سلسلة تايلور

Part of a series of articles about
Calculus
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Fundamental theorem Limits Continuity Rolle's theorem Mean value theorem Inverse function theorem
Differential Definitions Derivative (generalizations) Differential infinitesimal of a function total Concepts Differentiation notation Second derivative Implicit differentiation Logarithmic differentiation Related rates Taylor's theorem Rules and identities Sum Product Chain Power Quotient L'Hôpital's rule Inverse General Leibniz Faà di Bruno's formula Reynolds
Integral Lists of integrals Integral transform Leibniz integral rule Definitions Antiderivative Integral (improper) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

في الرياضيات ، سلسلة تايلور أو توسع تايلور للدالة هي مجموع لانهائي من الحدود التي يتم التعبير عنها من حيث مشتقات الدالة عند نقطة واحدة. بالنسبة لمعظم الدوال الشائعة، تكون الدالة ومجموع سلسلة تايلور الخاصة بها متساويين بالقرب من هذه النقطة. سميت سلسلة تايلور على اسم بروك تايلور ، الذي قدمها في عام 1715. تسمى سلسلة تايلور أيضًا سلسلة ماكلورين عندما تكون 0 هي النقطة التي يتم فيها اعتبار المشتقات، على اسم كولين ماكلورين ، الذي استخدم هذه الحالة الخاصة من سلسلة تايلور على نطاق واسع في القرن الثامن عشر.

المجموع الجزئي الذي يتكون من أول n + 1 حدود من سلسلة تايلور هو كثيرة حدود من الدرجة n تسمى كثيرة حدود تايلور من الدرجة n للدالة. كثيرات حدود تايلور هي تقريبات لدالة، والتي تصبح أكثر دقة بشكل عام مع زيادة n . تعطي نظرية تايلور تقديرات كمية للخطأ الناتج عن استخدام مثل هذه التقريبات. إذا كانت سلسلة تايلور لدالة متقاربة ، فإن مجموعها هو حد المتوالية اللانهائية لكثيرات حدود تايلور. قد تختلف الدالة عن مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها، حتى لو كانت متسلسلة تايلور الخاصة بها متقاربة. تكون الدالة تحليلية عند نقطة x إذا كانت تساوي مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها في فترة مفتوحة (أو قرص مفتوح في المستوى المركب ) تحتوي على x . وهذا يعني أن الدالة تحليلية عند كل نقطة من الفترة (أو القرص).

متسلسلة تايلور لدالة ذات قيمة حقيقية أو مركبة f  ( x ) ، والتي يمكن الاشتقاق منها بلا حدود عند عدد حقيقي أو مركب a ، هي متسلسلة القوى هنا، يشير n ! إلى عامل n . تشير الدالة f ^{( n )} ( a ) إلى المشتقة رقم n لـ f المقيمة عند النقطة a . يتم تعريف المشتق من الدرجة صفر لـ f على أنه f نفسها و ( x − a ) ⁰ و 0! كلاهما معرفان على أنهما 1. يمكن كتابة هذه المتسلسلة باستخدام تدوين سيجما ، كما في صيغة الجانب الأيمن. ^[1] مع a = 0 ، تأخذ متسلسلة ماكلورين الشكل: ^[2]$${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$$ $${\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.}$$

إن متسلسلة تايلور لأي كثيرة حدود هي كثيرة الحدود نفسها.

سلسلة ماكلورين من ⁠1/1 − سهي السلسلة الهندسية

$${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots .}$$

لذا، عن طريق استبدال x بـ 1 − x ، فإن متسلسلة تايلور لـ1/سعند أ = 1 هو

$${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .}$$

من خلال دمج سلسلة ماكلورين أعلاه، نجد سلسلة ماكلورين لـ ln(1 − x ) ، حيث يشير ln إلى اللوغاريتم الطبيعي :

$${\displaystyle -x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots .}$$

المتسلسلة تايلور المقابلة لـ ln x عند a = 1 هي

$${\displaystyle (x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,}$$

وبشكل عام، فإن سلسلة تايلور المقابلة لـ ln x عند نقطة عشوائية غير صفرية a هي:

$${\displaystyle \ln a+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots .}$$

سلسلة ماكلورين للدالة الأسية e ^x هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}}$$

ينطبق التوسع أعلاه لأن المشتق لـ e ^x بالنسبة إلى x هو أيضًا e ^x ، و e ⁰ يساوي 1. وهذا يترك الحدود ( x − 0) ⁿ في البسط و n ! في مقام كل حد في المجموع اللانهائي.

