نظرية تايلور

The precise statement of the most basic version of Taylor's theorem is as follows:

The polynomial appearing in Taylor's theorem is the ${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$-th order Taylor polynomial

$${\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$$

of the function ${\displaystyle f}$ at the point ${\displaystyle a}$. The Taylor polynomial is the unique "asymptotic best fit" polynomial in the sense that if there exists a function ${\displaystyle h_{k}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ and a ${\textstyle k}$-th order polynomial p such that

$${\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,}$$

then ${\displaystyle p=P_{k}}$تصف نظرية تايلور السلوك التقاربي لحد الباقي

$${\displaystyle R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}$$

وهو خطأ التقريب عند تقريب الدالة f باستخدام متعددة حدود تايلور الخاصة بها. باستخدام رمز θ الصغير ، تُقرأ عبارة نظرية تايلور على النحو التالي:

$${\displaystyle R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.}$$

في ظل افتراضات انتظام أقوى على f، توجد عدة صيغ دقيقة لحد الباقي R _k لكثير الحدود تايلور، وأكثرها شيوعًا هي التالية.

تُبرهن هذه التحسينات على نظرية تايلور عادةً باستخدام نظرية القيمة المتوسطة ، ومن هنا جاء الاسم. بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن هذه هي تحديدًا نظرية القيمة المتوسطة عندما${\textstyle k=0}$كما يمكن إيجاد تعابير أخرى مماثلة. على سبيل المثال، إذا كانت G ( t ) متصلة على الفترة المغلقة وقابلة للتفاضل بمشتقة غير معدومة على الفترة المفتوحة بين${\textstyle a}$و${\textstyle x}$، ثم

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}$$

لبعض الأرقام${\textstyle \xi }$بين${\textstyle a}$و${\textstyle x}$تتناول هذه النسخة صيغتي لاغرانج وكوشي للباقي كحالتين خاصتين، ويتم إثباتها أدناه باستخدام نظرية القيمة المتوسطة لكوشي . يتم الحصول على صيغة لاغرانج بأخذ${\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}$ويتم الحصول على صيغة كوشي عن طريق أخذ${\displaystyle G(t)=t-a}$.

إنّ صياغة الصيغة التكاملية للباقي أكثر تعقيدًا من الصياغات السابقة، وتتطلب فهمًا لنظرية تكامل لوبيغ للوصول إلى تعميمها الكامل. ومع ذلك، فهي صحيحة أيضًا بمعنى تكامل ريمان بشرط أن تكون المشتقة ( k  +  1) للدالة f متصلة على الفترة المغلقة [ a , x ].

بسبب الاستمرارية المطلقة للدالة f ^{( k )} على الفترة المغلقة بين${\textstyle a}$و${\textstyle x}$، مشتقها f ^{( k +1)} موجود كدالة L ¹ ، ويمكن إثبات النتيجة من خلال حساب رسمي باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل بالتجزئة .

من المفيد عمليًا في كثير من الأحيان تقدير حد الباقي الظاهر في تقريب تايلور، بدلًا من امتلاك صيغة دقيقة له. لنفترض أن الدالة f قابلة للتفاضل ( k + 1) مرة بشكل مستمر في فترة I تحتوي على a . ولنفترض وجود ثابتين حقيقيين q و Q بحيث

$${\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}$$

في جميع أنحاء I. ثم يحقق حد الباقي المتباينة ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}$$

إذا كان x > a ، وتقدير مماثل إذا كان x < a . هذه نتيجة بسيطة لصيغة لاغرانج للباقي. على وجه الخصوص، إذا

$${\displaystyle |f^{(k+1)}(x)|\leq M}$$

على فترة I = ( a − r , a + r ) مع بعض${\displaystyle r>0}$، ثم

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}}$$

لكل x ∈ ( a − r , a + r ). تُسمى المتباينة الثانية بالتقدير المنتظم ، لأنها صحيحة بشكل منتظم لكل x على الفترة ( a − r , a + r ).

