مثلث الجرس

في الرياضيات ، يُعرف مثلث بيل بأنه مثلث من الأعداد يُشابه مثلث باسكال ، حيث تمثل قيمه تقسيمات مجموعة يكون فيها عنصر معين هو أكبر عنصر منفرد . سُمي بهذا الاسم لارتباطه الوثيق بأعداد بيل ، ^{[ 1 ]} التي يمكن إيجادها على جانبي المثلث، والتي سُميت بدورها نسبةً إلى إريك تمبل بيل . اكتُشف مثلث بيل بشكل مستقل من قِبل العديد من الباحثين، بدءًا من تشارلز ساندرز بيرس ( 1880 ) ووصولًا إلى ألكسندر أيتكن ( 1933 ) وكوهن وآخرون (1962) ، ولذلك يُعرف أيضًا باسم مصفوفة أيتكن أو مثلث بيرس . ^{[ 2 ]}  

تُقدّم مصادر مختلفة المثلث نفسه باتجاهات مختلفة، بعضها معكوس عن بعضها البعض. ^{[ 3 ]} وبصيغة مشابهة لصيغة مثلث باسكال، وبالترتيب المذكور في الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة (OEIS)، فإن صفوفه القليلة الأولى هي: ^{[ 2 ]}

 1 1 2 2 3 5 5 7 10 15 15 20 27 37 52 52 67 87 114 151 203 203 255 322 409 523 674 877

يمكن إنشاء مثلث بيل بوضع الرقم 1 في خانته الأولى. بعد ذلك، تُملأ الخانة الموجودة في أقصى اليسار في كل صف من صفوف المثلث بنسخ الخانة الموجودة في أقصى اليمين في الصف السابق. أما الخانات المتبقية في كل صف، فتُملأ وفقًا لقاعدة مشابهة جدًا لقاعدة مثلث باسكال : وهي مجموع القيمتين الموجودتين على يسار الخانة وفي أعلى يسارها.

وهكذا، بعد وضع الرقم 1 في الصف العلوي، يصبح آخر رقم في صفه، ويُنسخ إلى أقصى اليسار في الصف التالي. أما الرقم 2، وهو القيمة الثالثة في المثلث، فهو مجموع الرقمين السابقين له، أحدهما أعلى منه والآخر على يساره. وباعتباره آخر رقم في صفه، يُنسخ الرقم 2 إلى الصف الثالث، وتستمر العملية على المنوال نفسه.

تمثل أعداد بيل ، على جانبي المثلث، عدد طرق تقسيم مجموعة منتهية إلى مجموعات جزئية، أو ما يعادلها، عدد علاقات التكافؤ على المجموعة. يقدم صن وو (2011) التفسير التوافقي التالي لكل قيمة في المثلث. وباتباع صن وو، لنفترض أن A _{_n,k} تمثل القيمة التي تقع على بعد k موضع من اليسار في الصف n من المثلث، مع ترقيم قمة المثلث A _{_1,1} . عندئذٍ ، تمثل A _{_n,k} عدد تقسيمات المجموعة {1،  2،  ...، n + 1} التي يكون فيها العنصر k + 1 هو العنصر الوحيد في مجموعته، وكل عنصر ذي رقم أعلى ينتمي إلى مجموعة تحتوي على أكثر من عنصر. أي أن k + 1 يجب أن يكون أكبر عنصر منفرد في التقسيم.       

على سبيل المثال، يُرمز للرقم 3 في منتصف الصف الثالث من المثلث، وفقًا لترميزهم، بالرمز A _3,2 ، وهو يُمثل عدد تقسيمات المجموعة {1،  2،  3،  4} التي يكون فيها 3 هو أكبر عنصر منفرد. يوجد ثلاثة من هذه التقسيمات:

{1}، {2، 4}، {3}

{1، 4}، {2}، {3}

{1، 2، 4}، {3}.

أما التقسيمات المتبقية لهذه العناصر الأربعة إما أنها لا تحتوي على 3 في مجموعة بمفردها، أو أنها تحتوي على مجموعة أحادية أكبر {4}، وفي كلتا الحالتين لا يتم احتسابها في A _3,2 .

وبنفس الترميز، قام صن وو (2011) بتوسيع المثلث بقطر آخر إلى يسار قيمه الأخرى، من الأرقام

A _{n ,0} = 1, 0, 1, 1, 4, 11, 41, 162, ... (المتتالية A000296 في OEIS )

حساب تقسيمات نفس المجموعة المكونة من n  +  1 عنصرًا حيث يكون العنصر الأول فقط عنصرًا منفردًا. المثلث الموسع لها هو ^{[ 4 ]}

 1 0 1 1 1 2 1 2 3 5 4 5 7 10 15 11 15 20 27 37 52 41 52 67 87 114 151 203 162 203 255 322 409 523 674 877

يمكن إنشاء هذا المثلث بشكل مشابه للنسخة الأصلية من مثلث بيل، ولكن بقاعدة مختلفة لبدء كل صف: القيمة الموجودة في أقصى اليسار في كل صف هي الفرق بين القيمتين الموجودة في أقصى اليمين واليسار في الصف السابق.