اعتبر الفيلسوف اليوناني القديم زينون الإيلي مشكلة جمع سلسلة لا نهائية لتحقيق نتيجة محدودة، لكنه رفضها باعتبارها مستحيلة؛ ^[3] وكانت النتيجة مفارقة زينون . في وقت لاحق، اقترح أرسطو حلاً فلسفيًا للمفارقة، لكن المحتوى الرياضي ظل دون حل على ما يبدو حتى تبناه أرخميدس ، كما كان الحال قبل أرسطو من قبل ديمقريطس الذري ما قبل سقراط . كان من خلال طريقة أرخميدس للاستنفاد أنه يمكن إجراء عدد لا نهائي من التقسيمات الفرعية التدريجية لتحقيق نتيجة محدودة. ^{[4] استخدم} ليو هوي بشكل مستقل طريقة مماثلة بعد بضعة قرون. ^[5]

في القرن الرابع عشر، قدم عالم الرياضيات الهندي مادهافا من سانجاماجراما أقدم الأمثلة على سلسلة تايلور المحددة (ولكن ليس الطريقة العامة) . ^[6] وعلى الرغم من عدم وجود أي سجل لعمله، فإن كتابات أتباعه في مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات تشير إلى أنه وجد سلسلة تايلور للوظائف المثلثية للجيب وجيب التمام والظل العكسي (انظر سلسلة مادهافا ). وخلال القرنين التاليين ، طور أتباعه المزيد من التوسعات المتسلسلة والتقريبات المنطقية.

في أواخر عام 1670، عُرض على جيمس جريجوري في رسالة من جون كولينز العديد من متسلسلة ماكلورين (${\textstyle \sin x,}$ و ) التي اشتقها إسحاق نيوتن ، وأخبره أن نيوتن قد طور طريقة عامة لتوسيع الدوال في سلسلة. في الواقع، استخدم نيوتن طريقة مرهقة تتضمن القسمة الطويلة للمتسلسلات والتكامل حدًا بحدود، لكن جريجوري لم يكن يعرف ذلك وشرع في اكتشاف طريقة عامة لنفسه. في أوائل عام 1671، اكتشف جريجوري شيئًا مثل متسلسلة ماكلورين العامة وأرسل رسالة إلى كولينز تتضمن متسلسلة لـ (تكامل )، ( تكامل sec ، دالة غوديرمان العكسية )، و (دالة غوديرمان). ومع ذلك، معتقدًا أنه أعاد تطوير طريقة نيوتن فحسب، لم يصف جريجوري أبدًا كيف حصل على هذه المتسلسلة، ولا يمكن الاستدلال إلا على أنه فهم الطريقة العامة من خلال فحص العمل الذي كتبه على ظهر رسالة أخرى من عام 1671. ^[7]${\textstyle \cos x,}$ ${\textstyle \arcsin x,}$${\textstyle x\cot x}$${\textstyle \arctan x,}$ ${\textstyle \tan x,}$ ${\textstyle \sec x,}$ ${\textstyle \ln \,\sec x}$${\displaystyle \tan }$ ${\textstyle \ln \,\tan {\tfrac {1}{2}}{{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi +x{\bigr )}}}$${\textstyle \operatorname {arcsec} {\bigl (}{\sqrt {2}}e^{x}{\bigr )},}$${\textstyle 2\arctan e^{x}-{\tfrac {1}{2}}\pi }$

في عامي 1691 و1692، كتب إسحاق نيوتن بيانًا صريحًا لسلسلة تايلور وماكلورين في نسخة غير منشورة من عمله De Quadratura Curvarum . ومع ذلك، لم يتم إكمال هذا العمل أبدًا وتم حذف الأقسام ذات الصلة من الأجزاء المنشورة في عام 1704 تحت عنوان Tractatus de Quadratura Curvarum .