لنفترض أننا نرغب في إيجاد القيمة التقريبية للدالة${\textstyle f(x)=e^{x}}$على الفترة${\textstyle [-1,1]}$مع ضمان ألا يتجاوز الخطأ في التقريب 10⁻⁵ ^. في هذا المثال، نفترض أننا نعرف فقط الخصائص التالية للدالة الأسية:

${\displaystyle e^{0}=1,\qquad {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},\qquad e^{x}>0,\qquad x\in \mathbb {R} .}$

★

ومن هذه الخصائص يتبين أن${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$للجميع${\textstyle k}$وعلى وجه الخصوص،${\textstyle f^{(k)}(0)=1}$ومن ثم${\textstyle k}$متعددة حدود تايلور من الرتبة n${\textstyle f}$في${\textstyle 0}$ويُعطى حد الباقي في صيغة لاغرانج بواسطة

$${\displaystyle P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},}$$

أين${\textstyle \xi }$هو عدد ما بين 0 و x . بما أن e^ ^x متزايدة بمقدار ( ★ )، يمكننا ببساطة استخدام${\textstyle e^{x}\leq 1}$ل${\textstyle x\in [-1,0]}$لتقدير الباقي على الفترة الفرعية${\displaystyle [-1,0]}$للحصول على حد أعلى للباقي على${\displaystyle [0,1]}$، نستخدم الخاصية${\textstyle e^{\xi }<e^{x}}$ل${\textstyle 0<\xi <x}$لتقدير

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1}$$

باستخدام متسلسلة تايلور من الدرجة الثانية. ثم نحل المعادلة لإيجاد قيمة e^ ^x لنستنتج أن

$${\displaystyle e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1}$$

ببساطة عن طريق تعظيم البسط وتقليل المقام . بدمج هذه التقديرات لـ e ^x نرى أن

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,}$$

وبالتالي يتم الوصول إلى الدقة المطلوبة بالتأكيد، عندما

$${\displaystyle {\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Longleftrightarrow \quad k\geq 9.}$$

(انظر المضروب أو احسب القيم يدويًا)${\textstyle 9!=362880}$و${\textstyle 10!=3628800}$.) وخلاصة القول، تؤدي نظرية تايلور إلى التقريب التالي:

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.}$$

على سبيل المثال، يوفر هذا التقريب تعبيرًا عشريًا${\displaystyle e\approx 2.71828}$، مع تصحيح يصل إلى خمسة منازل عشرية.

لتكن I فترة مفتوحة . بحسب التعريف، تكون الدالة f : I → R تحليلية حقيقية إذا كانت معرفة محليًا بواسطة متسلسلة قوى متقاربة . هذا يعني أنه لكل a ∈ I، يوجد r > 0 ومتتالية من المعاملات c _k ∈ R بحيث يكون ( a − r , a + r ) ⊂ I و       

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad |x-a|<r.}$$

بشكل عام، يمكن حساب نصف قطر تقارب متسلسلة القوى من صيغة كوشي-هادامارد

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty }|c_{k}|^{\frac {1}{k}}.}$$

تستند هذه النتيجة إلى المقارنة مع متسلسلة هندسية ، وتُظهر الطريقة نفسها أنه إذا كانت متسلسلة القوى القائمة على a تتقارب لبعض b ∈ R ، فيجب أن تتقارب بانتظام على الفترة المغلقة${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$، أين${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$هنا يتم النظر فقط في تقارب سلسلة القوى، وقد يكون من الممكن أن يمتد ( a − R , a + R ) إلى ما وراء المجال I لـ f .

