لعبة بايزية

تُعرَّف اللعبة البايزية بـ${\displaystyle (N\!,A,T,u,p)}$، حيث يتكون من العناصر التالية: ^{[ 5 ]}

مجموعة من اللاعبين، ن

مجموعة اللاعبين داخل اللعبة

مجموعات الحركة _، أ

مجموعة الإجراءات المتاحة للاعب i . ملف تعريف الإجراءات a = ( a1 , ..., aN ₎ عبارة عن قائمة من الإجراءات، إجراء واحد لكل لاعب _.

مجموعات الأنواع، تي _آي

مجموعة أنواع اللاعبين i . تُمثل "الأنواع" المعلومات الخاصة التي يمكن أن يمتلكها اللاعب. ملف تعريف النوع t = ( t1 , ..., tN ₎ هو قائمة من الأنواع، نوع واحد لكل لاعب _.

دوال العائد، u

حدد عائدًا للاعب بناءً على نوعه وملفه التعريفي. دالة العائد، u = ( u1 , ..., uN _{) ،} تُشير إلى منافع اللاعب i

سابقًا، ص

توزيع احتمالي على جميع أنواع الملفات الشخصية الممكنة، حيث p ( t ) = p ( t ₁ , . . . , t _N ) هو احتمال أن يكون لدى اللاعب 1 النوع t ₁ وأن ​​يكون لدى اللاعب N النوع t _N .

في لعبة استراتيجية، تتمثل الاستراتيجية البحتة في اختيار اللاعب للفعل في كل نقطة يتعين عليه فيها اتخاذ قرار. ^{[ 6 ]}

توجد ثلاث مراحل في الألعاب البايزية، تصف كل منها معرفة اللاعبين بالأنواع داخل اللعبة.

1. لعبة تمهيدية. لا يعرف اللاعبون أنواع أوراقهم أو أنواع أوراق اللاعبين الآخرين. يدرك اللاعب العوائد كقيم متوقعة بناءً على توزيع مسبق لجميع الأنواع الممكنة.
2. مرحلة انتقالية في اللعبة. يعرف اللاعبون نوعهم، لكنهم لا يعرفون سوى التوزيع الاحتمالي لأنواع اللاعبين الآخرين. عند النظر في العوائد، يدرس اللاعب القيمة المتوقعة لنوع اللاعب الآخر.
3. لعبة ما بعد المرحلة. يعرف اللاعبون أنواعهم وأنواع اللاعبين الآخرين. وتكون المكافآت معروفة للاعبين. ^{[ 7 ]}

هناك جانبان مهمان وجديدان لألعاب بايز، وقد حددهما هارساني بنفسه. ^{[ 8 ]} أولهما أن ألعاب بايز تُعتبر وتُبنى بنفس طريقة ألعاب المعلومات الكاملة. مع ذلك، بإضافة الاحتمالية إلى اللعبة، تصبح اللعبة النهائية لعبة معلومات غير كاملة. لذا، يمكن نمذجة اللاعبين على أنهم يمتلكون معلومات غير كاملة، ويظل فضاء احتمالات اللعبة خاضعًا لقانون الاحتمال الكلي . كما أن ألعاب بايز مفيدة لأنها لا تتطلب حسابات متسلسلة لا نهائية، وهو ما يميز التفكير الاستراتيجي في الألعاب المتكررة . تنشأ الحسابات المتسلسلة اللانهائية عندما يحاول اللاعبون "فهم ما يدور في أذهان بعضهم البعض". على سبيل المثال، قد يطرح أحدهم أسئلة ويقرر: "إذا توقعتُ فعلًا ما من اللاعب ب، فسيتوقع اللاعب ب أنني أتوقع ذلك الفعل، وبالتالي يجب عليّ أن أتوقع هذا التوقع" إلى ما لا نهاية . تسمح ألعاب بايز بحساب هذه النتائج في خطوة واحدة من خلال تخصيص أوزان احتمالية مختلفة لنتائج مختلفة في آن واحد. نتيجة لذلك، تسمح الألعاب البايزية بنمذجة عدد من الألعاب التي سيكون من غير المنطقي حسابها في بيئة غير بايزية.