ولم يتم نشر طريقة عامة لبناء هذه السلاسل لجميع الوظائف التي توجد من أجلها إلا في عام 1715 بواسطة بروك تايلور ، ^[8] والذي سميت السلاسل باسمه الآن.

تمت تسمية سلسلة ماكلورين على اسم كولن ماكلورين ، وهو عالم رياضيات اسكتلندي، والذي نشر حالة خاصة من نتيجة تايلور في منتصف القرن الثامن عشر.

إذا تم إعطاء f  ( x ) بواسطة سلسلة قوى متقاربة في قرص مفتوح مركزه b في المستوى المركب (أو فاصل في الخط الحقيقي)، فيقال إنها تحليلية في هذه المنطقة. وبالتالي بالنسبة لـ x في هذه المنطقة، يتم إعطاء f بواسطة سلسلة قوى متقاربة

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.}$$

عند التمييز بين الصيغة أعلاه n مرة بـ x ، ثم ضبط x = b، نحصل على:

$${\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}}$$

وبالتالي فإن توسع سلسلة القوى يتفق مع سلسلة تايلور. وبالتالي تكون الدالة تحليلية في قرص مفتوح مركزه b إذا وفقط إذا كانت سلسلة تايلور الخاصة بها تتقارب مع قيمة الدالة عند كل نقطة من القرص.

إذا كانت f  ( x ) تساوي مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها لجميع x في المستوى المركب، فإنها تسمى كاملة . تعد كثيرات الحدود والدالة الأسية e ^x والدوال المثلثية الجيب وجيب التمام أمثلة على الدوال الكاملة. تشمل أمثلة الدوال غير الكاملة الجذر التربيعي واللوغاريتم والدالة المثلثية الظل ومعكوسها arctan . بالنسبة لهذه الدوال، لا تتقارب متسلسلة تايلور إذا كانت x بعيدة عن b . أي أن متسلسلة تايلور تتباعد عند x إذا كانت المسافة بين x و b أكبر من نصف قطر التقارب . يمكن استخدام متسلسلة تايلور لحساب قيمة دالة كاملة عند كل نقطة، إذا كانت قيمة الدالة وجميع مشتقاتها معروفة عند نقطة واحدة.

تتضمن استخدامات سلسلة تايلور للوظائف التحليلية ما يلي:

1. يمكن استخدام المجاميع الجزئية ( متعددات حدود تايلور ) للسلسلة كتقريبات للدالة. تكون هذه التقريبات جيدة إذا تم تضمين عدد كافٍ من الحدود.
2. يمكن إجراء التفاضل والتكامل لسلاسل القوى مصطلحًا تلو الآخر، وبالتالي يكون الأمر سهلاً بشكل خاص.
3. يتم توسيع الدالة التحليلية بشكل فريد إلى دالة هولومورفية على قرص مفتوح في المستوى المركب . وهذا يجعل آلية التحليل المركب متاحة.
4. يمكن استخدام السلسلة (المقتطعة) لحساب قيم الدالة عدديًا، (غالبًا عن طريق إعادة صياغة الحدوديات إلى شكل تشيبيشيف وتقييمها باستخدام خوارزمية كلينشو ).
5. يمكن إجراء العمليات الجبرية بسهولة على تمثيل سلسلة القوى؛ على سبيل المثال، تتبع صيغة أويلر توسعات سلسلة تايلور للوظائف المثلثية والأسية. هذه النتيجة ذات أهمية أساسية في مجالات مثل التحليل التوافقي .
6. يمكن للتقريبات باستخدام الحدود القليلة الأولى من سلسلة تايلور أن تجعل من الممكن حل مشاكل غير قابلة للحل في مجال مقيد؛ وغالبًا ما يستخدم هذا النهج في الفيزياء.

