون مرافقه المركب.

Well-known families of Hermitian matrices include the Pauli matrices, the Gell-Mann matrices, and their generalizations. In theoretical physics, such Hermitian matrices are often multiplied by imaginary coefficients,[6][7] which results in skew-Hermitian matrices.

Here is another useful case of a Hermitian matrix. If a square matrix A{\displaystyle A} equals the product of a matrixB{\displaystyle B} with its conjugate transpose, that is, ⁠A=BBH{\displaystyle A=BB^{\mathsf {H}}}⁠, then A{\displaystyle A} is Hermitian positive semi-definite. Furthermore, if B{\displaystyle B} is non-singular (i.e., row full-rank), then A{\displaystyle A} is positive definite.

Properties

Main diagonal values are real

The entries on the main diagonal (top left to bottom right) of any Hermitian matrix are real.

Proof

Hjk=Hkj¯{\displaystyle H_{jk}={\overline {H_{kj}}}} by definition of a Hermitian matrix; so ⁠Hjj=Hjj¯{\displaystyle H_{jj}={\overline {H_{jj}}}}⁠, and the above follows, as a number can equal its complex conjugate only if their imaginary parts are zero.

Only the main diagonal entries are necessarily real; a Hermitian matrix can have arbitrary complex-valued entries as its off-diagonal elements, as long as its diagonally-opposite entries are complex conjugates.

Symmetric if and only if real

A Hermitian matrix is symmetric if and only if it has only real entries. A symmetric real matrix is simply a special case of a Hermitian matrix.

Proof

Hjk=Hkj¯{\displaystyle H_{jk}={\overline {H_{kj}}}} by definition of a Hermitian matrix. Thus,Hjk=Hkj{\displaystyle H_{jk}=H_{kj}} (i.e., H{\displaystyle H} is symmetric) if and only if Hkj¯=Hkj{\displaystyle {\overline {H_{kj}}}=H_{kj}} (i.e., Hkj{\displaystyle H_{kj}} is real).

If an anti-symmetric real matrix is multiplied by an imaginary number, then the product is also anti-symmetric but has only imaginary entries. An anti-symmetric imaginary matrix is another special case of a Hermitian matrix.

Normal

Every Hermitian matrix A{\displaystyle A} is a normal matrix; that is to say, ⁠AAH=AHA{\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A}⁠.

Proof

⁠A=AH{\displaystyle A=A^{\mathsf {H}}}⁠, so ⁠AAH=AA=AHA{\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=AA=A^{\mathsf {H}}A}⁠.

Diagonalizable

The finite-dimensional spectral theorem says that any ⁠n×n{\displaystyle n\times n}⁠ Hermitian matrix ⁠A{\displaystyle A}⁠ can be diagonalized by a unitary matrix, and that the resulting diagonal matrix has only real entries. That is:

  • all eigenvalues of ⁠A{\displaystyle A}⁠ are real;[a]
  • ⁠A{\displaystyle A}⁠ has ⁠n{\displaystyle n}⁠ linearly independent eigenvectors;
  • ⁠A{\displaystyle A}⁠ has orthogonal eigenvectors for distinct eigenvalues;
  • even if ⁠A{\displaystyle A}⁠ has degenerate eigenvalues (*), it is always possible to find an orthogonal basis of Cn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} consisting of ⁠n{\displaystyle n}⁠ eigenvectors of ⁠A{\displaystyle A}⁠;
  • then, it is always possible to normalize these eigenvectors.

(*) A degenerate eigenvalue is an eigenvalue having more than one eigenvector.

Sum of Hermitian matrices is Hermitian

The sum of any two Hermitian matrices is Hermitian.

Proof

(A+B)jk=Ajk+Bjk=Akj¯+Bkj¯=Akj+Bkj¯=(A+B)kj¯.{\displaystyle (A+B)_{jk}=A_{jk}+B_{jk}={\overline {A_{kj}}}+{\overline {B_{kj}}}={\overline {A_{kj}+B_{kj}}}={\overline {(A+B)_{kj}}}.}

Inverse of Hermitian matrix is Hermitian

The inverse of an invertible Hermitian matrix is Hermitian as well.

