في كل مكان تقريباً

في نظرية القياس (فرع من التحليل الرياضي )، تتحقق خاصية ما في كل مكان تقريبًا إذا كانت المجموعة التي تتحقق فيها هذه الخاصية، من الناحية التقنية، تشمل جميع الاحتمالات تقريبًا. يُعد مفهوم "في كل مكان تقريبًا" مفهومًا مصاحبًا لمفهوم القياس الصفري ، وهو مماثل لمفهوم " شبه مؤكد" في نظرية الاحتمالات .

بتعبير أدق، تتحقق خاصية ما في كل مكان تقريبًا إذا كانت تنطبق على جميع عناصر المجموعة باستثناء مجموعة جزئية قياسها صفر، ^{[ 1 ] [ 2 ]} أو بصورة مكافئة، إذا كانت مجموعة العناصر التي تنطبق عليها الخاصية هي مجموعة جزئية صفرية . في الحالات التي لا يكون فيها القياس كاملًا ، يكفي أن تكون المجموعة محتواة ضمن مجموعة قياسها صفر. عند مناقشة مجموعات الأعداد الحقيقية ، يُفترض عادةً استخدام قياس ليبيغ ما لم يُذكر خلاف ذلك.

يُختصر المصطلح في كل مكان تقريبًا إلى ae ؛ ^{[ 3 ]} وفي الأدبيات القديمة يُستخدم pp ، للدلالة على العبارة الفرنسية المكافئة presque partout . ^{[ 4 ]}

المجموعة ذات القياس الكامل هي مجموعة يكون مكملها ذا قياس صفر. في نظرية الاحتمالات، تشير المصطلحات " شبه مؤكد" و "شبه مؤكد" و "دائمًا تقريبًا" إلى أحداث احتمالها 1، ولا تشمل بالضرورة جميع النتائج. هذه هي تحديدًا مجموعات القياس الكامل في فضاء الاحتمالات.

أحيانًا، بدلًا من القول بأن خاصية ما تنطبق في كل مكان تقريبًا، يقال إن الخاصية تنطبق على جميع العناصر تقريبًا (على الرغم من أن مصطلح " جميع العناصر تقريبًا " يمكن أن يكون له معانٍ أخرى أيضًا).

لو${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$هو فضاء قياس ، خاصية${\displaystyle P}$ويُقال إنها تنطبق على كل مكان تقريبًا في${\displaystyle X}$إذا وُجدت مجموعة قابلة للقياس${\displaystyle N\in \Sigma }$مع${\displaystyle \mu (N)=0}$وكل شيء${\displaystyle x\in X\setminus N}$امتلاك العقار${\displaystyle P}$[ ^{5 ] وهناك} طريقة شائعة أخرى للتعبير عن نفس الشيء وهي القول بأن "كل نقطة تقريبًا تحقق${\displaystyle P\,}$أو أن "لكل شيء تقريبًا"${\displaystyle x}$،${\displaystyle P(x)}$"معًا".

ليس من الضروري أن تكون المجموعة${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$له قياس صفري؛ قد لا يكون قابلاً للقياس. وفقًا للتعريف أعلاه، يكفي أن ${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$أن تكون موجودة في مجموعة ما${\displaystyle N}$أي قابل للقياس وله قياس يساوي صفرًا. ومع ذلك، فإن هذه التفاصيل التقنية تتلاشى عند النظر في فضاء قياس كامل : إذا${\displaystyle X}$يكتمل بعد ذلك${\displaystyle N}$يوجد قياسه صفر إذا وفقط إذا${\displaystyle \{x\in X:\neg P(x)\}}$يمكن قياسه بصفر قياس.

• إذا كانت الملكية${\displaystyle P}$ينطبق هذا في كل مكان تقريبًا ويتضمن الملكية${\displaystyle Q}$ثم الملكية${\displaystyle Q}$ينطبق هذا في كل مكان تقريبًا. وينتج هذا عن رتابة المقاييس.
• لو${\displaystyle (P_{n})}$إذا كانت سلسلة منتهية أو قابلة للعد من الخصائص، كل منها ينطبق في كل مكان تقريبًا، فإن اقترانها${\displaystyle \forall nP_{n}}$ينطبق هذا في كل مكان تقريبًا. وينتج هذا عن خاصية الجمع الجزئي المعدود للقياسات.
• على النقيض من ذلك، إذا${\displaystyle (P_{x})_{x\in \mathbf {R} }}$هي عائلة لا تُحصى من الخصائص، كل منها ينطبق على كل مكان تقريبًا، ثم اقترانها${\displaystyle \forall xP_{x}}$لا ينطبق هذا بالضرورة في كل مكان تقريبًا. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \mu }$مقياس ليبيغ${\displaystyle X=\mathbf {R} }$و${\displaystyle P_{x}}$هي خاصية عدم المساواة${\displaystyle x}$(أي${\displaystyle P_{x}(y)}$يكون صحيحاً إذا وفقط إذا${\displaystyle y\neq x}$ثم كل${\displaystyle P_{x}}$ينطبق هذا في كل مكان تقريبًا، ولكن حرف العطف${\displaystyle \forall xP_{x}}$لا ينطبق على أي مكان.