الصورة توضح تقريبًا دقيقًا لـ sin x حول النقطة x = 0. المنحنى الوردي هو متعدد الحدود من الدرجة السابعة:

$${\displaystyle \sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!}$$

الخطأ في هذا التقريب لا يزيد عن | x | ⁹  / 9! . بالنسبة لدورة كاملة مركزها الأصل ( −π < x < π ) يكون الخطأ أقل من 0.08215. وعلى وجه الخصوص، بالنسبة لـ −1 < x < 1 ، يكون الخطأ أقل من 0.000003.

على النقيض من ذلك، يظهر أيضًا صورة لدالة اللوغاريتم الطبيعي ln(1 + x ) وبعض كثيرات حدود تايلور الخاصة بها حول a = 0. تتقارب هذه التقريبات مع الدالة فقط في المنطقة −1 < x ≤ 1 ؛ وخارج هذه المنطقة تكون كثيرات حدود تايلور ذات الدرجة الأعلى تقريبًا أسوأ للدالة.

يُطلق على الخطأ الذي يحدث عند تقريب دالة بواسطة متعددة حدود تايلور من الدرجة n اسم الباقي أو المتبقي ويُشار إليه بالدالة R _n ( x ) . يمكن استخدام نظرية تايلور للحصول على حد لحجم الباقي .

بشكل عام، لا يلزم أن تكون متسلسلة تايلور متقاربة على الإطلاق. في الواقع، مجموعة الدوال ذات متسلسلة تايلور المتقاربة هي مجموعة ضئيلة في فضاء فريشيه للدوال السلسة . حتى إذا تقاربت متسلسلة تايلور للدالة f ، فلا يلزم أن تكون حدها مساوية لقيمة الدالة f  ( x ) . على سبيل المثال، الدالة

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\[3mu]0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

قابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي عند x = 0 ، وكل مشتقاتها تساوي صفرًا هناك. وبالتالي، فإن متسلسلة تايلور لـ f  ( x ) حول x = 0 تساوي صفرًا تمامًا. ومع ذلك، فإن f  ( x ) ليست دالة صفرية، وبالتالي لا تساوي متسلسلة تايلور الخاصة بها حول الأصل. وبالتالي، فإن f  ( x ) هي مثال على دالة سلسة غير تحليلية .

في التحليل الحقيقي ، يوضح هذا المثال أن هناك دوال قابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي f  ( x ) لا تساوي متسلسلة تايلور الخاصة بها f  ( x ) حتى لو تقاربت. وعلى النقيض من ذلك، فإن الدوال المجسمة المدروسة في التحليل المركب تمتلك دائمًا متسلسلة تايلور متقاربة، وحتى متسلسلة تايلور للدوال المجسمة ، والتي قد تحتوي على تفردات، لا تتقارب أبدًا إلى قيمة مختلفة عن الدالة نفسها. ومع ذلك، فإن الدالة المركبة e ^{−1/ z 2} لا تقترب من 0 عندما تقترب z من 0 على طول المحور التخيلي، لذلك فهي ليست متصلة في المستوى المركب ومتسلسلة تايلور الخاصة بها غير معرفة عند 0.

بشكل عام، يمكن أن تظهر كل سلسلة من الأعداد الحقيقية أو المركبة كمعاملات في سلسلة تايلور لدالة قابلة للاشتقاق بلا حدود ومحددة على خط الأعداد الحقيقية، وهي نتيجة لمعضلة بوريل . ونتيجة لذلك، يمكن أن يكون نصف قطر تقارب سلسلة تايلور صفرًا. توجد حتى دوال قابلة للاشتقاق بلا حدود ومحددة على خط الأعداد الحقيقية حيث يكون نصف قطر تقارب سلسلة تايلور 0 في كل مكان. ^[9]

لا يمكن كتابة دالة كمتسلسلة تايلور مركزها نقطة تفرد ؛ في هذه الحالات، يمكن للمرء غالبًا تحقيق توسع متسلسل إذا سمح أيضًا بالقوى السالبة للمتغير x ؛ انظر سلسلة لوران . على سبيل المثال، يمكن كتابة f  ( x ) = e ^{−1/ x 2} كمتسلسلة لوران.