Proof

If ⁠A−1A=I{\displaystyle A^{-1}A=I}⁠, then I=IH=(A−1A)H=AH(A−1)H=A(A−1)H,{\displaystyle I=I^{\mathsf {H}}=\left(A^{-1}A\right)^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}=A\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}},} so ⁠A−1=(A−1)H{\displaystyle A^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {H}}}⁠.

Commutative product of Hermitian matrices is Hermitian

The product of two Hermitian matrices ⁠A{\displaystyle A}⁠ and ⁠B{\displaystyle B}⁠ is Hermitian if and only if ⁠AB=BA{\displaystyle AB=BA}⁠.

Proof

(AB)H=(AB)T¯=BTAT¯=BT¯ AT¯=BHAH=BA.{\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}={\overline {(AB)^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}}={\overline {B^{\mathsf {T}}}}\ {\overline {A^{\mathsf {T}}}}=B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=BA.}Thus, (AB)H=AB{\displaystyle (AB)^{\mathsf {H}}=AB}if and only if⁠AB=BA{\displaystyle AB=BA}⁠.

Consequence: If a matrix A{\displaystyle A} is Hermitian, then for any integer ⁠k≥0{\displaystyle k\geq 0}⁠, Ak{\displaystyle A^{k}} is Hermitian.

ABA is Hermitian

If two matrices A{\displaystyle A} and B{\displaystyle B} are Hermitian, then ABA{\displaystyle ABA} is also Hermitian.

Proof

(ABA)H=(A(BA))H=(BA)HAH=AHBHAH=ABA.{\displaystyle (ABA)^{\mathsf {H}}={\big (}A(BA){\big )}^{\mathsf {H}}=(BA)^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}B^{\mathsf {H}}A^{\mathsf {H}}=ABA.}

A defines a Hermitian form

If a matrix ⁠A{\displaystyle A}⁠ is Hermitian, then it defines a Hermitian form (also called a symmetric sesquilinear form), the function (u,v)↦uHAv.{\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\mapsto \mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} .} Conversely, every Hermitian form can be represented by some Hermitian matrix ⁠A{\displaystyle A}⁠. A Hermitian form is a complex-valued function of two vector arguments which is linear in one argument and antilinear in the other, such that exchanging the arguments gives the complex conjugate of the result. That is, for any vectors ⁠u{\displaystyle \mathbf {u} }⁠, ⁠v{\displaystyle \mathbf {v} }⁠, ⁠w{\displaystyle \mathbf {w} }⁠ and any complex scalar ⁠c{\displaystyle c}⁠, (u+v)HAw=uHAw+vHAw,(c u)HAv=c¯(uHAv),uHA(v+w)=uHAv+uHAw,uHA(c v)=c(uHAv),uHAv=vHAu¯.{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} &=\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} +\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} ,&(c~\!\mathbf {u} )^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} &={\overline {c}}{\bigl (}\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} {\bigr )},\\[3pt]\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} ^{\mathbf {H}}\!A\mathbf {v} +\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} ,&\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A(c~\!\mathbf {v} )&=c{\bigl (}\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} {\bigr )},\\[1pt]\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} &={\overline {\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {u} }}.\end{محاذاة}}}

The standard inner product⁠⟨u,v⟩=uHv{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\mathbf {v} }⁠ in complex coordinate space is the Hermitian form associated with the identity matrix.

For any Hermitian matrix ⁠A{\displaystyle A}⁠, ⁠vHAv{\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} }⁠ is a real number, because vHAv=vHAv¯.{\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} ={\overline {\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} }}.} This is especially important in quantum physics, where Hermitian matrices are operators that measure properties of a system (e.g., total spin), which have to be real.

Complex Hermitian matrices form vector space over ℝ

The Hermitian complex n×n{\displaystyle n{\times }n} matrices do not form a vector space over the complex numbers, ⁠C{\displaystyle \mathbb {C} }⁠, since the identity matrix In{\displaystyle I_{n}} is Hermitian, but iIn{\displaystyle iI_{n}}ليس كذلك. ومع ذلك، فإن المصفوفات الهرميتية المركبة تشكل فضاءً متجهيًا على الأعداد الحقيقية .R{\displaystyle \mathbb {R} }في​​2ن2{\displaystyle 2n^{2}\!}فضاء متجهي ذو أبعاد - من الأعدادن×ن{\displaystyle n{\times }n}المصفوفات علىR{\displaystyle \mathbb {R} }تشكل المصفوفات الهرميتية المعقدة فضاءً جزئياً ذا بُعدن2{\displaystyle n^{2}}⁠ .