نتيجةً للخاصيتين الأوليين، يُمكن في كثير من الأحيان الاستدلال حول "كل نقطة تقريبًا" في فضاء القياس كما لو كانت نقطة عادية وليست مجردة. ويُستخدم هذا غالبًا ضمنيًا في الحجج الرياضية غير الرسمية. مع ذلك، يجب توخي الحذر عند استخدام هذا النمط من الاستدلال نظرًا للنقطة الثالثة المذكورة أعلاه: فالتعميم الشامل على مجموعات غير قابلة للعد من العبارات صحيح بالنسبة للنقاط العادية، ولكنه غير صحيح بالنسبة لـ"كل نقطة تقريبًا".

• إذا كانت f  : R → R دالة قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ ،${\displaystyle f(x)\geq 0}$في كل مكان تقريباً، إذن$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0}$$لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle a<b}$مع المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle f(x)=0}$في كل مكان تقريباً.
• إذا كانت f  : [ a , b ] → R دالة رتيبة ، فإن f قابلة للتفاضل في كل مكان تقريبًا.
• إذا كانت الدالة f  : R → R قابلة للقياس وفقًا لليبيغ و$${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty }$$لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle a<b}$إذن، توجد مجموعة E (تعتمد على f ) بحيث إذا كان x ينتمي إلى E ، فإن متوسط ​​ليبيغ$${\displaystyle {\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t)\,dt}$$يتقارب إلى f ( x ) عندما${\displaystyle \epsilon }$يتناقص إلى الصفر. تُسمى المجموعة E مجموعة ليبيغ للدالة f . ويمكن إثبات أن مكملتها لها قياس يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، يتقارب متوسط ​​ليبيغ للدالة f إلى f تقريبًا في كل مكان.
• تكون الدالة المحدودة f  : [ a , b ] → R قابلة للتكامل وفقًا لريمان إذا وفقط إذا كانت متصلة في كل مكان تقريبًا.
• ومن باب الفضول، فإن التوسع العشري لكل عدد حقيقي تقريبًا في الفترة [0، 1] يحتوي على النص الكامل لمسرحيات شكسبير ، مشفرًا في ASCII ؛ وبالمثل بالنسبة لكل تسلسل أرقام محدود آخر، انظر العدد الطبيعي .

خارج سياق التحليل الحقيقي، يُعرَّف مفهوم الخاصية الصحيحة في كل مكان تقريبًا أحيانًا بدلالة المرشح الفائق . المرشح الفائق على مجموعة X هو مجموعة قصوى F من المجموعات الجزئية من X بحيث:

1. إذا كان U ∈ F و U ⊆ V فإن V ∈ F
2. تقاطع أي مجموعتين في F ينتمي إلى F
3. المجموعة الفارغة ليست في F

تتحقق الخاصية P للنقاط في X في كل مكان تقريبًا، بالنسبة إلى مرشح فائق F ، إذا كانت مجموعة النقاط التي تتحقق فيها P موجودة في F.

على سبيل المثال، أحد أشكال نظام الأعداد الحقيقية الفائقة يُعرّف العدد الحقيقي الفائق بأنه فئة تكافؤ من المتتاليات المتساوية تقريبًا في كل مكان كما هو محدد بواسطة مرشح فائق.

إن تعريف " تقريبًا في كل مكان" من حيث المرشحات الفائقة يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتعريف من حيث المقاييس، لأن كل مرشح فائق يحدد مقياسًا مضافًا بشكل محدود يأخذ القيمتين 0 و1 فقط، حيث يكون للمجموعة مقياس 1 إذا وفقط إذا كانت مدرجة في المرشح الفائق.

مع هذا المفهوم "تقريبًا في كل مكان"، يمكن فهم نظرية Łoś على أنها تقول أن الصيغة من الدرجة الأولى صحيحة في حاصل الضرب الفائق إذا وفقط إذا كانت صحيحة في جميع العوامل تقريبًا.

• دالة ديريشليه ، وهي دالة تساوي صفرًا في كل مكان تقريبًا.
• وظيفة كانتور

• بيلينغسلي، باتريك (1995). الاحتمال والقياس (  الطبعة الثالثة). نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-00710-2.