إن تعميم سلسلة تايلور يتقارب مع قيمة الدالة نفسها لأي دالة متصلة محدودة عند (0,∞) ، ويمكن القيام بذلك باستخدام حساب الفروق المحدودة . على وجه التحديد، النظرية التالية، وفقًا لـ Einar Hille ، أنه لأي t > 0 ، ^[10]

$${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).}$$

هنا Δ^ن
_حهو عامل الفرق المحدود رقم n بحجم خطوة h . السلسلة هي بالضبط سلسلة تايلور، باستثناء أن الفروق المقسمة تظهر بدلاً من التفاضل: السلسلة تشبه رسميًا سلسلة نيوتن . عندما تكون الدالة f تحليلية عند a ، تتقارب الحدود في السلسلة مع حدود سلسلة تايلور، وبهذا المعنى تعمم سلسلة تايلور المعتادة.

بشكل عام، بالنسبة لأي تسلسل لانهائي a _i ، فإن هوية سلسلة القوى التالية تنطبق:

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.}$$

لذلك على وجه الخصوص،

$${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.}$$

السلسلة على اليمين هي القيمة المتوقعة لـ f  ( a + X ) ، حيث X هو متغير عشوائي موزع بواسون يأخذ القيمة jh باحتمال e ^{− t / h} · ⁠( ت / ح ) ^ج/ج !. ومن ثم،

$${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).}$$

يشير قانون الأعداد الكبيرة إلى أن الهوية صحيحة. ^[11]

يتبع ذلك عدة توسعات مهمة لسلسلة ماكلورين. كل هذه التوسعات صالحة للحجج المركبة x .

الدالة الأسية (مع القاعدة e ) لها سلسلة ماكلورين ^[12]${\displaystyle e^{x}}$

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .}$$ إنه يتقارب لجميع x .

دالة التوليد الأسية لأرقام الجرس هي الدالة الأسية لسابقة الدالة الأسية:

$${\displaystyle \exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}$$

اللوغاريتم الطبيعي (مع القاعدة e ) له سلسلة ماكلورين ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$$

السلسلة الأخيرة تُعرف باسم سلسلة مركاتور ، والتي سُميت على اسم نيكولاس مركاتور (لأنها نُشرت في أطروحته عام 1668 بعنوان Logarithmotechnia ). ^[14] تتقارب كلتا المتسلسلتين عند . (بالإضافة إلى ذلك، تتقارب سلسلة ln(1 − x ) عند x = −1 ، وتتقارب سلسلة ln(1 + x ) عند x = 1. ) ^[13]${\displaystyle |x|<1}$

تحتوي السلسلة الهندسية ومشتقاتها على سلسلة ماكلورين

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}$$

جميعها متقاربة بالنسبة لـ . هذه حالات خاصة من المتسلسلة ذات الحدين الموضحة في القسم التالي. ${\displaystyle |x|<1}$

المتسلسلة ذات الحدين هي متسلسلة القوى

$${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}$$

معاملاتها هي معاملات ثنائية معممة ^[15]

$${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$$

(إذا كان n = 0 ، فإن هذا الحاصل هو حاصل فارغ وله قيمة 1.) يتقارب لأي عدد حقيقي أو مركب α . ${\displaystyle |x|<1}$

عندما α = −1 ، فهذه هي في الأساس السلسلة الهندسية اللانهائية المذكورة في القسم السابق. الحالات الخاصة α = ⁠1/2و α = −​1/2أعط دالة الجذر التربيعي وعكسها: ^[16 ]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

عندما يتم الاحتفاظ بالمصطلح الخطي فقط ، يتم تبسيط هذا إلى التقريب الثنائي .