كثيرات حدود تايلور للدالة التحليلية الحقيقية f عند النقطة a هي ببساطة عمليات اقتطاع محدودة

$${\displaystyle P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}}$$

من متسلسلات القوى المحددة محليًا، وتُعطى حدود الباقي المقابلة محليًا بواسطة الدوال التحليلية.

$${\displaystyle R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad |x-a|<r.}$$

هنا الوظائف

$${\displaystyle {\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\[1ex]&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{aligned}}}$$

وهي أيضًا دوال تحليلية، لأن متسلسلات القوى المحددة لها لها نفس نصف قطر التقارب للمتسلسلة الأصلية. بافتراض أن [ a − r , a + r ] ⊂ I و r  < R ، فإن جميع هذه المتسلسلات تتقارب بانتظام على ( a − r , a + r ) . وبطبيعة الحال، في حالة الدوال التحليلية، يمكن تقدير حد الباقي. ${\textstyle R_{k}(x)}$من خلال ذيل سلسلة المشتقات f′ ( a ) في مركز التوسع، ولكن باستخدام التحليل المركب تظهر إمكانية أخرى، والتي سيتم وصفها أدناه .

ستتقارب متسلسلة تايلور للدالة f في فترة ما تكون فيها جميع مشتقاتها محدودة ولا تنمو بسرعة كبيرة عندما يؤول k إلى اللانهاية. (مع ذلك، حتى لو تقاربت متسلسلة تايلور، فقد لا تتقارب إلى f ، كما هو موضح أدناه؛ وعندها يُقال إن f دالة غير تحليلية ).

قد يفكر المرء في سلسلة تايلور

$${\displaystyle f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots }$$

لدالة قابلة للتفاضل عددًا لا نهائيًا من المرات f  : R → R باعتبارها "متعددة حدود تايلور من الرتبة اللانهائية" عند a . الآن، تشير تقديرات الباقي إلى أنه إذا كانت مشتقات f محدودة على ( a − r , a + r ) لأي قيمة r ، فإنه لأي رتبة k ولأي قيمة r > 0 يوجد ثابت M _k,r > 0 بحيث      

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M_{k,r}{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}}$

★★

لكل x  ∈  ( a  − r , a + r ). أحيانًا، يمكن اختيار الثوابت M _{k _,r بحيث} تكون محدودة من الأعلى، لقيمة ثابتة لـ r وجميع قيم k . عندئذٍ، تتقارب متسلسلة تايلور للدالة f بانتظام إلى دالة تحليلية ما.   

$${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{aligned}}}$$

(يحصل المرء أيضًا على التقارب حتى لو لم تكن M _k,r محدودة من الأعلى طالما أنها تنمو ببطء كافٍ.)

الدالة النهائية T _f تحليلية دائمًا بحكم تعريفها، لكنها لا تساوي بالضرورة الدالة الأصلية f ، حتى لو كانت f قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية. في هذه الحالة، نقول إن f دالة ملساء غير تحليلية ، على سبيل المثال دالة مسطحة .

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

باستخدام قاعدة السلسلة بشكل متكرر عن طريق الاستقراء الرياضي ، يمكن إثبات أنه لأي رتبة k ، 

$${\displaystyle f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}$$

لبعض كثيرات الحدود p _k من الدرجة 2( k − 1). الدالة${\displaystyle e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}$يميل إلى الصفر أسرع من أي متعدد حدود لأن${\textstyle x\to 0}$إذن، الدالة f قابلة للتفاضل عددًا لا نهائيًا من المرات، و f ^{( k )} (0) = 0 لكل عدد صحيح موجب k . جميع النتائج المذكورة أعلاه صحيحة في هذه الحالة.

• تتقارب متسلسلة تايلور للدالة f بشكل منتظم إلى الدالة الصفرية T _f ( x )  =  0 ، وهي دالة تحليلية بجميع معاملاتها تساوي الصفر.
• الدالة f لا تساوي متسلسلة تايلور هذه، وبالتالي فهي غير تحليلية.
• لأي رتبة k  ∈ N ونصف قطر r > 0 يوجد M _k,r > 0 يحقق حد الباقي ( ★★ ) أعلاه.      

ومع ذلك، مع زيادة k لقيمة r ثابتة ، تنمو قيمة M _k,r بشكل أسرع من r ^k ، ولا يصل الخطأ إلى الصفر .

