نظرية الفئات

فئة​${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يتكون من الكيانات الرياضية الثلاثة التالية:

• فصل دراسي${\displaystyle {\text{ob}}({\mathcal {C}})}$، والتي تسمى عناصرها بالكائنات ؛
• فصل دراسي${\displaystyle {\text{hom}}({\mathcal {C}})}$، والتي تسمى عناصرها بالتشكلات أو الخرائط أو الأسهم .

  كل تشاكل${\displaystyle f}$يحتوي على كائن مصدر${\displaystyle a}$والكائن المستهدف${\displaystyle b}$.

  التعبير${\displaystyle f\colon a\rightarrow b}$سيتم التعبير عنها شفهياً على النحو التالي: "${\displaystyle f}$هو تشاكل من a إلى b .

  التعبير${\displaystyle {\text{hom}}(a,b)}$– أو بصيغة أخرى هي${\displaystyle {\text{hom}}_{\mathcal {C}}(a,b)}$،${\displaystyle {\text{mor}}(a,b)}$، أو${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$– يشير إلى فئة التماثل لجميع التشكلات من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b}$. ^{[ أ ]}

• عملية ثنائية${\displaystyle \circ }$، والتي تُسمى تركيب التشكلات ، بحيث يكون لدينا لأي ثلاثة كائنات a و b و c$${\displaystyle \circ \colon {\text{hom}}(b,c)\times {\text{hom}}(a,b)\to {\text{hom}}(a,c)}$$تكوين${\displaystyle f\colon a\rightarrow b}$و${\displaystyle g\colon b\rightarrow c}$تُكتب على النحو التالي:${\displaystyle g\circ f}$أو${\displaystyle gf}$، ^{[ ب ]} محكوم بمبدأين:
  1. الترابطية : إذا${\displaystyle f\colon a\rightarrow b}$،${\displaystyle g\colon b\rightarrow c}$، و${\displaystyle h\colon c\rightarrow d}$ثم$${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$$
  2. الهوية : لكل كائن x ، يوجد تشاكل${\displaystyle 1_{x}\colon x\rightarrow x}$(يشار إليه أيضًا باسم${\displaystyle {\text{id}}_{x}}$) يُطلق عليه اسم تشاكل الهوية لـ x ، بحيث يكون لكل تشاكل${\displaystyle f\colon a\rightarrow b}$لدينا$${\displaystyle 1_{b}\circ f=f=f\circ 1_{a}}$$

     انطلاقاً من البديهيات، يمكن إثبات وجود تشاكل تطابق واحد فقط لكل كائن.

غالباً ما يتم تصوير العلاقات بين التشكلات (مثل fg = h ) باستخدام المخططات التبادلية ، حيث تمثل "النقاط" (الزوايا) الكائنات وتمثل "الأسهم" التشكلات.

يمكن أن تمتلك التشكلات أيًا من الخصائص التالية. التشكل f  : a → b هو:

• أحادي الشكل (أو أحادي ) إذا كان f ∘ g ₁ = f ∘ g ₂ يستلزم g ₁ = g ₂ لجميع التشكلات g ₁ ، g ₂  : x → a .
• التشكل الفوقي (أو الملحمي ) إذا كان g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f يستلزم g ₁ = g ₂ لجميع التشكلات g ₁ ، g ₂  : b → x .
• ثنائي الشكل إذا كانت f ملحمية وأحادية في نفس الوقت.
• التشاكل هو التشاكل إذا وُجد تشاكل g  : b → a بحيث يكون f ∘ g = 1 _b و g ∘ f = 1 _a . ^{[ ج ]}
• التشكل الداخلي إذا كان a = b . يشير end( a ) إلى فئة التشكلات الداخلية لـ a .
• يُطلق على الدالة f اسم التشاكل الذاتي إذا كانت f تشاكلاً داخلياً وتشاكلاً متماثلاً. يرمز aut( a ) إلى فئة التشاكلات الذاتية للدالة a .
• الانكماش إذا كان هناك معكوس يميني لـ f ، أي إذا كان هناك تشاكل g  : b → a مع f ∘ g = 1 _b .
• قسم إذا كان هناك معكوس يساري لـ f ، أي إذا كان هناك تشاكل g  : b → a مع g ∘ f = 1 _a .

كل تراجع هو شكل فوقي، وكل مقطع هو شكل أحادي. علاوة على ذلك، فإن العبارات الثلاث التالية متكافئة:

• f عبارة عن شكل أحادي وانكماش؛
• f عبارة عن تشاكل شامل ومقطع؛
• f هو تماثل.

باستخدام لغة نظرية الفئات، يمكن تصنيف العديد من مجالات الدراسة الرياضية. وتشمل الفئات المجموعات والمجموعات والطوبولوجيا.