تحتوي الدوال المثلثية المعتادة ومعكوساتها على سلسلة ماكلورين التالية: ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$$

يتم التعبير عن جميع الزوايا بالراديان . الأرقام B _k التي تظهر في توسعات tan x هي أرقام برنولي . الأرقام E _k في توسعة sec x هي أرقام أويلر . ^[18]

تحتوي الدوال الزائدية على سلسلة ماكلورين وثيقة الصلة بسلسلة الدوال المثلثية المقابلة: ^[19]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}$$

الأرقام B _k التي تظهر في السلسلة لـ tanh x هي أرقام برنولي . ^[19]

تحتوي اللوغاريتمات المتعددة على الهويات المحددة التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}\\{\text{Li}}_{3}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}\end{aligned}}}$$

يتم تعريف وظائف Legendre chi على النحو التالي :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\\chi _{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$

والصيغ المعروضة أدناه تسمى تكاملات الظل العكسية :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ti}}_{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\{\text{Ti}}_{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$

في الديناميكا الحرارية الإحصائية، تتمتع هذه الصيغ بأهمية كبيرة.

يمكن تعريف التكاملات الإهليلجية الكاملة من النوع الأول K والنوع الثاني E على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}K(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\\{\frac {2}{\pi }}E(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

تصف وظائف جاكوبي ثيتا عالم الوظائف المعيارية الإهليلجية ولديها متسلسلة تايلور التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}\end{aligned}}}$$

يحتوي تسلسل رقم القسم المنتظم P(n) على الدالة المولدة التالية:

$${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}}$$

يحتوي تسلسل أرقام القسم الصارم Q(n) على الدالة المولدة التالية:

$${\displaystyle \vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}}$$

توجد عدة طرق لحساب متسلسلة تايلور لعدد كبير من الدوال. يمكن للمرء أن يحاول استخدام تعريف متسلسلة تايلور، على الرغم من أن هذا يتطلب غالبًا تعميم شكل المعاملات وفقًا لنمط واضح بسهولة. بدلاً من ذلك، يمكن للمرء استخدام معالجات مثل التعويض أو الضرب أو القسمة أو الجمع أو الطرح لمتسلسلة تايلور القياسية لإنشاء متسلسلة تايلور لدالة، بحكم أن متسلسلة تايلور هي متسلسلة قوى. في بعض الحالات، يمكن للمرء أيضًا اشتقاق متسلسلة تايلور من خلال تطبيق التكامل بالأجزاء بشكل متكرر . يعد استخدام أنظمة الجبر الحاسوبية لحساب متسلسلة تايلور ملائمًا بشكل خاص.

من أجل حساب متعدد حدود ماكلورين من الدرجة السابعة للدالة

$${\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )},}$$

يمكنك أولاً إعادة كتابة الوظيفة على النحو التالي

$${\displaystyle f(x)={\ln }{\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )},}$$

تركيب دالتين وسلسلة تايلور للوغاريتم الطبيعي هي (باستخدام تدوين O الكبير ) ${\displaystyle x\mapsto \ln(1+x)}$${\displaystyle x\mapsto \cos x-1.}$

$${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+O{\left(x^{4}\right)}}$$

ولدالة جيب التمام

$${\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O{\left(x^{8}\right)}.}$$

يمكن استبدال الحدود الأولى من السلسلة الثانية بكل حد من السلسلة الأولى. ولأن الحد الأول في السلسلة الثانية من الدرجة الثانية، فإن ثلاثة حدود من السلسلة الأولى تكفي لإعطاء حدود من الدرجة السابعة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+O{\left((\cos x-1)^{4}\right)}\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O{\left(x^{8}\right)}.\end{aligned}}\!}$$

نظرًا لأن جيب التمام دالة زوجية ، فإن معاملات جميع القوى الفردية تساوي صفرًا.

