مساحة متصلة ببساطة

في علم الطوبولوجيا ، يُطلق على الفضاء الطوبولوجي اسم "متصل ببساطة" (أو "متصل من الدرجة 1" أو "متصل ببساطة من الدرجة 1 " ^{[ 1 ]} ) إذا كان متصلاً مسارياً ، بحيث يمكن تحويل أي مسار بين نقطتين بشكل متواصل إلى أي مسار آخر مماثل مع الحفاظ على النقطتين الأصليتين. وبشكل بديهي، يتوافق هذا مع فضاء لا يحتوي على أجزاء منفصلة ولا ثقوب تخترقه بالكامل، لأن مسارين يدوران حول جانبين مختلفين من ثقب كهذا لا يمكن تحويلهما بشكل متواصل إلى بعضهما البعض. تُعد المجموعة الأساسية للفضاء الطوبولوجي مؤشراً على عدم إمكانية أن يكون هذا الفضاء متصلاً ببساطة: يكون الفضاء الطوبولوجي المتصل مسارياً متصلاً ببساطة إذا وفقط إذا كانت مجموعته الأساسية تافهة.

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم الاتصال البسيط إذا كان متصلاً مسارياً وأي حلقة فيه${\displaystyle X}$محدد بواسطة${\displaystyle f:S^{1}\to X}$يمكن اختزالها إلى نقطة: توجد خريطة متصلة${\displaystyle F:D^{2}\to X}$بحيث${\displaystyle F}$يقتصر على${\displaystyle S^{1}}$يكون${\displaystyle f.}$هنا،${\displaystyle S^{1}}$و${\displaystyle D^{2}}$يشير إلى دائرة الوحدة وقرص الوحدة المغلق في المستوى الإقليدي على التوالي.

الصيغة المكافئة هي كالتالي:${\displaystyle X}$يكون متصلاً ببساطة إذا وفقط إذا كان متصلاً بمسار، وكلما${\displaystyle p:[0,1]\to X}$و${\displaystyle q:[0,1]\to X}$هما مساران (أي خرائط متصلة) لهما نفس نقطة البداية والنهاية (${\displaystyle p(0)=q(0)}$و${\displaystyle p(1)=q(1)}$)، ثم${\displaystyle p}$يمكن تشويهها باستمرار إلى${\displaystyle q}$مع تثبيت كلا الطرفين. وبشكل صريح، يوجد تماثل.${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$بحيث${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$و${\displaystyle F(x,1)=q(x).}$

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يكون الاتصال بسيطًا إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$متصلة مسارياً والمجموعة الأساسية لـ${\displaystyle X}$يكون العنصر عند كل نقطة تافهاً، أي أنه يتكون فقط من عنصر الوحدة . وبالمثل،${\displaystyle X}$تكون متصلة ببساطة إذا وفقط إذا كان ذلك صحيحًا لجميع النقاط${\displaystyle x,y\in X,}$مجموعة التشكلات${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$في الزمرة الأساسية لـ${\displaystyle X}$يحتوي على عنصر واحد فقط. ^{[ 2 ]}

في التحليل المركب : مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$يكون الاتصال بسيطًا إذا وفقط إذا كان كلاهما${\displaystyle X}$ومتممتها في كرة ريمان متصلتان. تُقدّم مجموعة الأعداد المركبة ذات الجزء التخيلي الأكبر من الصفر والأصغر من الواحد مثالًا على مجموعة فرعية مفتوحة وغير محدودة ومتصلة من المستوى، ومتممتها غير متصلة. ومع ذلك، فهي متصلة ببساطة. تخفيف الشرط الذي${\displaystyle X}$يؤدي الاتصال إلى استكشاف المجموعات الفرعية المفتوحة في المستوى ذات المكمل الممتد المتصل. على سبيل المثال، تمتلك مجموعة مفتوحة (ليست بالضرورة متصلة) مكملًا ممتدًا متصلًا عندما يكون كل مكون من مكوناتها المتصلة متصلًا اتصالًا بسيطًا.

بصورة غير رسمية، يكون الجسم في فضاءنا متصلاً اتصالاً بسيطاً إذا كان يتكون من قطعة واحدة ولا يحتوي على أي "ثقوب" تخترقه بالكامل. على سبيل المثال، لا يُعتبر كل من الدونات وكوب القهوة (ذي المقبض) متصلين اتصالاً بسيطاً، بينما تُعتبر كرة مطاطية مجوفة متصلة اتصالاً بسيطاً. في بُعدين، لا تُعتبر الدائرة متصلة اتصالاً بسيطاً، بينما يُعتبر القرص والخط كذلك. تُسمى الفضاءات المتصلة ولكنها ليست متصلة اتصالاً بسيطاً بالفضاءات غير المتصلة اتصالاً بسيطاً أو الفضاءات المتصلة اتصالاً متعدداً .