تتضمن ألعاب الشكل الموسع ذات المعلومات الكاملة أو غير الكاملة العناصر التالية: ^{[ 12 ]}

1. مجموعة من اللاعبين
2. مجموعة من عقد القرار
3. دالة اللاعب التي تُعيّن لاعبًا لكل عقدة قرار
4. مجموعة الإجراءات لكل لاعبة عند كل نقطة من نقاط اتخاذ القرار الخاصة بها
5. مجموعة من العقد الطرفية
6. دالة مكافأة لكل لاعب

عادةً ما تشير الدائرة غير المظللة إلى عقدة الطبيعة. وتكون استراتيجيتها محددة ومختلطة تمامًا. وعلى الرغم من أن الطبيعة تقع عمومًا في جذر الشجرة، إلا أنها قد تنتقل إلى نقاط أخرى.

مجموعة معلومات اللاعب i هي مجموعة فرعية من عقد القرار الخاصة به، والتي لا يستطيع التمييز بينها. فإذا كان اللاعب i عند إحدى عقد القرار الخاصة به في مجموعة المعلومات، فإنه لا يعرف أي عقدة هي تحديداً داخل هذه المجموعة.

لكي تكون عقدتا القرار في نفس مجموعة المعلومات ، يجب عليهما ^{[ 13 ]}

1. ينتميان إلى نفس اللاعب؛ و
2. استخدم نفس مجموعة الإجراءات

يتم تمثيل مجموعات المعلومات بخطوط منقطة، وهي الطريقة الأكثر شيوعًا اليوم.

في الألعاب البايزية، يتم التعبير عن معتقدات اللاعبين حول اللعبة من خلال توزيع احتمالي على أنواع مختلفة.

إذا لم يكن لدى اللاعبين معلومات خاصة، فإن توزيع الاحتمالات على الأنواع يُعرف باسم التوزيع المسبق المشترك . ^{[ 1 ]}

تقييم لعبة ذات شكل موسع هو زوج ⟨ b, μ ⟩

1. ملف تعريف استراتيجية السلوك ؛ و
2. نظام المعتقدات

التقييم ⟨ b, μ ⟩ يفي بقاعدة بايز إذا ^{[ 14 ]} μ ( x | h _i ) = Pr [ x is reached given b _{− i} ] / Σ Pr [ x ′ ​​is reached given b _{− i} ] كلما تم الوصول إلى h _i باحتمالية موجبة تمامًا وفقًا لـ b _{− i} .

إن التوازن البايزي المثالي في لعبة ذات شكل موسع هو مزيج من الاستراتيجيات وتحديد المعتقدات بحيث يتم استيفاء الشرطين التاليين: ^{[ 15 ]}

1. الاتساق البايزي: المعتقدات متسقة مع الاستراتيجيات قيد الدراسة؛
2. العقلانية التسلسلية: يختار اللاعبون الخيار الأمثل بناءً على معتقداتهم.

قد يؤدي توازن ناش البايزي إلى توازنات غير معقولة في الألعاب الديناميكية، حيث يتحرك اللاعبون بالتتابع بدلاً من التزامن. وكما هو الحال في ألعاب المعلومات الكاملة، يمكن أن تنشأ هذه التوازنات عبر استراتيجيات غير موثوقة خارج مسار التوازن. وفي ألعاب المعلومات غير الكاملة، من الممكن أيضاً وجود معتقدات غير موثوقة.

لمعالجة هذه المشكلات، يتطلب التوازن البايزي المثالي، وفقًا لتوازن اللعبة الفرعية المثالي ، أن يكون اللعب اللاحق مثاليًا بدءًا من أي مجموعة معلومات. كما يتطلب تحديث المعتقدات بما يتوافق مع قاعدة بايز في كل مسار لعب يحدث باحتمالية موجبة.