في الواقع ،هـجك{\displaystyle E_{jk}}يشير إلىن×ن{\displaystyle n{\times }n}مصفوفة مع ⁠1{\displaystyle 1}في​​ج،ك{\displaystyle j,k}⁠ الموضع والأصفار في أي مكان آخر، يمكن وصف الأساس (المتعامد بالنسبة للجداء الداخلي لفروبينيوس ) على النحو التالي:هـجج ل 1≤ج≤ن(ن المصفوفات){\displaystyle E_{jj}{\text{ for }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrices}})} بالإضافة إلى مجموعة المصفوفات من الشكل 12(هـجك+هـكج) ل 1≤ج<ك≤ن(ن2-ن2 المصفوفات){\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ لـ }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ مصفوفات}}\right)} ومجموعة المصفوفات من الشكل أنا2(هـجك-هـكج) ل 1≤ج<ك≤ن(ن2-ن2 المصفوفات)،{\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ لـ }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ مصفوفات}}\right),} أينأنا{\displaystyle i}يرمز إلى الوحدة التخيلية ( ⁠أنا=-1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}) .

ومن الأمثلة على ذلك أن مصفوفات باولي الأربع تشكل أساسًا كاملاً للفضاء المتجهي لجميع الأعداد المركبة2×2{\displaystyle 2\times 2}المصفوفات الهرميتية علىR{\displaystyle \mathbb {R} }⁠ .

تحليل القيم الذاتية

لون{\displaystyle n}المتجهات الذاتية المتعامدةu1،...،uن{\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}من مصفوفة هيرميتيةأ{\displaystyle A}يتم اختيارها وكتابتها كأعمدة لمصفوفةيو{\displaystyle U}ثم تحليل واحد للقيم الذاتية لـأ{\displaystyle A}يكون أ=يوΛيوح،{\displaystyle A=U\varLambda \,U^{\mathsf {H}},} أينيو{\displaystyle U}هي مصفوفة وحدوية (أي، ⁠يويوح=أنا=يوحيو{\displaystyle UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U}و​Λ{\displaystyle \varLambda }هي مصفوفة قطرية مع ⁠أ{\displaystyle A}القيم الذاتية لـ ' sعلىΛ{\displaystyle \varLambda }قطري . لذلك، فإن التحلل الطيفي لـأ{\displaystyle A}ويمكن كتابتها أيضًا على النحو التالي :أ=∑ج=1نλجuجuجح{\displaystyle A=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}}} ( حيثuج{\displaystyle \mathbf {u} _{ي}}هو​​ج{\displaystyle j}العمود رقم - منيو{\displaystyle U}) .

أخذ​(ج،ك){\displaystyle (j,k)}-entry ينتج مباشرة أجك=∑ℓ=1نλℓيوجℓيوكℓ¯.{\displaystyle A_{jk}=\sum _{\ell =1}^{n}\lambda _{\ell }U_{j\ell }{\overline {U_{k\ell }}}.}

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك ⁠2×2{\displaystyle 2\times 2}المصفوفة العاديةأ=[1221].{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}.}⁠أ{\displaystyle A}القيم الذاتية لـ 's هيλ1=3{\displaystyle \lambda _{1}=3}و​​λ2=-1{\displaystyle \lambda _{2}=-1}⁠ .