تُعمَّم نظرية تايلور لتشمل الدوال f  : C → C القابلة للتفاضل في مجموعة جزئية مفتوحة U  ⊂ C من المستوى المركب . مع ذلك، فإن فائدتها تتضاءل أمام نظريات عامة أخرى في التحليل المركب . تحديدًا، يمكن استنتاج صيغ أقوى لنتائج ذات صلة للدوال القابلة للتفاضل f : U → C باستخدام صيغة كوشي التكاملية كما يلي.     

ليكن r  >  0 بحيث يكون القرص المغلق B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) محصورًا في U. عندئذٍ، صيغة كوشي التكاملية مع وسيطة موجبة γ ( t ) = z + re ^it للدائرة S ( z , r ) مع    ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ أعطِ

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.}$$

جميع الدوال التكاملية هنا متصلة على الدائرة S ( z , r )، مما يبرر التفاضل تحت علامة التكامل. على وجه الخصوص، إذا كانت f قابلة للتفاضل المركب مرة واحدة على المجموعة المفتوحة U ، فإنها في الواقع قابلة للتفاضل المركب عددًا لا نهائيًا من المرات على U. كما نحصل على تقدير كوشي ^{[ 12 ] .} 

$${\displaystyle |f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{|w-c|=r}|f(w)|}$$

لأي z  ∈ U و r > 0 بحيث يكون B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U. يشير التقدير إلى أن متسلسلة تايلور المركبة         

$${\displaystyle T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}}$$

تتقارب الدالة f بانتظام على أي قرص مفتوح${\textstyle B(c,r)\subset U}$مع${\textstyle S(c,r)\subset U}$إلى دالة ما T _f . علاوة على ذلك، باستخدام صيغ التكامل الكفافي للمشتقات f ^{( k )} ( c )،

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw\\&=f(z),\end{aligned}}}$$

إذن، أي دالة قابلة للتفاضل المركب f في مجموعة مفتوحة U  ⊂ C هي في الواقع دالة تحليلية مركبة . كل ما قيل عن الدوال التحليلية الحقيقية ينطبق أيضًا على الدوال التحليلية المركبة مع استبدال الفترة المفتوحة I بمجموعة جزئية مفتوحة U ∈ C ، واستبدال الفترات المتمركزة حول a ( a − r , a + r ) بأقراص متمركزة حول c، B ( c , r ). على وجه الخصوص، يكون مفكوك تايلور على الصورة التالية:         

$${\displaystyle f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},}$$

حيث يكون حد الباقي R _k تحليليًا مركبًا. توفر طرق التحليل المركب نتائج قوية فيما يتعلق بتوسعات تايلور. على سبيل المثال، باستخدام صيغة كوشي التكاملية لأي منحنى جوردان موجب الاتجاه${\textstyle \gamma }$الذي يحدد الحدود${\textstyle \partial W\subset U}$منطقة${\textstyle W\subset U}$وبذلك نحصل على تعابير للمشتقات f ^{( j )} ( c ) كما سبق، وبتعديل طفيف للحساب الخاص بـ T _f ( z ) = f ( z ) ، نصل إلى الصيغة الدقيقة.

$${\displaystyle R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.}$$

السمة المهمة هنا هي جودة التقريب بواسطة متعددة حدود تايلور على المنطقة${\textstyle W\subset U}$تهيمن قيم الدالة f نفسها على الحدود.${\textstyle \partial W\subset U}$وبالمثل، بتطبيق تقديرات كوشي على صيغة المتسلسلة للباقي، نحصل على التقديرات المنتظمة.

$${\displaystyle |R_{k}(z)|\leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac {|z-c|^{k+1}}{1-{\frac {|z-c|}{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac {|z-c|}{r}}\leq \beta <1.}$$