تجمع ألعاب بايز العشوائية ^{[ 16 ]} بين تعريفات ألعاب بايز والألعاب العشوائية لتمثيل حالات البيئة (مثل حالات العالم المادي) مع انتقالات عشوائية بين الحالات، بالإضافة إلى عدم اليقين بشأن أنواع اللاعبين المختلفين في كل حالة. ويتم حل النموذج الناتج من خلال دمج متكرر لتوازن ناش البايزي ومعادلة بلمان الأمثلية . وقد استُخدمت ألعاب بايز العشوائية لمعالجة مشكلات متنوعة، بما في ذلك تخطيط الدفاع والأمن ^{[ 17 ]} ، والأمن السيبراني لمحطات الطاقة ^{[ 18 ]} ، والقيادة الذاتية ^{[ 19 ]} ، والحوسبة الطرفية المتنقلة ^{[ 20 ]} ، والاستقرار الذاتي في الأنظمة الديناميكية ^{[ 21 ]} ، ومعالجة السلوكيات غير المرغوب فيها في إنترنت الأشياء القائم على التعهيد الجماعي ^{[ 22 ]} .

تم توسيع تعريف الألعاب البايزية والتوازن البايزي ليشمل التعامل مع الوكالة الجماعية . يتمثل أحد المناهج في الاستمرار في التعامل مع اللاعبين الأفراد ككائنات تفكر بمعزل عن بعضها، مع السماح لهم، باحتمالية معينة، بالتفكير من منظور جماعي. ^{[ 23 ]} ويتمثل منهج آخر في افتراض أن اللاعبين ضمن أي وكيل جماعي يعلمون بوجود هذا الوكيل، بينما يجهل اللاعبون الآخرون ذلك، على الرغم من شكوكهم فيه باحتمالية معينة. ^{[ 24 ]} على سبيل المثال، قد يُحسّن كل من أليس وبوب أداءهما أحيانًا كأفراد، وأحيانًا أخرى يتواطآن كفريق، تبعًا لحالة الطبيعة، لكن قد لا يعلم اللاعبون الآخرون أيًّا من هذين الاحتمالين هو الصحيح.

يواجه قائد الشرطة مشتبهاً به مسلحاً. ويتعين على كليهما اتخاذ قرار في آن واحد بشأن ما إذا كان سيطلق النار على الآخر أم لا.

يمكن تصنيف المشتبه به إما كمجرم أو كمدني. أما الشريف، فلديه تصنيف واحد فقط. يعرف المشتبه به تصنيفه وتصنيف الشريف، لكن الشريف لا يعرف تصنيف المشتبه به. وبالتالي، توجد معلومات غير مكتملة (لأن المشتبه به لديه معلومات خاصة)، مما يجعلها لعبة بايزية. هناك احتمال p أن يكون المشتبه به مجرمًا، واحتمال 1-p أن يكون مدنيًا؛ كلا اللاعبين على دراية بهذا الاحتمال (افتراض مسبق مشترك، يمكن تحويله إلى لعبة معلومات كاملة مع معلومات غير كاملة ).

يفضل الشريف الدفاع عن نفسه وإطلاق النار إذا أطلق المشتبه به النار، أو عدم إطلاق النار إذا لم يفعل (حتى لو كان المشتبه به مجرمًا). يفضل المشتبه به إطلاق النار إذا كان مجرمًا، حتى لو لم يطلق الشريف النار، ولكنه يفضل عدم إطلاق النار إذا كان مدنيًا، حتى لو أطلق الشريف النار. وبالتالي، فإن مصفوفة العوائد لهذه اللعبة ذات الشكل الطبيعي لكلا اللاعبين تعتمد على نوع المشتبه به. تُعرَّف هذه اللعبة بـ${\displaystyle (N,A,T,p,u)}$، حيث:

• ن = {المشتبه به، الشريف}
• المشتبه _به = {إطلاق النار، لا}، _الشريف = {إطلاق النار، لا}
• المشتبه _به = {مجرم، مدني}، _الشريف = {*}
• p _للمجرم = p ، p _للمدني = (1 − p )
• يُفترض أن العوائد، u ، تُعطى على النحو التالي:

إذا كان كلا اللاعبين عقلانيين، وكلاهما يعلم أن كلا اللاعبين عقلانيين، وكل ما يعرفه أي لاعب معروف لدى كل لاعب (أي أن اللاعب 1 يعلم أن اللاعب 2 يعلم أن اللاعب 1 عقلاني، واللاعب 2 يعلم ذلك، وهكذا إلى ما لا نهاية - معرفة مشتركة )، فسيكون اللعب في اللعبة على النحو التالي وفقًا لتوازن بايزي مثالي: ^{[ 25 ] [ 26 ]}

