اختبار بيرك جونز

يشير اختبار بيرك-جونز (أو اختبار BJ ) إلى فئة من الاختبارات الإحصائية غير المعلمية لقياس مدى ملاءمة البيانات، وتُستخدم لتحديد ما إذا كانت مجموعة من البيانات المرصودة تتبع توزيعًا احتماليًا محددًا . وقد طُوّر هذا الاختبار من قِبل روبرت هـ. بيرك ودوغلاس هـ. جونز عام 1979، وهو مصمم خصيصًا ليكون أكثر قوة من اختبار كولموغوروف-سميرنوف في أطراف التوزيع. ^{[ 1 ]}

في اختبار الفرضيات الإحصائية ، يقارن اختبار جودة المطابقة دالة التوزيع التجريبية بدالة التوزيع التراكمي النظرية . ورغم أن اختبار كولموغوروف-سميرنوف يُعدّ أشهر هذه الطرق، إلا أنه يُنتقد غالبًا لعدم حساسيته للانحرافات التي تحدث عند أطراف التوزيع (ذيوله).

يعالج اختبار بيرك-جونز هذا القصور من خلال تبني نهج نسبة الاحتمال الأقصى "النقطي" . وهو لا يزال ينتمي إلى عائلة الإحصاءات من نوع السوبريموم، ولكنه يتضمن أيضًا خصائص نظرية المعلومات، وتحديدًا تباعد كولباك-لايبير .

يترك${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$أن تكون متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع (iid) ذات دالة توزيع تجريبية${\displaystyle \mathbb {F} _{n}(x)}$نرغب في اختبار الفرضية الصفرية${\displaystyle H_{0}:F=F_{0}}$.

إحصائية بيرك-جونز${\displaystyle R_{n}}$يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle R_{n}=\sup _{x}K(\mathbb {F} _{n}(x),F_{0}(x))}$

أين${\displaystyle K(p,q)}$هو تباعد كولباك-لايبير الثنائي (أو الإنتروبيا النسبية )، والذي يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle K(p,q)=p\log \left({\frac {p}{q}}\right)+\left(1-p\right)\log \left({\frac {1-p}{1-q}}\right)}$

يمكن أيضًا التعبير عن الإحصائية بدلالة إحصائيات الترتيب${\displaystyle X_{(1)}<X_{(2)}<\cdots <X_{(n)}}$. لسعر ثابت${\displaystyle x}$،${\displaystyle n\,\mathbb {F} _{n}(x)}$يتبع التوزيع الثنائي${\displaystyle {\text{Bin}}(n,F_{0}(x))}$تُحدد إحصائية BJ بشكل فعال${\displaystyle x}$الذي يزيد من نسبة الاحتمال لاختبار احتمال نجاح هذا التوزيع ذي الحدين. ^{[ 2 ]}

يرتبط اختبار بيرك-جونز ارتباطًا وثيقًا بإحصائية النقد الأعلى (HC)، التي اقترحها جون توكي في عام 1976، وطورها ديفيد دونوهو وجيانشون جين في عام 2004. ويُستخدم كلا الاختبارين للكشف عن الإشارات المتفرقة .

بينما يعتمد اختبار BJ على نسبة الاحتمال، فإن إحصائية HC تعتمد على مسافة معيارية (وهي في الأساس نهج درجة Z ):

${\displaystyle {\text{HC}}_{n}=\sup _{x}{\frac {{\sqrt {n}}\left(\mathbb {F} _{n}(x)-F_{0}(x)\right)}{\sqrt {F_{0}(x)\left(1-F_{0}(x)\right)}}}}$

بشكل تقاربي (كما${\displaystyle n}$عندما تقترب من اللانهاية، يكون اختبار BJ واختبار HC متكافئين في قدرتهما على كشف الخلائط المتفرقة. تحديدًا، ينتمي كلاهما إلى عائلة إحصاءات ريني . مع ذلك، يُنظر إلى اختبار BJ على أنه "النسخة المعلوماتية" من اختبار HC. عند تطبيق متسلسلة تايلور على تباعد كولباك-لايبير${\displaystyle K(p,q)}$حول${\displaystyle p=q}$، الحد الأول غير الصفري في التوسع يتناسب مع مربع إحصائية HC: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle K(p,q)\approxeq {\frac {(pq)^{2}}{2q(1-q)}}}$

وهذا يدل على أن إحصائية النقد الأعلى هي في الأساس تقريب تربيعي محلي لإحصائية بيرك-جونز.

في البيئات عالية الأبعاد حيث تكون الإشارة "نادرة وضعيفة"، يمتلك كلا الاختبارين نفس حد الكشف (النقطة التي يصبح عندها من الممكن رياضيًا التمييز بين الإشارة والضوضاء). ومع ذلك، غالبًا ما يُفضل اختبار BJ في العينات المحدودة من${\displaystyle [0,1]}$الفاصل الزمني بشكل طبيعي أكثر من${\displaystyle Z}$المقام - النتيجة في HC.

تعتمد فعالية اختبار بيرك-جونز مقارنة بالطرق الأخرى بشكل كبير على طبيعة الانحراف عن الفرضية الصفرية.

طريقة الاختبار	تركيز الحساسية	أفضل حالة استخدام
كولموغوروف-سميرنوف	الوسط / المركز	انحرافات عامة في معظم البيانات.
أندرسون-دارلينج	ذيول مرجحة	حساسية الذيل المتوسطة؛ شائعة في الهندسة.
بيرك-جونز	ذيول متطرفة	إشارات متفرقة؛ الأمثلية القائمة على نسبة الاحتمالية.
النقد الأعلى	ذيول متطرفة	إشارات متفرقة؛${\displaystyle Z}$الأمثلية القائمة على النتيجة.

يُستخدم اختبار بيرك-جونز على نطاق واسع في:

• علم الجينوم : لتحديد الجينات ذات التعبير التفاضلي حيث من المتوقع أن تظهر نسبة صغيرة فقط من الجينات إشارة.
• كشف الإشارة : للكشف عن الإشارات الضعيفة والمتفرقة وسط خلفية من الضوضاء.
• التحليل التلوي : لدمج قيم p من دراسات مستقلة متعددة للكشف عن تأثير عالمي.

• اختبار أندرسون-دارلينج
• دالة التوزيع التجريبية
• اختبار كولموغوروف-سميرنوف
• تباعد كولباك-لايبير