لنفترض أننا نريد متسلسلة تايلور عند 0 للدالة

$${\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.\!}$$

سلسلة تايلور للدالة الأسية هي

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots ,}$$

وسلسلة جيب التمام هي

$${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots .}$$

افترض أن السلسلة لقسمتهم هي

$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots }$$

ضرب كلا الطرفين بالمقام ثم توسيعه كسلسلة يعطي ${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\[5mu]&=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

مقارنة معاملات مع معاملات${\displaystyle g(x)\cos x}$${\displaystyle e^{x},}$

$${\displaystyle c_{0}=1,\ \ c_{1}=1,\ \ c_{2}-{\tfrac {1}{2}}c_{0}={\tfrac {1}{2}},\ \ c_{3}-{\tfrac {1}{2}}c_{1}={\tfrac {1}{6}},\ \ c_{4}-{\tfrac {1}{2}}c_{2}+{\tfrac {1}{24}}c_{0}={\tfrac {1}{24}},\ \ldots .}$$

وبالتالي، يمكن حساب معاملات السلسلة لـ واحدًا تلو الآخر، وهو ما يعادل القسمة الطويلة للسلسلة لـ و :${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle \cos x}$

$${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\tfrac {2}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{4}+\cdots .}$$

هنا نستخدم طريقة تسمى "التوسع غير المباشر" لتوسيع الدالة المعطاة. تستخدم هذه الطريقة توسع تايلور المعروف للدالة الأسية. لتوسيع (1 + x ) e ^x كمتسلسلة تايلور في x ، نستخدم متسلسلة تايلور المعروفة للدالة e ^x :

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .}$$

هكذا،

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

تقليديًا، يتم تعريف الدوال الجبرية بواسطة معادلة جبرية، ويتم تعريف الدوال المتعالية (بما في ذلك تلك التي تمت مناقشتها أعلاه) بواسطة بعض الخصائص التي تنطبق عليها، مثل المعادلة التفاضلية . على سبيل المثال، الدالة الأسية هي الدالة التي تساوي مشتقتها الخاصة في كل مكان، وتفترض القيمة 1 عند الأصل. ومع ذلك، قد يتم تعريف الدالة التحليلية بشكل جيد بنفس القدر بواسطة سلسلة تايلور الخاصة بها.

تُستخدم متسلسلة تايلور لتعريف الدوال و" المشغلات " في مجالات متنوعة من الرياضيات. وينطبق هذا بشكل خاص على المجالات التي تنهار فيها التعريفات الكلاسيكية للدوال. على سبيل المثال، باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن للمرء أن يوسع الدوال التحليلية لتشمل مجموعات من المصفوفات والمشغلات، مثل الأسي للمصفوفة أو لوغاريتم المصفوفة .

في مجالات أخرى، مثل التحليل الرسمي، من الأنسب العمل بشكل مباشر مع سلسلة القوى نفسها. وبالتالي، قد يُعرَّف حل المعادلة التفاضلية على أنه سلسلة قوى، والتي نأمل أن نثبت أنها سلسلة تايلور للحل المطلوب.

يمكن أيضًا تعميم سلسلة تايلور على وظائف ذات أكثر من متغير واحد باستخدام ^[20]

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}$$

على سبيل المثال، بالنسبة لدالة تعتمد على متغيرين، x و y ، فإن متسلسلة تايلور من الدرجة الثانية حول النقطة ( a ، b ) هي ${\displaystyle f(x,y)}$

$${\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}$$

حيث تشير المؤشرات السفلية إلى المشتقات الجزئية المعنية .

يمكن كتابة توسع سلسلة تايلور من الدرجة الثانية لدالة ذات قيمة عددية لأكثر من متغير بشكل مضغوط على النحو التالي:

$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}$$

حيث D f  ( a ) هو تدرج f المقدر عند x = a و D ² f  ( a ) هي مصفوفة هيسيان . بتطبيق تدوين المؤشرات المتعددة، تصبح سلسلة تايلور للعديد من المتغيرات

$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ),}$$

والتي ينبغي فهمها على أنها نسخة مختصرة متعددة المؤشرات للمعادلة الأولى في هذه الفقرة، مع تشابه كامل مع حالة المتغير الفردي.