عندما يكون نوع المشتبه به "مجرمًا"، فإن الاستراتيجية السائدة بالنسبة له هي إطلاق النار، وعندما يكون نوعه "مدنيًا"، فإن الاستراتيجية السائدة بالنسبة له هي عدم إطلاق النار؛ وبالتالي يمكن استبعاد الاستراتيجية البديلة المهيمنة تمامًا. بناءً على ذلك، إذا أطلق الشريف النار، فسيكون عائده 0 باحتمالية p، وعائده -1 باحتمالية ⁠${\displaystyle 1-p}$أي ، العائد المتوقع لـ${\displaystyle p-1}$إذا لم يطلق الشريف النار، فسيكون عائده -2 باحتمالية p، وعائده 0 باحتمالية 0 .${\displaystyle 1-p}$أي ، العائد المتوقع لـ${\displaystyle -2p}$وبالتالي ، سيطلق الشريف النار دائمًا إذا${\displaystyle p-1>-2p}$أي عندما​${\displaystyle p>1/3}$⁠ .

يرتبط سوق الليمون بمفهوم يُعرف باسم الاختيار السلبي .

يثبت

هناك سيارة مستعملة. اللاعب 1 هو مشترٍ محتمل مهتم بالسيارة. اللاعب 2 يملك السيارة ويعرف قيمتها (مدى جودتها، إلخ). اللاعب 1 لا يعرف قيمتها ويعتقد أن قيمة السيارة بالنسبة للمالك (اللاعب 2) موزعة بالتساوي بين 0 و100 (أي أن كل فترة من فترتي القيمة المتساويتين في الطول من [0، 100] لها نفس الاحتمالية).

يمكن للاعب الأول المزايدة بمبلغ يتراوح بين 0 و100 (شاملًا). ويمكن للاعب الثاني قبول العرض أو رفضه. وتكون العوائد كما يلي:

• مكافأة اللاعب الأول: قيمة العرض المقبول هي${\displaystyle {\frac {3}{2}}v-p}$تم رفض العرض ، والقيمة هي 0
• عائد اللاعب الثاني: قيمة العرض المقبول هي p ، وقيمة العرض المرفوض هي v

ملاحظة جانبية: استراتيجية القطع

استراتيجية اللاعب 2: قبول جميع العروض التي تزيد عن حد معين P ^∗ ، ورفض العروض التي تقل عن P ^∗ ، تُعرف باستراتيجية الحد الأدنى، حيث يُطلق على P ^∗ اسم الحد الأدنى.

• لا يتم تداول سوى السيارات "الخالية من القيمة السوقية" (السيارات المستعملة في حالة سيئة، وتحديداً تلك التي لا تتجاوز قيمتها مبلغاً معيناً ).
• بإمكان اللاعب الأول ضمان عائد صفري عن طريق المزايدة بصفر؛ وبالتالي، في حالة التوازن، يكون p = 0
• وبما أنه لا يتم تداول سوى "السيارات المعيبة" (السيارات المستعملة في حالة سيئة)، فإن السوق ينهار.
• لا يمكن إجراء أي تجارة حتى عندما تكون التجارة فعالة اقتصادياً ^{[ 27 ]}

ستواجه شركة جديدة (اللاعب 1) ترغب في دخول سوق تحتكرها شركة كبيرة نوعين من المحتكرين (اللاعب 2): النوع الأول ممنوع، والنوع الثاني مسموح به. لن يمتلك اللاعب 1 معلومات كاملة عن اللاعب 2، لكنه قد يستنتج احتمالية ظهور النوعين من خلال معرفة ما إذا كانت الشركة السابقة التي دخلت السوق قد مُنعت من الدخول، وهذا ما يُعرف بلعبة بايز. ويعود سبب هذه التقديرات إلى وجود تكاليف منع يتحملها اللاعب 2، والذي قد يضطر إلى إجراء تخفيضات كبيرة في الأسعار لمنع اللاعب 1 من دخول السوق، لذا سيمنع اللاعب 2 اللاعب 1 عندما يكون الربح الذي سيجنيه من دخول السوق أكبر من تكاليف المنع.