معيار المصفوفة

يُطلق على معيار المصفوفة اسم المعيار الوحدوي الثابت إذا كان لجميع المصفوفات الوحدوية${\displaystyle U,V}$والمصفوفة${\displaystyle A}$،${\displaystyle \lVert UAV\rVert =\lVert A\rVert }$.

دالة القياس المتناظرة هي معيار متجه مطلق${\displaystyle \phi$ :\mathbb {C} ^{p}\to \mathbb {R} ^{+}} بحيث ${\displaystyle \phi (Px)=\phi (x)}$لأي مصفوفة تبديل${\displaystyle P}$. إنه:

• عدم السلبية:${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$، و${\displaystyle \phi (x)=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x=0}$.
• التجانس الإيجابي:${\displaystyle \phi (\alpha x)=|\alpha |\phi (x)}$لأي عدد حقيقي${\displaystyle \alpha }$.
• متباينة المثلث:${\displaystyle \phi (x+y)\leq \phi (x)+\phi (y)}$.
• التناظر:${\displaystyle \phi (Px)=\phi (x)}$لأي مصفوفة تبديل${\displaystyle P}$.

المعيار هو معيار مصفوفة ثابت تحت التحويلات الوحدوية إذا وفقط إذا كان دالة قياس متناظرة على متجه القيم المفردة. ^{[ 4 ]}

معيار المصفوفة${\displaystyle \|\cdot \|}$على${\displaystyle K^{m\times n}}$يُطلق عليه اسم متوافق مع معيار المتجه${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$على${\displaystyle K^{n}}$ومعيار متجهي${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$على${\displaystyle K^{m}}$، لو: $${\displaystyle \left\|Ax\right\|_{\beta }\leq \left\|A\right\|\left\|x\right\|_{\alpha }}$$ للجميع${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$وكل شيء${\displaystyle x\in K^{n}}$في الحالة الخاصة m = n و${\displaystyle \alpha =\beta }$،${\displaystyle \|\cdot \|}$يُطلق عليه أيضًا اسم متوافق مع${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$.

جميع معايير المصفوفات الناتجة عن معايير المتجهات متسقة بحكم التعريف. كذلك، أي معيار مصفوفة فرعي ضربي على${\displaystyle K^{n\times n}}$يُنشئ معيارًا متجهيًا متوافقًا على${\displaystyle K^{n}}$من خلال التعريف${\displaystyle \left\|v\right\|:=\left\|\left(v,v,\dots ,v\right)\right\|}$.

معيار المصفوفة${\displaystyle \|\cdot \|}$يُطلق على الدالة اسم دالة رتيبة إذا كانت رتيبة بالنسبة لترتيب لوفنر . وبالتالي، فإن معيار المصفوفة يكون متزايدًا إذا

${\displaystyle A\preccurlyeq B\Rightarrow \|A\|\leq \|B\|.}$

يُعد معيار فروبينيوس والمعيار الطيفي مثالين على المعايير الرتيبة. ^{[ 5 ]}

إذا كان المعيار p للمتجهات (${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$) يستخدم لكلا المساحتين${\displaystyle K^{n}}$و${\displaystyle K^{m},}$ثم يكون معيار المؤثر المقابل هو: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \|A\|_{p}=\sup\{\|Ax\|_{p}:x\in K^{n}{\text{ such that }}\|x\|_{p}\leq 1\}.}$$ تختلف هذه المعايير المستحثة عن معايير p "الخاصة بكل مدخل" ومعايير شاتن p للمصفوفات التي سيتم تناولها أدناه، والتي يُشار إليها عادةً أيضًا بـ${\displaystyle \|A\|_{p}.}$

من الناحية الهندسية، يمكن للمرء أن يتخيل كرة وحدة من النوع p -norm${\displaystyle V_{p,n}=\{x\in K^{n}:\|x\|_{p}\leq 1\}}$في${\displaystyle K^{n}}$ثم قم بتطبيق الخريطة الخطية${\displaystyle A}$إلى الكرة. سينتهي بها الأمر إلى أن تصبح شكلاً محدباً مشوهاً${\displaystyle AV_{p,n}\subset K^{m}}$، و${\displaystyle \|A\|_{p}}$يقيس أطول "نصف قطر" للشكل المحدب المشوه. بعبارة أخرى، يجب أن نأخذ كرة وحدة من نوع p -norm${\displaystyle V_{p,m}}$في${\displaystyle K^{m}}$ثم اضربه في 1 على الأقل${\displaystyle \|A\|_{p}}$لكي يكون حجمه كبيراً بما يكفي لاحتواء${\displaystyle AV_{p,n}}$.

يمكننا تعميم التعريف أعلاه. لنفترض أن لدينا معايير متجهة${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$و${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$للمساحات${\displaystyle K^{n}}$و${\displaystyle K^{m}}$على التوالي؛ معيار المؤثر المقابل هو $${\displaystyle \|A\|_{\alpha ,\beta }=\sup\{\|Ax\|_{\beta }:x\in K^{n}{\text{ such that }}\|x\|_{\alpha }\leq 1\}}$$ وعلى وجه الخصوص،${\displaystyle \|A\|_{p}}$التعريف السابق هو حالة خاصة من${\displaystyle \|A\|_{p,p}}$.

