توازن بايز المرتبط

يترك${\displaystyle I}$أن يكونوا مجموعة من اللاعبين، و${\displaystyle \Theta }$مجموعة من الحالات الممكنة للعالم. تُعرَّف اللعبة بأنها مجموعة من${\displaystyle G=\langle (A_{i},u_{i})_{i\in I},\Theta ,\psi \rangle }$، أين${\displaystyle A_{i}}$هي مجموعة الإجراءات الممكنة (مع${\displaystyle A=\prod _{i\in I}A_{i}}$) و${\displaystyle u_{i}:A\times \Theta \rightarrow \mathbb {R} }$هي دالة المنفعة لكل لاعب، و${\displaystyle \psi \in \Delta _{++}(\Theta )}$هو دعم كامل مشترك قبل كل دول العالم.

يُعرَّف هيكل المعلومات بأنه مجموعة من العناصر${\displaystyle S=\langle (T_{i})_{i\in I},\pi \rangle }$، أين${\displaystyle T_{i}}$هي مجموعة من الإشارات (أو الأنواع) الممكنة التي يمكن لكل لاعب استقبالها (مع${\displaystyle T=\prod _{i\in I}T_{i}}$)، و${\displaystyle \pi$ :\Theta \rightarrow \Delta (T)} هي دالة توزيع الإشارة، تُشير إلى الاحتمالية${\displaystyle \pi (t|\theta )}$مراقبة الإشارة المشتركة${\displaystyle t\in T}$عندما يكون حال العالم${\displaystyle \theta \in \Theta }$.

بدمج هذين التعريفين، يمكن للمرء أن يُعرّف${\displaystyle \Gamma =(G,S)}$باعتبارها لعبة معلومات غير كاملة . ^{[ 3 ]} قاعدة قرار للعبة المعلومات غير الكاملة${\displaystyle \Gamma =(G,S)}$هو رسم خرائط${\displaystyle \sigma :T\times \Theta \rightarrow \Delta (A)}$بشكل بديهي، قيمة قاعدة القرار${\displaystyle \sigma (a|t,\theta )}$يمكن اعتبار ذلك بمثابة توصية مشتركة للاعبين لاتباع الاستراتيجية المختلطة المشتركة${\displaystyle \sigma (\cdot \mid t,\theta )\in \Delta (A)}$عندما يتم استقبال الإشارة المشتركة${\displaystyle t\in T}$وحالة العالم هي${\displaystyle \theta \in \Theta }$.

يُعرَّف توازن بايز المرتبط (BCE) بأنه قاعدة قرار${\displaystyle \sigma }$وهي قاعدة مطيعة: أي قاعدة لا يكون لدى أي لاعب فيها حافز للانحراف بشكل أحادي عن الاستراتيجية المشتركة الموصى بها، مهما كان نوعها. وبصورة رسمية، قاعدة القرار${\displaystyle \sigma }$مطيع (وتوازن مرتبط بايز) للعبة${\displaystyle \Gamma =(G,S)}$إذا كان ذلك لكل لاعب${\displaystyle i\in I}$كل إشارة${\displaystyle t_{i}\in T_{i}}$وكل فعل${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$لدينا

${\displaystyle \sum _{a_{-i},t_{-i},\theta }\psi (\theta )\pi (t_{i},t_{-i}|\theta )\sigma (a_{i},a_{-i}|t_{i},t_{-i},\theta )u_{i}(a_{i},a_{-i},\theta )}$

${\displaystyle \geq \sum _{a_{-i},t_{-i},\theta }\psi (\theta )\pi (t_{i},t_{-i}|\theta )\sigma (a_{i},a_{-i}|t_{i},t_{-i},\theta )u_{i}(a'_{i},a_{-i},\theta )}$

للجميع${\displaystyle a'_{i}\in A_{i}}$.

أي أن كل لاعب يحصل على عائد متوقع أعلى باتباع التوصية الواردة في قاعدة القرار مقارنة بالانحراف إلى أي إجراء آخر ممكن.