يقدم كوينتانس وكوونغ (2013) تفسيراً بديلاً ولكنه أكثر تقنية للأرقام في نفس المثلث الموسع .

يحتوي كل من القطرين الأيسر والأيمن لمثلث بيل على متتالية أعداد بيل : 1، 1، 2، 5، 15، 52، ... (مع غياب العنصر الأول في حالة القطر الأيمن). ويعطي القطر التالي الموازي للقطر الأيمن متتالية الفروق بين عددين متتاليين من أعداد بيل: 1، 3، 10، 37، ...، ويعطي كل قطر موازٍ لاحق متتالية الفروق بين الأقطار السابقة.

وبهذا الشكل، وكما لاحظ أيتكن (1933) ، يمكن تفسير هذا المثلث على أنه تطبيق لصيغة غريغوري-نيوتن للاستيفاء ، التي تجد معاملات متعددة الحدود من متتالية قيمها عند الأعداد الصحيحة المتتالية باستخدام الفروق المتتالية. تشبه هذه الصيغة إلى حد كبير علاقة تكرارية يمكن استخدامها لتعريف أعداد بيل.

مجموع كل صف من صفوف المثلث، 1، 3، 10، 37، ...، هو نفس تسلسل الفروق الأولى الظاهر في القطر الثاني من اليمين للمثلث. ^{[ 5 ]} العدد النوني في هذا التسلسل يحسب أيضًا عدد تقسيمات n عنصرًا إلى مجموعات جزئية، حيث تتميز إحدى المجموعات الجزئية عن البقية؛ على سبيل المثال، هناك 10 طرق لتقسيم ثلاثة عناصر إلى مجموعات جزئية ثم اختيار إحدى هذه المجموعات. ^{[ 6 ]}

وصف أيغنر (1999) مثلثًا مختلفًا من الأرقام، مع وجود أرقام بيل على جانب واحد فقط، ويتم تحديد كل رقم على أنه مجموع مرجح للأرقام القريبة في الصف السابق .

• أيغنر، مارتن (1999)، "توصيف أعداد بيل"، الرياضيات المتقطعة ، 205 ( 1-3 ): 207-210 ، doi : 10.1016/S0012-365X(99)00108-9 ، MR 1703260 .
• أيتكن، أ.س. (1933)، "مسألة في التوافيق"، ملاحظات رياضية ، 28 : 18-23 ، doi : 10.1017/S1757748900002334.
• كوهن، مارتن؛ إيفن، شيمون ؛ مينجر، كارل الابن ؛ هوبر، فيليب ك. (1962)، "ملاحظات رياضية: حول عدد تقسيمات مجموعة من n كائنًا متميزًا"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 69 (8): 782-785 ، doi : 10.2307/2310780 ، JSTOR 2310780 ، MR 1531841  .
• غاردنر، مارتن (1978)، "الأجراس: أعداد متعددة الاستخدامات يمكنها حساب تقسيمات مجموعة، والأعداد الأولية، وحتى القوافي"، مجلة ساينتفك أمريكان ، 238 (5): 24-30 ، رمز Bibcode : 1978SciAm.238e..24G ، doi : 10.1038/scientificamerican0578-24أُعيد طبعه مع ملحق بعنوان "أجراس المعبد الرنانة"، الفصل 2 من كتاب "الموسيقى الكسورية، والبطاقات الفائقة، والمزيد ... الترفيه الرياضي من مجلة ساينتفك أمريكان" ، دبليو إتش فريمان، 1992، الصفحات 24-38.
• بيرس، سي إس (1880)، "في جبر المنطق"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 3 (1): 15-57 ، doi : 10.2307/2369442 ، JSTOR 2369442 المثلث موجود في الصفحة  48.
• كوينتانس، جوسلين؛ كوونغ، هاريس (2013)، "تفسير توافقي لجداول فرق الأعداد كاتالان وبيل" (ملف PDF) ، الأعداد الصحيحة ، 13 : A29.
• شاليت، جيفري (1980)، "مثلث لأعداد بيل"، مجموعة من المخطوطات المتعلقة بمتتالية فيبوناتشي (ملف PDF) ، سانتا كلارا، كاليفورنيا: جمعية فيبوناتشي، الصفحات 69-71 ، MR 0624091  .
• سون، ييدونغ؛ وو، شياوجوان (2011)، "أكبر العناصر المفردة في تقسيمات المجموعات"، المجلة الأوروبية للتوافقية ، 32 (3): 369-382 ، arXiv : 1007.1341 ، doi : 10.1016/j.ejc.2010.10.011 ، MR 2764800 ، S2CID 30627275  .

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مثلث الجرس" . عالم الرياضيات .