⁠أ{\displaystyle A}المتجهات الذاتية المعيارية الممكنة لـ ' s المقابلة لهذه القيم الذاتية هي u1=12[11]وu2=12[-1-1].{\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}-1\\{\phantom {-}}1\end{bmatrix}}.}

إذن​أ=يوΛيوح{\displaystyle A=U\varLambda \,U^{\mathsf {H}}}، حيث يو=[12-1212-12]،Λ=[300-1]،يوح=يو-1=[-1212-1212].\begin{bmatrix}{\frac{1}{\sqrt{2}}}&-{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\{\frac{1}{\sqrt{2}}}&{\phantom{-}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\end{bmatrix}},\quad \varLambda ={\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}},\quad U^{\mathsf{H}}=U^{-1}={\begin{bmatrix}{\phantom{-}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}&{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\-{\frac{1}{\sqrt{2}}}&{\frac{1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}.}

يمكن كتابة هذا التفكيك أيضًا على النحو التالي أ=3u1u1ح-1 u2u2ح=3[1212][1212]-1[-12-12][-1212]=3[12121212]-1[-12-12-12-12]=[1221].{\displaystyle {\begin{align}A&=3\,\mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\mathsf {H}}-1~\!\mathbf {u} _{2}\mathbf {u} _{2}^{\mathsf {H}}\\[2pt]&=3{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}-1\!{\begin{bmatrix} - {\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\phantom \begin{bmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}\\[3pt]&=3\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}-1\!\begin{bmatrix}{\phantom {-}}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\phantom {-}}{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

أخذ​(1،1){\displaystyle (1,1)}على سبيل المثال، ينتج -entry بشكل مباشرأ11=3يو11يو11¯-1 يو12يو12¯=3|12|2-1 |-12|2=32-12=1.{\displaystyle A_{11}=3\,U_{11}{\overline {U_{11}}}-1~\!U_{12}{\overline {U_{12}}}=3\,\left|{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right|^{2}-1~\!\left|-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right|^{2}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}=1.}

القيم المفردة

القيم المفردة للمصفوفة العادية هي القيم المطلقة لقيمها الذاتية.

بما أن المصفوفة هيرميتيةأ{\displaystyle A}له تحليل القيم الذاتيةأ=يوΛيوح{\displaystyle A=U\varLambda \,U^{\mathsf {H}}}، حيثيو{\displaystyle U}هي مصفوفة وحدوية (أعمدتها متجهات متعامدة - انظر أعلاه ، وصفوفها أيضًا متجهات متعامدة)، وهي تحليل القيم المفردة لـأ{\displaystyle A}يكون أ=يو|Λ|علامة⁡(Λ)يوح،{\displaystyle A=U\,|\varLambda |\operatorname {sgn}(\!\varLambda )\,U^{\mathsf {H}},} أين|Λ|{\displaystyle |\varLambda |}وعلامة⁡(Λ){\displaystyle \operatorname {sgn}(\!\varLambda )}هي مصفوفات قطرية تحتوي على القيم المطلقة على التوالي|λأنا|{\displaystyle |\lambda _{i}|}واللافتات​علامة⁡(λأنا){\displaystyle \operatorname {sgn}(\lambda _{i})}من​أ{\displaystyle A}القيم الذاتية للمصفوفة .علامة⁡(Λ)يوح{\displaystyle \operatorname {sgn}(\!\varLambda )\,U^{\mathsf {H}}}هو نظام أحادي، لأن الصفوف (وليس الأعمدة) منيوح{\displaystyle U^{\mathsf {H}}}يتم ضربها فقط في±1{\displaystyle \pm 1}المصفوفة​|Λ|{\displaystyle |\varLambda |}يحتوي على القيم المفردة لـأ{\displaystyle A}، أي القيم المطلقة لـأ{\displaystyle A}القيم الذاتية ( منذأ{\displaystyle A}( هذا طبيعي). [ 8 ]

المحدد الحقيقي

محدد المصفوفة الهرميتية هو عدد حقيقي.

دليل

لأي مصفوفة معقدةأ{\displaystyle A}،​

المحقق(أتي)=المحقق(أ)⇒المحقق(أح)=المحقق(أ)¯.{\displaystyle \det \left(A^{\mathsf {T}}\right)=\det(A)\quad \Rightarrow \quad \det \left(A^{\mathsf {H}}\right)={\overline {\det(A)}}.}

لذلك،

أ=أح⇒المحقق(أ)=المحقق(أ)¯.{\displaystyle A=A^{\mathsf {H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)={\overline {\det(A)}}.}

أدلة أخرى

المحدد هو حاصل ضرب القيم الذاتية للمصفوفة، وكما ذكرنا سابقًا، فإن القيم الذاتية للمصفوفة الهرميتية حقيقية.