في الحالات الخاصة لـ${\displaystyle \alpha =2}$و${\displaystyle \beta =\infty }$يمكن حساب معايير المصفوفة المستحثة بواسطة$${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\|A_{i:}\|_{2},}$$أين${\displaystyle A_{i:}}$هو الصف رقم i من المصفوفة${\displaystyle A}$.

في الحالات الخاصة لـ${\displaystyle \alpha =1}$و${\displaystyle \beta =2}$يمكن حساب معايير المصفوفة المستحثة بواسطة$${\displaystyle \|A\|_{1,2}=\max _{1\leq j\leq n}\|A_{:j}\|_{2},}$$أين${\displaystyle A_{:j}}$يمثل العمود j من المصفوفة${\displaystyle A}$.

لذلك،${\displaystyle \|A\|_{2,\infty }}$و${\displaystyle \|A\|_{1,2}}$يمثلان أعلى قيمة لمعيار الصف والعمود 2 للمصفوفة، على التوالي.

أي معيار للمؤثر يكون متسقًا مع معايير المتجهات التي تُنتجه، مما يُعطي $${\displaystyle \|Ax\|_{\beta }\leq \|A\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }.}$$

يفترض${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\beta }}$؛${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta ,\gamma }}$؛ و${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\gamma }}$هي معايير المؤثرات المستحثة من أزواج معايير المتجهات المعنية.${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\beta })}$؛${\displaystyle (\|\cdot \|_{\beta },\|\cdot \|_{\gamma })}$؛ و${\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha },\|\cdot \|_{\gamma })}$. ثم،

${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta };}$

وهذا يتبع من $${\displaystyle \|ABx\|_{\gamma }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|Bx\|_{\beta }\leq \|A\|_{\beta ,\gamma }\|B\|_{\alpha ,\beta }\|x\|_{\alpha }}$$ و $${\displaystyle \sup _{\|x\|_{\alpha }=1}\|ABx\|_{\gamma }=\|AB\|_{\alpha ,\gamma }.}$$

يفترض${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha ,\alpha }}$هو معيار للمؤثر على فضاء المصفوفات المربعة${\displaystyle K^{n\times n}}$ مستحثة بواسطة معايير المتجهات${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$و${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$إذن، معيار المؤثر هو معيار مصفوفة فرعي ضربي: $${\displaystyle \|AB\|_{\alpha ,\alpha }\leq \|A\|_{\alpha ,\alpha }\|B\|_{\alpha ,\alpha }.}$$

علاوة على ذلك، فإن أي معيار من هذا القبيل يحقق عدم المساواة

$${\displaystyle (\|A^{r}\|_{\alpha ,\alpha })^{1/r}\geq \rho (A)}$$

1

لكل عدد صحيح موجب r ، حيث ρ ( A ) هو نصف قطر الطيف للمصفوفة A. بالنسبة للمصفوفات المتناظرة أو الهرميتية A ، لدينا المساواة في ( 1 ) بالنسبة للمعيار 2، لأن المعيار 2 في هذه الحالة هو بالضبط نصف قطر الطيف للمصفوفة A. بالنسبة لأي مصفوفة، قد لا تتحقق المساواة لأي معيار؛ ومن الأمثلة المضادة على ذلك... $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$$ والتي لها نصف قطر طيفي معدوم. على أي حال، لأي معيار مصفوفة، لدينا صيغة نصف القطر الطيفي التالية : $${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A).}$$

إذا كانت معايير المتجهات${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$و${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$يتم تقديمها بدلالة معايير الطاقة القائمة على المصفوفات المتناظرة الموجبة المحددة.${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$وبالتالي، يُعطى معيار المؤثر الناتج على النحو التالي $${\displaystyle \|A\|_{P,Q}=\sup\{\|Ax\|_{Q}:\|x\|_{P}\leq 1\}.}$$

باستخدام الجذور التربيعية للمصفوفة المتناظرة لـ${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$وبالتالي، يمكن التعبير عن معيار المؤثر كمعيار طيفي لمصفوفة معدلة:

$${\displaystyle \|A\|_{P,Q}=\|Q^{1/2}AP^{-1/2}\|_{2}.}$$

يترك${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$لتكن أبعاد المصفوفة m أعمدة${\displaystyle A}$انطلاقاً من التعريف الأصلي، المصفوفة${\displaystyle A}$يعرض n نقطة بيانات في فضاء ذي m بُعد.${\displaystyle L_{2,1}}$المعيار ^{[ 7 ]} هو مجموع المعايير الإقليدية لأعمدة المصفوفة:

${\displaystyle \|A\|_{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\|a_{j}\|_{2}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}}$

ال${\displaystyle L_{2,1}}$يُعدّ استخدام دالة الخسارة المعيارية (norm) أكثر قوة، لأن الخطأ لكل نقطة بيانات (عمود) لا يُربّع. ويُستخدم في تحليل البيانات القوي والترميز المتفرق .