تتميز كل فئة بخصائص مشتركة بين جميع عناصرها، مثل المجموعة الفارغة أو حاصل ضرب طوبولوجيتين . مع ذلك، عند تعريف أي فئة، تُعتبر العناصر ذرية، أي أننا لا نعرف ما إذا كان العنصر (أ) مجموعةً، أو طوبولوجيا، أو أي مفهوم مجرد آخر. لذا، يكمن التحدي في تعريف عناصر خاصة دون الرجوع إلى بنيتها الداخلية. ولتعريف المجموعة الفارغة دون الرجوع إلى عناصرها، أو طوبولوجيا الضرب دون الرجوع إلى المجموعات المفتوحة، يمكن توصيف هذه العناصر من خلال علاقاتها بعناصر أخرى، كما هو موضح في تشاكلات الفئات المعنية. وبالتالي، تكمن المهمة في إيجاد خصائص شاملة تُحدد العناصر محل الاهتمام بشكل فريد.

يمكن وصف العديد من البنى المهمة بطريقة تصنيفية بحتة إذا أمكن تطوير حد الفئة وتحويله إلى ثنائيات لإنتاج مفهوم الحد المشترك .

من الطبيعي أن نتساءل: ما هي الشروط التي تسمح باعتبار فئتين متطابقتين جوهريًا ، بمعنى أنه يمكن تحويل النظريات المتعلقة بإحدى الفئتين بسهولة إلى نظريات تتعلق بالفئة الأخرى؟ الأداة الرئيسية المستخدمة لوصف هذه الحالة هي ما يُسمى بتكافؤ الفئات ، والذي يُحدد بواسطة دوال مناسبة بين الفئتين. وقد وجد تكافؤ الفئات تطبيقات عديدة في الرياضيات.

لا تُقدّم تعريفات الفئات والدوال سوى أساسيات الجبر الفئوي؛ وتُدرج أدناه مواضيع أخرى مهمة. ورغم وجود ترابط وثيق بين هذه المواضيع، يُمكن اعتبار الترتيب المذكور دليلاً إرشادياً لمزيد من القراءة.

• تحتوي فئة الدوال D ^C على الدوال من C إلى D كعناصر ، وعلى التحويلات الطبيعية لهذه الدوال كتشاكلات. تُعدّ مبرهنة يونيدا من أشهر النتائج الأساسية في نظرية الفئات؛ فهي تصف الدوال القابلة للتمثيل في فئات الدوال.
• الازدواجية : لكل عبارة أو نظرية أو تعريف في نظرية الفئات ازدواجية ، تُستنتج أساسًا بعكس جميع الاتجاهات. فإذا كانت عبارة ما صحيحة في فئة C، فإن ازدواجيتها صحيحة في الفئة المزدوجة Cₖ ^. هذه الازدواجية، الواضحة على مستوى نظرية الفئات، غالبًا ما تكون غير ظاهرة في التطبيقات، وقد تؤدي إلى علاقات غير متوقعة.
• الدوال المرافقة : يمكن أن تكون الدالة مرافقة يسارية (أو يمينية) لدالة أخرى تعمل في الاتجاه المعاكس. ينشأ هذا الزوج من الدوال المرافقة عادةً من بنية تُعرَّف بخاصية شاملة؛ ويمكن اعتبار ذلك منظورًا أكثر تجريدًا وقوة للخصائص الشاملة.

يمكن وضع العديد من المفاهيم المذكورة أعلاه، ولا سيما تكافؤ الفئات، وأزواج الدوال المرافقة، وفئات الدوال، في سياق الفئات ذات الأبعاد الأعلى . باختصار، إذا اعتبرنا التشكل بين كائنين بمثابة "عملية تنقلنا من كائن إلى آخر"، فإن الفئات ذات الأبعاد الأعلى تسمح لنا بتعميم ذلك بشكل مفيد من خلال النظر في "عمليات ذات أبعاد أعلى".

على سبيل المثال، تُعرَّف الفئة الثنائية (الصارمة) بأنها فئةٌ مُقترنة بـ"تشاكلات بين التشاكلات"، أي العمليات التي تسمح لنا بتحويل تشاكل إلى آخر. يُمكننا حينها "تركيب" هذه "التشاكلات الثنائية" أفقيًا وعموديًا، ويتطلب ذلك وجود "قانون تبادل" ثنائي الأبعاد يربط بين قانوني التركيب. في هذا السياق، يُعدّ Cat المثال القياسي ، وهو الفئة الثنائية لجميع الفئات (الصغيرة)، وفي هذا المثال، تُعتبر التشاكلات الثنائية للتشاكلات تحويلات طبيعية للتشاكلات بالمعنى المعتاد. مثال أساسي آخر هو النظر في فئة ثنائية ذات كائن واحد؛ فهذه في جوهرها فئات أحادية . تُعدّ الفئات الثنائية مفهومًا أضعف للفئات ثنائية الأبعاد، حيث لا يكون تركيب التشاكلات فيها ترابطيًا بشكل صارم، بل ترابطيًا "حتى" التشاكل فقط.

يمكن تعميم هذه العملية على جميع الأعداد الطبيعية n ، وتُسمى هذه الفئات n- الفئات . بل يوجد مفهوم للفئة ω- المقابلة للعدد الترتيبي ω .

تُعدّ الفئات ذات الأبعاد الأعلى جزءًا من المجال الرياضي الأوسع للجبر ذي الأبعاد الأعلى ، وهو مفهوم طرحه رونالد براون . وللحصول على مقدمة مبسطة لهذه الأفكار، يُرجى الاطلاع على كتاب جون بايز، "حكاية الفئات ذات الأبعاد n " (1996).