التفكيك إلى مصفوفات هيرميتية ومصفوفات هيرميتية مائلة

تشمل الحقائق الإضافية المتعلقة بالمصفوفات الهرميتية ما يلي:

  • المجموعأ+أح{\displaystyle A+A^{\mathsf {H}}}المصفوفة المربعة ومرافقها المنقول هي مصفوفة هيرميتية.
  • الفرقأ-أح{\displaystyle AA^{\mathsf {H}}}مصفوفة مربعة ومرافقها المنقول هي مصفوفة هيرميتية معكوسة (وتسمى أيضًا مصفوفة هيرميتية مضادة). وهذا يعني أن مبدل مصفوفتين هيرميتيتين هو مصفوفة هيرميتية معكوسة.
  • مصفوفة مربعة عشوائيةج{\displaystyle C}يمكن كتابة ذلك على شكل مجموعج=أ+ب{\displaystyle C=A+B}من مصفوفة هيرميتيةأ{\displaystyle A}ومصفوفة هيرميتية منحرفةب{\displaystyle B}، حيثأ=12(ج+جح)،ب=12(ج-جح).{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)},\quad B={\tfrac {1}{2}}{\left(CC^{\mathsf {H}}\right)}.}يُعرف هذا باسم تحلل توبليتز لـج{\displaystyle C}[ 9 ] : 227​​

حاصل قسمة رايلي

بالنسبة للمصفوفة المعقدةم{\displaystyle M}ومتجه مركب غير صفريv{\displaystyle \mathbf {v} }، نسبة رايلي ، [ 10 ]R(م،v){\displaystyle R(M,\mathbf {v} )}⁠ ، يتم تعريفها على أنها الكمية القياسية: [ 9 ] : ص. 234 [ 11 ]R(م،v)=vحمvvحv.{\displaystyle R(M,\mathbf {v} )={\frac {\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!M\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\mathbf {v} }}.}

لأي عدد قياسي مركب غير صفريج{\displaystyle c}،​ R(م،ج v)=R(م،v).{\displaystyle R(M,c~\!\mathbf {v} )=R(M,\mathbf {v} ).}

لوم{\displaystyle M}إذا كان هيرميتيًا، فإن أي متجه مركبv≠0{\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }،​R(م،v){\displaystyle R(M,\mathbf {v} )}حقيقي.

للمصفوفة الهرميتيةم{\displaystyle M}، حاصل قسمة رايلي لمتجه ذاتيvج{\displaystyle \mathbf {v} _{j}}⁠ هي القيمة الذاتية المقابلة ⁠λج{\displaystyle \lambda _{j}}⁠ : R(م،vج)=vجحمvجvجحvج=λج(vجحvج)vجحvج=λج.{\displaystyle R(M,\mathbf {v} _{j})={\frac {\mathbf {v} _{j}^{\mathsf {H}}\!M\mathbf {v} _{j}}{\mathbf {v} _{j}^{\mathsf {H}}\mathbf {v} _{j}}}={\frac {\lambda _{j}{\bigl (}\mathbf {v} _{j}^{\mathsf {H}}\mathbf {v} _{j}{\bigr )}}{\mathbf {v} _{j}^{\mathsf {H}}\mathbf {v} _{j}}}=\lambda _{j}.} تصل نسبة رايلي إلى قيمها الدنيا والقصوى للمتجهات الذاتية التي تتوافق مع القيم الذاتية الدنيا والقصوى: [ 9 ] لأي متجه مركبv≠0{\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }،​ λمين=R(م،vمين)≤R(م،v)≤R(م،vالأعلى)=λالأعلى.{\displaystyle \lambda _{\text{min}}=R(M,\mathbf {v} _{\text{min}})\,\leq \,R(M,\mathbf {v} )\,\leq \,R(M,\mathbf {v} _{\text{max}})=\lambda _{\text{max}}.}

يُستخدم حاصل قسمة رايلي في نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى للحصول على القيم الدقيقة لجميع القيم الذاتية. كما يُستخدم في خوارزميات القيم الذاتية للحصول على تقريب للقيمة الذاتية من تقريب للمتجه الذاتي. وعلى وجه التحديد، يُشكل هذا أساس تكرار حاصل قسمة رايلي .