بالنسبة لـ p و q ≥ 1 ، فإن${\displaystyle L_{2,1}}$يمكن تعميم المعيار على${\displaystyle L_{p,q}}$المعيار كما يلي:

${\displaystyle \|A\|_{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

عندما يكون p = q = 2 لـ${\displaystyle L_{p,q}}$يُطلق عليه معيار فروبينيوس أو معيار هيلبرت-شميدت ، مع أن المصطلح الأخير يُستخدم بشكل أكثر شيوعًا في سياق المؤثرات على فضاء هيلبرت (الذي قد يكون لانهائي الأبعاد) . ويمكن تعريف هذا المعيار بطرق مختلفة:

${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i}^{m}\sum _{j}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}(A)}},}$

حيث يكون الأثر هو مجموع عناصر القطر، و${\displaystyle \sigma _{i}(A)}$هي القيم المفردة لـ${\displaystyle A}$أما المساواة الثانية فقد تم إثباتها من خلال الحساب الصريح لـ${\displaystyle \mathrm {trace} (A^{*}A)}$أما المساواة الثالثة فقد تم إثباتها عن طريق تحليل القيم المفردة لـ${\displaystyle A}$وحقيقة أن الأثر ثابت تحت التحولات الدائرية.

معيار فروبينيوس هو امتداد للمعيار الإقليدي إلى${\displaystyle K^{n\times n}}$ويأتي من الضرب الداخلي لفروبينيوس على فضاء جميع المصفوفات.

معيار فروبينيوس شبه ضربي، وهو مفيد جدًا في الجبر الخطي العددي . يمكن إثبات شبه الضربي لمعيار فروبينيوس باستخدام متراجحة كوشي-شفارتز . في الواقع، هو أكثر من مجرد شبه ضربي، حيث$${\displaystyle \|AB\|_{F}\leq \|A\|_{op}\|B\|_{F}}$$حيث معيار المشغل${\displaystyle \|\cdot \|_{op}\leq \|\cdot \|_{F}}$.

غالباً ما يكون حساب معيار فروبينيوس أسهل من حساب المعايير المستحثة، وله خاصية مفيدة تتمثل في كونه ثابتاً تحت الدوران ( والعمليات الوحدوية بشكل عام). أي،${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}=\|AU\|_{\text{F}}=\|UA\|_{\text{F}}}$لأي مصفوفة أحادية${\displaystyle U}$تنتج هذه الخاصية عن الطبيعة الدورية للأثر (${\displaystyle \operatorname {trace} (XYZ)=\operatorname {trace} (YZX)=\operatorname {trace} (ZXY)}$):

${\displaystyle \|AU\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((AU)^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(U^{*}A^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{*}A^{*}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

وبالمثل:

${\displaystyle \|UA\|_{\text{F}}^{2}=\operatorname {trace} \left((UA)^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}U^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

حيث استخدمنا الطبيعة الوحدوية لـ${\displaystyle U}$(إنه،${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=\mathbf {I} }$).

كما أنه يرضي

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{\text{F}}=\|AA^{*}\|_{\text{F}}\leq \|A\|_{\text{F}}^{2}}$

و

${\displaystyle \|A+B\|_{\text{F}}^{2}=\|A\|_{\text{F}}^{2}+\|B\|_{\text{F}}^{2}+2\operatorname {Re} \left(\langle A,B\rangle _{\text{F}}\right),}$

أين${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{F}}}$هو حاصل الضرب الداخلي لفروبينيوس ، و Re هو الجزء الحقيقي من العدد المركب (غير ذي صلة بالمصفوفات الحقيقية).

المعيار الأقصى هو المعيار العنصري في النهاية عندما يؤول p = q إلى اللانهاية:

${\displaystyle \|A\|_{\max }=\max _{i,j}|a_{ij}|.}$

هذا المعيار ليس ضربيًا جزئيًا ؛ ولكن تعديل الجانب الأيمن إلى${\displaystyle {\sqrt {mn}}\max _{i,j}\vert a_{ij}\vert }$يجعل ذلك الأمر كذلك.

تجدر الإشارة إلى أنه في بعض الأدبيات (مثل كتاب تعقيد الاتصالات )، يوجد تعريف بديل للمعيار الأقصى، والذي يُطلق عليه أيضًا اسم${\displaystyle \gamma _{2}}$-norm، يشير إلى معيار التحليل إلى عوامل:

${\displaystyle \gamma _{2}(A)=\min _{U,V:A=UV^{T}}\|U\|_{2,\infty }\|V\|_{2,\infty }=\min _{U,V:A=UV^{T}}\max _{i,j}\|U_{i,:}\|_{2}\|V_{j,:}\|_{2}}$

يترك${\displaystyle \|A\|_{p}}$مرة أخرى، أشير إلى المعيار المستحث بواسطة المعيار p المتجهي (كما هو مذكور أعلاه في قسم المعيار المستحث).

للمصفوفة${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$من الرتبة${\displaystyle r}$، تتحقق المتباينات التالية: ^{[ 12 ] [ 13 ]}

• ${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{2}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{F}\leq \|A\|_{*}\leq {\sqrt {r}}\|A\|_{F}}$
• ${\displaystyle \|A\|_{\max }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\max }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}.}$