سينغلتون (الرياضيات)

في الرياضيات ، المجموعة الأحادية (المعروفة أيضًا باسم مجموعة الوحدة ^{[ 1 ]} أو مجموعة النقطة الواحدة ) هي مجموعة تحتوي على عنصر واحد فقط . على سبيل المثال، المجموعة${\displaystyle \{0\}}$هو عنصر منفرد يكون عنصره الوحيد هو${\displaystyle 0}$.

في إطار نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، تضمن بديهية الانتظام أن لا توجد مجموعة عنصرًا في نفسها. وهذا يعني أن المجموعة المفردة تختلف بالضرورة عن العنصر الذي تحتويه، ^{[ 1 ]} وبالتالي 1 و${\displaystyle \{1\}}$ليستا الشيء نفسه، والمجموعة الفارغة تختلف عن المجموعة التي تحتوي على المجموعة الفارغة فقط. مجموعة مثل${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$هو عنصر مفرد لأنه يحتوي على عنصر واحد (وهو في حد ذاته مجموعة، ولكنه ليس عنصرًا مفردًا).

تُسمى المجموعة مجموعةً أحادية إذا وفقط إذا كان عدد عناصرها يساوي 1. في بناء فون نيومان للأعداد الطبيعية باستخدام نظرية المجموعات ، يُعرَّف العدد 1 بأنه المجموعة الأحادية.${\displaystyle \{0\}.}$

في نظرية المجموعات البديهية ، يُعد وجود المجموعات المفردة نتيجةً لبديهية الاقتران : لأي مجموعة A ، فإن البديهية المطبقة على A و A تؤكد وجود${\displaystyle \{A,A\},}$وهو نفس الشيء بالنسبة للعنصر الفردي${\displaystyle \{A\}}$(لأنها تحتوي على A ، ولا تحتوي على أي مجموعة أخرى، كعنصر).

إذا كانت A أي مجموعة و S أي عنصر منفرد، فإنه يوجد دالة واحدة فقط من A إلى S ، وهي الدالة التي تُرسل كل عنصر من A إلى العنصر الوحيد في S. وبالتالي، فإن كل عنصر منفرد هو كائن نهائي في فئة المجموعات .

تتميز المجموعة الأحادية بخاصية أن كل دالة منها إلى أي مجموعة أخرى هي دالة أحادية. المجموعة الوحيدة غير الأحادية التي تتمتع بهذه الخاصية هي المجموعة الفارغة .

كل مجموعة أحادية هي مرشح مسبق فائق . إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة و${\displaystyle x\in X}$ثم صعود${\displaystyle \{x\}}$في${\displaystyle X,}$وهي المجموعة${\displaystyle \{S\subseteq X:x\in S\},}$يُعد مرشحًا فائقًا رئيسيًا في${\displaystyle X}$علاوة على ذلك، كل مرشح فائق رئيسي على${\displaystyle X}$يكون بالضرورة على هذا الشكل. ^{[ 2 ]} تشير مبرهنة المرشح الفائق إلى وجود مرشحات فائقة غير رئيسية على كل مجموعة لانهائية (وتسمى هذه المرشحات الفائقة الحرة ). كل شبكة ذات قيم في مجموعة فرعية أحادية${\displaystyle X}$من هو شبكة فائقة السرعة في${\displaystyle X.}$

يحسب تسلسل الأعداد الصحيحة لأرقام بيل عدد أقسام مجموعة ( OEIS : A000110  )، وإذا تم استبعاد العناصر الفردية فإن الأرقام تكون أصغر ( OEIS : A000296  ).

غالباً ما تُستخدم الهياكل المبنية على الكائنات الفردية ككائنات نهائية أو كائنات صفرية من فئات مختلفة :

• يوضح البيان أعلاه أن المجموعات الفردية هي تحديداً الكائنات النهائية في فئة مجموعة المجموعات . لا توجد مجموعات أخرى نهائية.
• أي مجموعة أحادية تقبل بنية فضاء طوبولوجي فريدة (كلتا المجموعتين الجزئيتين مفتوحتان). هذه الفضاءات الطوبولوجية الأحادية هي كائنات نهائية في فئة الفضاءات الطوبولوجية والدوال المتصلة . لا توجد فضاءات أخرى نهائية في هذه الفئة.
• أي مجموعة أحادية تقبل بنية زمرة فريدة (حيث يكون العنصر الفريد هو العنصر المحايد ). هذه الزمر الأحادية هي كائنات صفرية في فئة الزمر وتشاكلات الزمر . لا توجد زمر أخرى نهائية في تلك الفئة.

ليكن S فئة معرفة بواسطة دالة مؤشر$${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$$ يُطلق على S اسم عنصر منفرد إذا وفقط إذا كان هناك بعض${\displaystyle y\in X}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x\in X,}$$${\displaystyle b(x)=(x=y).}$$

تم تقديم التعريف التالي في كتاب Principia Mathematica بواسطة وايتهيد وراسل : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \iota }$'${\displaystyle x={\hat {y}}(y=x)}$د.ف.

الرمز${\displaystyle \iota }$'${\displaystyle x}$يشير إلى العنصر المفرد${\displaystyle \{x\}}$و${\displaystyle {\hat {y}}(y=x)}$يشير إلى فئة الكائنات المطابقة لـ${\displaystyle x}$أي${\displaystyle \{y:y=x\}}$يظهر هذا التعريف في المقدمة، مما يُبسّط الحجة في المتن الرئيسي في بعض المواضع، حيث يظهر كقضية 51.01 (ص  357، المرجع نفسه). وتُستخدم هذه القضية لاحقًا لتعريف العدد الأصلي 1 على النحو التالي:

${\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota }$'${\displaystyle x)}$د.ف.

أي أن 1 هو فئة العناصر المفردة. هذا هو التعريف 52.01 (ص  363 المرجع نفسه).

• الفئة (نظرية المجموعات) - مجموعة من المجموعات في الرياضيات يمكن تعريفها بناءً على خاصية من خصائص عناصرها 
• النقطة المعزولة – نقطة في مجموعة جزئية S لا توجد حولها أي نقاط أخرى من S 
• تحديد التفرد الكمي – المُكمِّم المنطقي 
• العنصر الأساسي - مفهوم في نظرية المجموعات