يُطلق على مدى حاصل قسمة رايلي (لمصفوفة ثابتة ليست بالضرورة هيرميتية) اسم المدى العددي (أو الطيف في التحليل الوظيفي). عندما تكون المصفوفة هيرميتية، يكون المدى العددي مساويًا للمعيار الطيفي. وفي التحليل الوظيفي أيضًا،|λ|الأعلى{\displaystyle \left|\lambda \right|_{\max }}يُعرف باسم نصف القطر الطيفي.

في سياقج*{\displaystyle C^{*}\!}الجبر - أو ميكانيكا الكم الجبرية، الدالة التي إلىم{\displaystyle M}يرتبط بمعامل رايليR(م،v){\displaystyle R(M,\mathbf {v} )}مقابل مبلغ ثابتv{\displaystyle \mathbf {v} }و​​م{\displaystyle M}⁠ يُشار إلى التغير من خلال الجبر باسم "حالة متجهة" للجبر.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ لكن المصفوفة الهرميتية لا يشترط أن تحتوي على أي متجهات ذاتية حقيقية بحتة. على سبيل المثال،أ=[0أنا-أنا0]{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&i\\-i&0\end{bmatrix}}}هيرميتية. لها قيم ذاتية ⁠λ1=1{\displaystyle \lambda _{1}=1}و​​λ2=-1{\displaystyle \lambda _{2}=-1}; المتجهات الذاتية المقابلة هي مضاعفات قياسية لـv1=[أنا1]وv2=[-أنا1]،{\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}-i\\1\end{bmatrix}},}ولا يمثل أي منهما مضاعفًا قياسيًا غير صفري لأي متجه ذي قيم حقيقية.

مراجع

  1. ↑ أرشيبالد، توم (31-12-2010)، "VI.47 تشارلز هيرميت" ، في: جوورز، تيموثي؛ بارو-جرين، جون؛ ليدر، إيمري (محررون)، دليل برينستون للرياضيات ، مطبعة جامعة برينستون، ص  773، doi : 10.1515/9781400830398.773a ، ISBN 978-1-4008-3039-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 نوفمبر 2023
  2. ↑ ريبيرو، أليخاندرو. "معالجة الإشارات والمعلومات" (PDF) .
  3. ↑ "التوزيعات الطبيعية متعددة المتغيرات" (PDF) .
  4. ↑ لاو، إيفان. "نظرية الطيف الهرميتية للرسوم البيانية المختلطة" (PDF) .
  5. ^ ليو، جيانشي؛ لي ، شيويليانغ (فبراير 2015). "مصفوفات الجوار الهرميتي والطاقات الهرميتية للرسوم البيانية المختلطة" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 466 : 182– 207. دوى : 10.1016/j.laa.2014.10.028 .
  6. ↑ فرانكل، ثيودور (2004). هندسة الفيزياء: مقدمة . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 652. ISBN  0-521-53927-7.
  7. ↑ ملاحظات مقرر الفيزياء 125 مؤرشفة بتاريخ 7 مارس 2022 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) في معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا
  8. ^ تريفثان، لويد ن. باو، الثالث، ديفيد (1997). الجبر الخطي العددي . فيلادلفيا، بنسلفانيا، الولايات المتحدة الأمريكية: SIAM . ص. 34. ردمك  0-89871-361-7. OCLC 1348374386 . 
  9. 1 2 3 هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (2013). تحليل المصفوفات، الطبعة الثانية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9780521839402.
  10. ↑ يُعرف أيضًا باسم نسبة رايلي-ريتز ؛ سميت على اسم والتر ريتز واللورد رايلي .
  11. ↑ بارليت، بيريسفورد ن. (1998). مسألة القيم الذاتية المتناظرة . كلاسيكيات في الرياضيات التطبيقية. فيلادلفيا، بنسلفانيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ISBN 978-1-61197-116-3.