نظرية بنديكسون-دولاك

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية بنديكسون-دولاك نظريةً في الأنظمة الديناميكية تنفي وجود مدارات دورية للتدفقات ثنائية الأبعاد. يمكن هنا تخيّل التدفق كسطح بركة ماء. إذا أسقطتَ ورقةً في بركة، فإنها ستنجرف مع تيارات الماء، والمدار الدوري هو عودة الورقة إلى نفس المكان. باختصار، تنصّ النظرية على أنه إذا أمكن تشويه مجال التيارات عن طريق شدّ البركة وضغطها كصفيحة مطاطية، بحيث يكون التدفق إما متمددًا دائمًا أو منكمشًا دائمًا، فلن يكون هناك مدار دوري.

تنص النظرية رسميًا على أنه إذا كان هناك${\displaystyle C^{1}}$وظيفة${\displaystyle \varphi (x,y)}$(وتسمى دالة دولاك) بحيث يكون التعبير

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}}$

له نفس الإشارة (${\displaystyle \neq 0}$) في كل مكان تقريبًا في منطقة متصلة ببساطة من الطائرة، ثم نظام الطائرة المستقل

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,y),}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=g(x,y)}$

لا توجد حلول دورية غير ثابتة تقع بالكامل داخل المنطقة. ^{[ 1 ]} "في كل مكان تقريبًا" تعني كل مكان باستثناء ربما مجموعة قياسها صفر، مثل نقطة أو خط.

تم وضع النظرية لأول مرة من قبل عالم الرياضيات السويدي إيفار بنديكسون في عام 1901 وتم تحسينها بشكل أكبر من قبل عالم الرياضيات الفرنسي هنري دولاك في عام 1923 باستخدام نظرية غرين .

دون فقدان للعمومية، لنفترض وجود دالة${\displaystyle \varphi (x,y)}$بحيث

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}>0}$

في منطقة متصلة ببساطة${\displaystyle R}$. يترك${\displaystyle C}$يكون مسارًا مغلقًا للنظام المستقل للطائرة في${\displaystyle R}$، معنى${\displaystyle f(t+T,x,y)=f(t,x,y)}$و${\displaystyle g(t+T,x,y)=g(t,x,y)}$للجميع${\displaystyle t\geq 0}$وبعض${\displaystyle T>0}$على المنحنى${\displaystyle C}$. يترك${\displaystyle D}$كن الجزء الداخلي من${\displaystyle C}$ثم بحسب نظرية غرين ،

$\begin{aligned}\iint_{D}\left(\frac{\partial(\varphi f)}{\partial x}+\frac{\partial(\varphi g)}{\partial y}\right)\,dx\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial(\varphi{\dot{x}})}{\partial x}+\frac{\partial(\varphi{\dot{y}})}{\partial y}\right)\,dx\,dy\\[6pt]=\oint_{C}\varphi\left(-{\dot{y}}\,dx+{\dot{x}}\,dy\right)=\oint_{C}\varphi\left(-{\dot{y}}{\dot {x}}+{\dot {x}}{\dot {y}}\right)\,dt=0\end{aligned}}}$

مع${\displaystyle {\dot {x}}=dx/dt}$و${\displaystyle {\dot {y}}=dy/dt}$وهي صيغة نيوتن، والمساواة الأولى الناتجة عن النظام المستقل المستوي. وبسبب الإشارة الثابتة، يجب أن يكون ناتج التكامل الأيسر في السطر السابق عددًا موجبًا. ولكن على${\displaystyle C}$،${\displaystyle dx={\dot {x}}\,dt}$و${\displaystyle dy={\dot {y}}\,dt}$إذن، فإنّ التكامل السفلي يساوي صفرًا في كل مكان، ولهذا السبب فإنّ التكامل الأيمن يساوي  صفرًا. وهذا تناقض، لذا لا يمكن أن يكون هناك مسار مغلق كهذا.${\displaystyle C}$.

• الدورة الحدية §  إيجاد الدورات الحدية
• نظرية ليوفيل (هاميلتونيان) ، ونظرية مماثلة مع${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial H(q,p)}{\partial p}}\,(=f(q,p)),{\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H(q,p)}{\partial q}}\,(=g(q,p))}$