الوظيفة

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}$$

هي دالة تحليلية حقيقية ، أي أنها محددة محليًا بواسطة متسلسلة تايلور الخاصة بها. رُسمت هذه الدالة أعلاه لتوضيح حقيقة أن بعض الدوال الأولية لا يمكن تقريبها بواسطة كثيرات حدود تايلور في جوارات مركز التوسع الكبيرة جدًا. يُفهم هذا النوع من السلوك بسهولة في إطار التحليل العقدي. أي أن الدالة f تمتد إلى دالة ميرومورفية.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\end{aligned}}}$$

على المستوى المركب المضغوط. ولها أقطاب بسيطة عند${\textstyle z=i}$و${\textstyle z=-i}$وهي تحليلية في أي مكان آخر. الآن، تتقارب متسلسلة تايلور الخاصة بها، المتمركزة عند z₀، على أي قرص B(z₀, r ₎ حيث r < | _z - z₀ | ، حيث  تتقارب متسلسلة _تايلور نفسها عند z ∈ C. لذلك، تتقارب متسلسلة تايلور للدالة f، المتمركزة عند 0، على B (0, 1)، ولا تتقارب لأي z ∈ C حيث | z | > 1 بسبب الأقطاب عند i و -i . وللسبب نفسه، تتقارب متسلسلة تايلور للدالة f، المتمركزة عند 1، على     ${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$ولا يتقارب لأي قيمة z  ∈ C مع ${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$.

تكون الدالة f : R ⁿ → R قابلة للتفاضل عند a ∈ R ⁿ إذا وفقط إذا وُجدت دالة خطية L  : R ⁿ → R ودالة h  : R ⁿ → R بحيث

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.}$$

إذا كان الأمر كذلك، فـ${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$هي التفاضل (المُعرَّف بشكل فريد) للدالة f عند النقطة a . علاوة على ذلك، فإن المشتقات الجزئية للدالة f موجودة عند النقطة a ، ويُعطى تفاضل f عند النقطة a بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}.}$$

أدخل تدوين الفهرس المتعدد

$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha$$ !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}

لـ α ∈ N ⁿ و x ∈ R ⁿ . إذا كان كل${\textstyle k}$إذا كانت المشتقات الجزئية من الرتبة n للدالة f  : R ⁿ → R متصلة عند a ∈ R ⁿ ، فبحسب نظرية كليروت ، يمكن تغيير رتبة المشتقات المختلطة عند a ، لذا فإن الترميز المختصر

$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial {\boldsymbol {x}}^{\alpha }}}={\frac {\partial ^{\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

في هذه الحالة، يكون استخدام المشتقات الجزئية من الرتب العليا مبررًا. وينطبق الأمر نفسه إذا كانت جميع المشتقات الجزئية من الرتبة ( k -1 ) للدالة f موجودة في جوار ما للنقطة a وقابلة للتفاضل عندها . [ ^{13 ] عندئذٍ} نقول إن f قابلة للتفاضل k مرة عند النقطة a  .

باستخدام الرموز الواردة في القسم السابق، نحصل على النظرية التالية.

إذا كانت الدالة f  : R ⁿ → R قابلة للتفاضل بشكل مستمر k + 1 مرة في كرة مغلقة${\displaystyle B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle r>0}$ثم يمكن اشتقاق صيغة دقيقة للباقي بدلالة المشتقات الجزئية من الرتبة ( k +1 ) للدالة f في هذه المنطقة. ^{[ 15 ]} أي،

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha$$ !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta  !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}}

في هذه الحالة، وبسبب استمرارية المشتقات الجزئية من الرتبة ( k +1 ) في المجموعة المدمجة B ، نحصل مباشرة على التقديرات المنتظمة

$${\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta$$ !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}

على سبيل المثال، متعددة حدود تايلور من الدرجة الثالثة لدالة سلسة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$هو، للدلالة على${\displaystyle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}}$،