من أجل حساب توسع سلسلة تايلور من الدرجة الثانية حول النقطة ( أ ، ب ) = (0، 0) للدالة $${\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}$$

يتم أولاً حساب جميع المشتقات الجزئية الضرورية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}$$

تقييم هذه المشتقات عند الأصل يعطي معاملات تايلور

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\\f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{aligned}}}$$

استبدال هذه القيم في الصيغة العامة

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&{}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}}$$

ينتج

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\big )}+\cdots \\&=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots \end{aligned}}}$$

نظرًا لأن ln(1 + y ) تحليلية في | y | < 1 ، فلدينا

$${\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots ,\qquad |y|<1.}$$

تمكن سلسلة فورييه المثلثية المرء من التعبير عن دالة دورية (أو دالة محددة على فاصل مغلق [ أ ، ب ] ) كمجموع لا نهائي من الدوال المثلثية ( الجيب وجيب التمام ). بهذا المعنى، تكون سلسلة فورييه مماثلة لمتسلسلة تايلور، لأن الأخيرة تسمح للمرء بالتعبير عن دالة كمجموع لا نهائي من القوى . ومع ذلك، تختلف السلسلتان عن بعضهما البعض في العديد من القضايا ذات الصلة:

• إن جميع الاقتطاعات المحدودة لمتسلسلة تايلور لـ f  ( x ) حول النقطة x = a تساوي تمامًا f عند a . وعلى النقيض من ذلك، يتم حساب سلسلة فورييه عن طريق التكامل على فترة زمنية كاملة، وبالتالي لا توجد عادةً نقطة تكون فيها جميع الاقتطاعات المحدودة للسلسلة دقيقة.
• يتطلب حساب متسلسلة تايلور معرفة الدالة على حي صغير عشوائي لنقطة ما، في حين يتطلب حساب متسلسلة فورييه معرفة الدالة على فاصل مجالها بالكامل . بمعنى ما، يمكننا القول إن متسلسلة تايلور "محلية" ومتسلسلة فورييه "عالمية".
• يتم تعريف سلسلة تايلور لدالة لها عدد لا نهائي من المشتقات عند نقطة واحدة، في حين يتم تعريف سلسلة فورييه لأي دالة قابلة للتكامل . على وجه الخصوص، لا يمكن أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق في أي مكان. (على سبيل المثال، يمكن أن تكون f  ( x ) دالة فايرستراس .)
• إن تقارب كلتا السلسلتين له خصائص مختلفة جدًا. حتى لو كانت سلسلة تايلور لها نصف قطر تقارب موجب، فقد لا تتطابق السلسلة الناتجة مع الدالة؛ ولكن إذا كانت الدالة تحليلية، فإن السلسلة تتقارب نقطة إلى الدالة، وبشكل موحد على كل مجموعة فرعية مضغوطة من فترة التقارب. فيما يتعلق بمتسلسلة فورييه، إذا كانت الدالة قابلة للتكامل التربيعي ، فإن السلسلة تتقارب في المتوسط ​​التربيعي ، ولكن هناك حاجة إلى متطلبات إضافية لضمان التقارب نقطة أو موحد (على سبيل المثال، إذا كانت الدالة دورية ومن الفئة C ^1، فإن التقارب يكون موحدًا).
• أخيرًا، في الممارسة العملية، نريد تقريب الدالة بعدد محدود من الحدود، على سبيل المثال باستخدام متعددة حدود تايلور أو مجموع جزئي للمتسلسلة المثلثية، على التوالي. في حالة متسلسلة تايلور، يكون الخطأ صغيرًا جدًا في جوار النقطة التي يتم حسابها فيها، بينما قد يكون كبيرًا جدًا في نقطة بعيدة. في حالة متسلسلة فورييه، يتم توزيع الخطأ على طول مجال الدالة.

• التوسع المقارب
• حدود نيوتن
• تقريب بادي – أفضل تقريب بواسطة دالة نسبية
• سلسلة بويزو  – سلسلة قوى ذات أسس نسبية
• نظرية التقريب
• تقريب الوظيفة

• "سلسلة تايلور"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسستين، إريك دبليو. “سلسلة تايلور”. عالم الرياضيات .