يستثني التعريف الثقوب على شكل مقبض فقط . الكرة (أو ما يعادلها، كرة مطاطية مجوفة من الداخل) متصلة ببساطة، لأن أي حلقة على سطح الكرة يمكن أن تنكمش إلى نقطة حتى لو كان بها "ثقب" في مركزها المجوف. أما الشرط الأقوى، وهو ألا يحتوي الجسم على أي ثقوب من أي بُعد، فيُسمى قابلية الانكماش .

• المستوى الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$الأمر متصل ببساطة، ولكن${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ناقص الأصل${\displaystyle (0,0)}$ليس كذلك. إذا${\displaystyle n>2,}$ثم كلاهما${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يتم توصيل النقاط التي تسبق نقطة الأصل ببساطة.
• وبالمثل: الكرة ذات الأبعاد n${\displaystyle S^{n}}$يكون الاتصال بسيطًا إذا وفقط إذا${\displaystyle n\geq 2.}$
• كل مجموعة فرعية محدبة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$الأمر بسيط ومتصل.
• إن الطارة والأسطوانة (الإهليلجية) وشريط موبيوس والمستوى الإسقاطي وزجاجة كلاين ليست متصلة ببساطة.
• كل فضاء متجهي طوبولوجي متصل ببساطة؛ وهذا يشمل فضاءات باناخ وفضاءات هيلبرت .
• ل${\displaystyle n\geq 2,}$المجموعة المتعامدة الخاصة${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$لا يرتبط ببساطة والمجموعة الوحدوية الخاصة${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$الأمر بسيط ومتصل.
• التكثيف بنقطة واحدة لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$ليس الأمر مجرد اتصال (على الرغم من${\displaystyle \mathbb {R} }$(متصل ببساطة).
• الطابور الطويل${\displaystyle L}$متصلة ببساطة، ولكن تكثيفها، الخط الطويل الممتد${\displaystyle L^{*}}$ليس كذلك (لأنه ليس متصلاً بالمسار أصلاً).

يكون السطح ( المتشعب الطوبولوجي ثنائي الأبعاد ) متصلاً ببساطة إذا وفقط إذا كان متصلاً وكان جنسه (عدد مقابض السطح) يساوي 0.

غطاء شامل لأي مساحة (مناسبة)${\displaystyle X}$هو فضاء متصل ببساطة ويرتبط بـ${\displaystyle X}$عبر خريطة تغطية .

لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$متكافئة من حيث التماثل و${\displaystyle X}$إذا كان متصلاً ببساطة، فكذلك يكون${\displaystyle Y.}$

لا يشترط أن تكون صورة مجموعة بسيطة الاتصال تحت تأثير دالة متصلة بسيطة الاتصال. خذ على سبيل المثال المستوى المركب تحت تأثير الدالة الأسية: صورته هي${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$وهو أمر غير متصل ببساطة.

يُعد مفهوم الترابط البسيط مهمًا في التحليل المركب نظرًا للحقائق التالية:

• تنص نظرية كوشي التكاملية على أنه إذا${\displaystyle U}$هي مجموعة فرعية مفتوحة بسيطة الاتصال من المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} ,}$و${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$إذا كانت دالة تامة الشكل ، فإن${\displaystyle f}$يحتوي على مضاد للمشتق${\displaystyle F}$على${\displaystyle U,}$وقيمة كل تكامل خطي في${\displaystyle U}$مع التكامل${\displaystyle f}$يعتمد فقط على نقاط النهاية${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$من المسار، ويمكن حسابه على النحو التالي${\displaystyle F(v)-F(u).}$وبالتالي، فإن التكامل لا يعتمد على المسار المحدد الذي يربط${\displaystyle u}$و${\displaystyle v,}$
• تنص نظرية ريمان للتطبيقات على أن أي مجموعة جزئية غير فارغة مفتوحة وبسيطة الاتصال من${\displaystyle \mathbb {C} }$(باستثناء${\displaystyle \mathbb {C} }$(نفسها) مكافئة توافقياً للقرص الواحد .

كما أن مفهوم الاتصال البسيط هو شرط أساسي في حدسية بوانكاريه .

• تراجع التشوه – عملية ربط مستمرة تحافظ على الموضع من فضاء طوبولوجي إلى فضاء فرعي. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• مساحة متصلة محليًا ببساطة
• الفضاء المتصل بـ n
• الفضاء أحادي التماسك - نوع من أنواع الفضاء الطوبولوجي 

• سبانير، إدوين (ديسمبر 1994). الطوبولوجيا الجبرية . سبرينغر. ISBN 0-387-94426-5.
• كونواي، جون (1986). دوال المتغير المركب الواحد 1. سبرينغر. ISBN 0-387-90328-3.
• بورباكي، نيكولاس (2005). مجموعات الكذب وجبر الكذب . سبرينغر. رقم ISBN 3-540-43405-4.
• جاميلين ، ثيودور (يناير 2001). تحليل معقد . سبرينغر. رقم ISBN 0-387-95069-9.
• جوشي، كابلي (أغسطس 1983). مقدمة في الطوبولوجيا العامة . دار نشر العصر الجديد. رقم ISBN 0-85226-444-5.