فئة المنتج

في مجال نظرية الفئات الرياضية ، يُعدّ حاصل ضرب فئتين C و D ، والذي يُرمز له بـ C × D ويُسمى فئة الضرب ، امتدادًا لمفهوم الضرب الديكارتي لمجموعتين . تُستخدم فئات الضرب لتعريف الدوال الثنائية والدوال المتعددة . ^{[ 1 ]}

تتضمن فئة المنتج C × D ما يلي:

• ككائنات : ​

  أزواج من الكائنات ( أ ، ب ) ، حيث أ هو كائن من ج و ب هو كائن من د ؛

• كأسهم من ( A1 _، B1 ) إلى ( A2 ، B2 ) : ​​_​​​

  أزواج من الأسهم ( f ، g ) ، حيث f : A ₁ → A ₂ هو سهم C و g : B ₁ → B ₂ هو سهم D ؛  

• كتركيب، تركيب مكون من الفئات المساهمة:

  ( f ₂ , g ₂ ) o ( f ₁ , g ₁ ) = ( f ₂ o f ₁ , g ₂ o g ₁ ) ;

• كهويات، أزواج من الهويات من الفئات المساهمة:

  1 _{( أ ، ب )} = (1 _أ ، 1 _ب ).

يتم تعريف منتج مجموعة من الفئات بنفس الطريقة تمامًا.

كما هو الحال بالنسبة للمجموعات، يتميز ناتج عائلة من الفئات بالخاصية العامة التالية. بالنظر إلى الفئات${\displaystyle C_{i}}$مفهرسة بواسطة مجموعة${\displaystyle I}$،${\displaystyle P=\prod C_{i},p_{j}:P\to C_{j},j\in I}$إرضاء:

بالنظر إلى عائلة من الدوال${\displaystyle f_{i}:D\to C_{i}}$يوجد مُؤثر فريد${\displaystyle f:D\to P}$بحيث${\displaystyle f_{j}=p_{j}\circ f}$لكل${\displaystyle j\in I}$.

وبعبارة أخرى، فإن ناتج مجموعة من الفئات الصغيرة هو بالضبط الناتج الفئوي لها في فئة الفئات الصغيرة.${\displaystyle {\mathsf {Cat}}}$وهكذا، على سبيل المثال، $${\displaystyle \textstyle {\mathsf {Fct}}(A,\prod _{i}B_{i})\simeq \prod _{i}{\mathsf {Fct}}(A,B_{i})}$$

أين${\displaystyle {\mathsf {Fct}}}$^{[ 2 ]} يشير إلى فئة الدوال .

بافتراض وجود دالتين${\displaystyle f:C\to D,g:C'\to D'}$المنتج${\displaystyle f\times g:C\times C'\to D\times D'}$يتم تعريفها على أساس المكونات؛ أي، $${\displaystyle (f\times g)(x,x')=(f(x),g(x'))}$$ بالنسبة لزوج من الكائنات أو التشاكلات${\displaystyle x,x'}$^{[ 3 ]} ( يمكن أيضًا وصف هذا المنتج بالخاصية الشاملة المشابهة لتلك الخاصة بالفئات). وبهذه الطريقة، نحصل على الدالة.

${\displaystyle \times$ :{\mathsf {Cat}}\times {\mathsf {Cat}}\to {\mathsf {Cat}}.}

وهو يحقق شرط اقتران الموتر-التماثل بالمعنى التالي

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathsf {Cat}}(A\times B,C)\simeq \operatorname {Hom} _{\mathsf {Cat}}(A,{\mathsf {Fct}}(B,C))}$

أين${\displaystyle {\mathsf {Fct}}}$^{[ 4 ]} يشير إلى فئة الدوال .

يترك${\displaystyle f,g:C\to D}$لنفترض أن لدينا دوال. لنفترض وجود تحويل طبيعي${\displaystyle \varphi :f\to g}$. ثم${\displaystyle \varphi }$يحدد الدالة

${\displaystyle h:C\times {\underline {2}}\to D}$

بحيث

${\displaystyle h(\cdot ,0)=f,\,h(\cdot ,1)=g}$،

أين${\displaystyle {\underline {2}}=\{0,1\}}$هي الفئة التي تحتوي على كائنين وتشكل غير متطابق${\displaystyle \rightsquigarrow :0\to 1}$[ ^{3 ]} بشكل بديهي، h عبارة عن تماثل غير قابل ^للعكس من${\displaystyle f}$ل${\displaystyle g}$في الواقع، حدد${\displaystyle h}$بواسطة، لـ${\displaystyle x:a\to b}$في${\displaystyle C}$،

${\displaystyle h(x,\operatorname {id} _{0})=f(x),\,h(x,\operatorname {id} _{1})=g(x),\,h(x,\rightsquigarrow )=g(x)\circ \varphi _{a}=\varphi _{b}\circ f(x).}$

وبالمقابل، بالنظر إلى${\displaystyle h:C\times {\underline {2}}\to D}$، نحصل${\displaystyle f,g,\varphi }$بواسطة${\displaystyle f=h(\cdot ,0),\,g=h(\cdot ,1)}$و${\displaystyle \varphi _{a}=h(\operatorname {id} _{a},\rightsquigarrow )}$[ ^{5 ]​}

يُطلق على الدالة التي يكون مجالها فئة ضرب اسم الدالة الثنائية . ويمكن تعريف الدالة الثنائية في كل متغير على حدة بالمعنى التالي:

على سبيل المثال، انظر${\displaystyle (a,b)\mapsto \operatorname {Hom} (a,b):C^{op}\times C\to {\mathsf {Set}}}$لكل ثابت${\displaystyle b}$في${\displaystyle B}$لدينا الدالة

${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,b):C^{op}\to {\mathsf {Set}}}$

عن طريق التراجع ؛ أي${\displaystyle f:a\to a'}$ينتقل إلى الوظيفة

${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Hom} (a',b)\to \operatorname {Hom} (a,b)}$

محدد بواسطة${\displaystyle f^{*}g=g\circ f}$. على الجانب الآخر،${\displaystyle \operatorname {Hom} (a,-):C\to {\mathsf {Set}}}$ يُعرَّف بالدفع للأمام؛ أي${\displaystyle f\mapsto f_{*}=f\circ -}$من الواضح أن هذين المؤثرين يتبادلان (خاصية التجميع في التركيب)، وبالتالي، وفقًا للمقترح، نحصل على المؤثر المسمى مؤثر هوم.

${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,-):C^{op}\times C\to {\mathsf {Set}},}$

وهو ما تم ذكره صراحةً على النحو التالي:${\displaystyle (f,g)\mapsto (h\mapsto g\circ h\circ f).}$

توجد نتيجة مماثلة للتحولات الطبيعية بين الدوال الثنائية:

• التعريف 1.6.5 في بورسي ، فرانسيس (1994). دليل الجبر الفئوي . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها 50-51، 53 [أي 52]. المجلد  1. مطبعة جامعة كامبريدج. ص 22. ISBN  0-521-44178-1.
• فئة المنتج في مختبر n
• ماك لين، سوندرز (1978). تصنيفات للرياضي العامل (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. الصفحات 36-40 . ISBN  1441931236. OCLC 851741862 .