يمكن اعتبار كل توازن ناش بايزي (BNE) للعبة ذات معلومات غير كاملة بمثابة توازن ناش بايزي (BCE)، حيث تكون الاستراتيجية المشتركة الموصى بها هي ببساطة استراتيجية التوازن المشتركة. ^{[ 2 ]}

بصورة رسمية، دع${\displaystyle \Gamma =(G,S)}$لنكن لعبة معلومات غير كاملة، ولنترك${\displaystyle s:T\rightarrow \Delta (A)}$لتكون استراتيجية مشتركة متوازنة، مع كل لاعب${\displaystyle i}$اللعب${\displaystyle s_{i}(a_{i}|t_{i})\in \Delta (A_{i})}$لذلك، فإن تعريف BNE يعني أنه لكل${\displaystyle i\in I}$،${\displaystyle t_{i}\in T_{i}}$و${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$بحيث${\displaystyle s_{i}(a_{i}|t_{i})>0}$لدينا

${\displaystyle \sum _{a_{-i},t_{-i},\theta }\psi (\theta )\pi (t_{i},t_{-i}|\theta )\left(\prod _{j\neq i}s_{j}(a_{j}|t_{j})\right)u_{i}(a_{i},a_{-i},\theta )}$

${\displaystyle \geq \sum _{a_{-i},t_{-i},\theta }\psi (\theta )\pi (t_{i},t_{-i}|\theta )\left(\prod _{j\neq i}s_{j}(a_{j}|t_{j})\right)u_{i}(a'_{i},a_{-i},\theta )}$

لكل${\displaystyle a'_{i}\in A_{i}}$.

إذا حددنا قاعدة القرار${\displaystyle \sigma }$على${\displaystyle \Gamma }$مثل${\displaystyle \sigma (a|t,\theta )=s(a|t)=\prod _{i}s_{i}(a_{i}|t_{i})}$للجميع${\displaystyle t\in T}$و${\displaystyle \theta \in \Theta }$، نحصل مباشرة على BCE.

إذا لم يكن هناك أي شك بشأن حالة العالم (على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \Theta }$إذا كان عنصرًا منفردًا)، فإن التعريف يؤول إلى حل التوازن المترابط لأومان . [ ^{4 ] في} هذه الحالة،${\displaystyle \sigma \in \Delta (A)}$يُعتبر قبل الميلاد إذا كان، لكل${\displaystyle i\in I}$لدينا ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \sum _{a_{-i}\in A{-i}}\sigma (a_{i},a_{-i})u_{i}(a_{i},a_{-i})\geq \sum _{a_{-i}\in A{-i}}\sigma (a_{i},a_{-i})u_{i}(a'_{i},a_{-i})}$

لكل${\displaystyle a'_{i}\in A_{i}}$، وهو ما يعادل تعريف التوازن المترابط لمثل هذا الإعداد.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن اعتبار مشكلة تصميم نظام الإقناع البايزي بمثابة تعميم متعدد اللاعبين لمشكلة الإقناع البايزي التي طرحها إمير كامينيكا وماثيو جينتزكو . ^{[ 5 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، لنفترض${\displaystyle v:A\times \Theta \rightarrow \mathbb {R} }$لتكن دالة الهدف لمصممة المعلومات. ثم المنفعة المتوقعة مسبقًا من قاعدة قرار BCE${\displaystyle \sigma }$يتم تحديده بواسطة: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle V(\sigma )=\sum _{a,t,\theta }\psi (\theta )\pi (t|\theta )\sigma (a|t,\theta )v(a,\theta )}$

إذا كانت مجموعة اللاعبين${\displaystyle I}$إذا كان عنصرًا فريدًا، فسيتم اختيار بنية معلومات لتحقيق أقصى قدر من الكفاءة.${\displaystyle V(\sigma )}$وهو ما يعادل مشكلة الإقناع البايزي، حيث يُطلق على مصمم المعلومات اسم المرسل ويُطلق على اللاعب اسم المتلقي.