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}}$$

ليكن ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}}$$

حيث، كما هو الحال في نص نظرية تايلور،

$${\displaystyle P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}$$

يكفي أن نبين أن

$${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}$$

يعتمد البرهان هنا على التطبيق المتكرر لقاعدة لوبيتال . لاحظ أنه لكل${\textstyle j=0,1,...,k-1}$،${\displaystyle f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)}$وبالتالي، فإن كل واحد من الأولين${\textstyle k-1}$مشتقات البسط في${\displaystyle h_{k}(x)}$يختفي عند${\displaystyle x=a}$وينطبق الأمر نفسه على المقام. كذلك، بما أن الشرط هو أن الدالة${\textstyle f}$يكون${\textstyle k}$يتطلب عدد مرات الاشتقاق عند نقطة ما قابلية الاشتقاق حتى رتبة${\textstyle k-1}$في جوار تلك النقطة (وهذا صحيح، لأن قابلية التفاضل تتطلب تعريف الدالة في جوار كامل لنقطة ما)، البسط و${\textstyle k-2}$تكون المشتقات قابلة للتفاضل في جوار من${\textstyle a}$من الواضح أن المقام يحقق الشرط المذكور أيضًا، بالإضافة إلى أنه لا يختفي إلا إذا${\textstyle x=a}$وبالتالي، فإن جميع الشروط اللازمة لقاعدة لوبيتال قد استُوفيت، ويُبرر استخدامها.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&=\cdots \\[1ex]&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}$$

حيث تتحقق المساواة قبل الأخيرة من خلال تعريف المشتقة عند${\textstyle x=a}$.

يترك${\displaystyle f(x)}$لتكن أي دالة متصلة ذات قيم حقيقية يتم تقريبها بواسطة متعددة حدود تايلور.

الخطوة الأولى: دع${\textstyle F}$و${\textstyle G}$دوال. مجموعة${\textstyle F}$و${\textstyle G}$يكون

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}}}$$

الخطوة الثانية: خصائص${\textstyle F}$و${\textstyle G}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(a)&=f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}(a-a)^{n-1}=0\\G(a)&=(a-a)^{n}=0\end{aligned}}}$$

بصورة مماثلة،

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{\frac {f''(a)}{(2-1)!}}(a-a)^{(2-1)}-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-2)!}}(a-a)^{n-2}=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G'(a)&=n(a-a)^{n-1}=0\\&\qquad \vdots \\G^{(n-1)}(a)&=F^{(n-1)}(a)=0\end{aligned}}}$$

الخطوة 3: استخدام نظرية كوشي للقيمة المتوسطة

يترك${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle g_{1}}$لتكن الدوال المتصلة على${\displaystyle [a,b]}$. منذ${\displaystyle a<x<b}$حتى نتمكن من العمل مع الفاصل الزمني${\displaystyle [a,x]}$. يترك${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle g_{1}}$قابلة للتفاضل على${\displaystyle (a,x)}$. يفترض${\displaystyle g_{1}'(x)\neq 0}$للجميع${\displaystyle x\in (a,b)}$ثم يوجد${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$بحيث

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{1}(x)-f_{1}(a)}{g_{1}(x)-g_{1}(a)}}={\frac {f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

ملحوظة:${\displaystyle G'(x)\neq 0}$في${\displaystyle (a,b)}$و${\displaystyle F(a),G(a)=0}$لذا

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

بالنسبة للبعض${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$.

ويمكن القيام بذلك أيضًا لـ${\displaystyle (a,c_{1})}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}={\frac {F'(c_{1})-F'(a)}{G'(c_{1})-G'(a)}}={\frac {F''(c_{2})}{G''(c_{2})}}\end{aligned}}}$$

بالنسبة للبعض${\displaystyle c_{2}\in (a,c_{1})}$ويمكن مواصلة ذلك إلى${\displaystyle c_{n}}$.

وهذا يعطي تقسيمًا في${\displaystyle (a,b)}$:

$${\displaystyle a<c_{n}<c_{n-1}<\dots <c_{1}<x}$$

مع

$${\displaystyle {\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}=\dots ={\frac {F^{(n)}(c_{n})}{G^{(n)}(c_{n})}}.}$$