دالة الكتلة الثنائية

في علم الفلك ، تُعرف دالة الكتلة الثنائية ، أو ببساطة دالة الكتلة ، بأنها دالة تُحدد كتلة المكون غير المرئي (عادةً نجم أو كوكب خارج المجموعة الشمسية ) في نظام نجمي ثنائي ذي طيف أحادي الخط أو في نظام كوكبي . ويمكن حسابها من الكميات المرصودة فقط، وهي الفترة المدارية للنظام الثنائي، وذروة السرعة الشعاعية للنجم المرصود. وتُوفر سرعة أحد مكوني النظام الثنائي والفترة المدارية معلومات عن المسافة الفاصلة وقوة الجاذبية بين المكونين، وبالتالي عن كتلتيهما.

تُستنتج دالة كتلة النظام الثنائي من قانون كبلر الثالث عندما تكون السرعة الشعاعية لأحد مكونات النظام الثنائي معلومة. ^{[ 1 ]} يصف قانون كبلر الثالث حركة جسمين يدوران حول مركز كتلة مشترك . ويربط هذا القانون بين الفترة المدارية والمسافة المدارية بين الجسمين، ومجموع كتلتيهما. فبالنسبة لمسافة مدارية معينة، تعني الكتلة الكلية الأكبر للنظام سرعات مدارية أكبر . ومن جهة أخرى، بالنسبة لكتلة معينة للنظام، تعني الفترة المدارية الأطول مسافة مدارية أكبر وسرعات مدارية أقل.

بما أن الفترة المدارية والسرعات المدارية في النظام الثنائي مرتبطة بكتل مكوناته، فإن قياس هذه المعايير يوفر بعض المعلومات حول كتلة أحد المكونين أو كليهما. ^{[ 2 ]} ومع ذلك، غالبًا ما تكون السرعة المدارية الحقيقية غير معروفة، لأن تحديد السرعات في مستوى السماء أصعب بكثير من تحديدها على طول خط الرؤية. ^{[ 1 ]}

السرعة الشعاعية هي مركبة السرعة المدارية في خط رؤية الراصد. على عكس السرعة المدارية الحقيقية، يمكن تحديد السرعة الشعاعية من خلال مطيافية دوبلر للخطوط الطيفية في ضوء النجم، ^{[ 3 ]} أو من خلال تغيرات أوقات وصول النبضات من النجم النابض الراديوي . ^{[ 4 ]} يُطلق على النظام الثنائي اسم نظام ثنائي طيفي أحادي الخط إذا أمكن قياس الحركة الشعاعية لأحد مكوني النظام الثنائي فقط. في هذه الحالة، يمكن تحديد حد أدنى لكتلة المكون الآخر غير المرئي. ^{[ 1 ]}

لا يمكن تحديد الكتلة الحقيقية والسرعة المدارية الحقيقية من السرعة الشعاعية لأن ميل المدار غير معروف عمومًا. (الميل هو اتجاه المدار من وجهة نظر الراصد، ويربط بين السرعة الحقيقية والسرعة الشعاعية. ^{[ 1 ]} ) وهذا يُسبب تداخلًا بين الكتلة والميل. ^{[ 5 ] [ 6 ]} على سبيل المثال، إذا كانت السرعة الشعاعية المقاسة منخفضة، فقد يعني ذلك أن السرعة المدارية الحقيقية منخفضة (مما يشير إلى أجسام ذات كتلة منخفضة) وأن الميل مرتفع (يُرى المدار من الجانب)، أو أن السرعة الحقيقية مرتفعة (مما يشير إلى أجسام ذات كتلة عالية) ولكن الميل منخفض (يُرى المدار من الأمام).

ذروة السرعة الشعاعية${\displaystyle K}$يمثل نصف سعة منحنى السرعة الشعاعية، كما هو موضح في الشكل. الفترة المدارية${\displaystyle P_{\text{orb}}}$يُستنتج ذلك من دورية منحنى السرعة الشعاعية. وهاتان الكميتان القابلتان للرصد هما اللازمتان لحساب دالة كتلة النظام الثنائي. ^{[ 2 ]}

يُعتبر الجسم المرصود الذي يمكن قياس سرعته الشعاعية هو الجسم رقم 1 في هذه المقالة، أما رفيقه غير المرئي فهو الجسم رقم 2.

يترك${\displaystyle M_{1}}$و${\displaystyle M_{2}}$تكون الكتل النجمية، مع${\displaystyle M_{1}+M_{2}=M_{\mathrm {tot} }}$الكتلة الإجمالية للنظام الثنائي،${\displaystyle v_{1}}$و${\displaystyle v_{2}}$السرعات المدارية، و${\displaystyle a_{1}}$و${\displaystyle a_{2}}$المسافات بين الأجسام ومركز الكتلة.${\displaystyle a_{1}+a_{2}=a}$هو المحور شبه الرئيسي (الفصل المداري) للنظام الثنائي.

نبدأ بقانون كبلر الثالث، مع${\displaystyle \omega _{\mathrm {orb} }=2\pi /P_{\mathrm {orb} }}$التردد المداري و${\displaystyle G}$ثابت الجاذبية ، $${\displaystyle GM_{\text{tot}}=\omega _{\text{orb}}^{2}a^{3}.}$$

باستخدام تعريف موقع مركز الكتلة،${\displaystyle M_{1}a_{1}=M_{2}a_{2}}$، ^{[ 1 ]} يمكننا أن نكتب $${\displaystyle a=a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)=a_{1}\left(1+{\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)={\frac {a_{1}}{M_{2}}}(M_{1}+M_{2})={\frac {a_{1}M_{\mathrm {tot} }}{M_{2}}}.}$$

إدخال هذا التعبير لـ${\displaystyle a}$في قانون كبلر الثالث، نجد $${\displaystyle GM_{\mathrm {tot}}=\أوميغا _{\mathrm {orb} }^{2}{\frac {a_{1}^{3}M_{\mathrm {tot} }^{3}}{M_{2}^{3}}}.}$$

والتي يمكن إعادة كتابتها إلى $${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a_{1}^{3}}{G}}.}$$

ذروة السرعة الشعاعية للجسم 1،${\displaystyle K}$، يعتمد على ميل المدار${\displaystyle i}$(ميل 0° يُقابل مدارًا يُرى من الأمام، وميل 90° يُقابل مدارًا يُرى من الجانب). بالنسبة لمدار دائري ( انحراف المدار = 0)، يُعطى بالمعادلة ^{[ 7 ].}$${\displaystyle K=v_{1}\sin i=\omega _{\text{orb}}a_{1}\sin i.}$$

بعد الاستبدال${\displaystyle a_{1}}$نحصل على $${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\text{tot}}^{2}}}={\frac {K^{3}}{G\omega _{\text{orb}}\sin ^{3}i}}.}$$

دالة الكتلة الثنائية${\displaystyle f}$(مع وحدة الكتلة) هو ^{[ 8 ] [ 7 ] [ 2 ] [ 9 ] [ 1 ] [ 6 ] [ 10 ]}$${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}.}$$

بالنسبة للكتلة المقدرة أو المفترضة${\displaystyle M_{1}}$بالنسبة للجسم المرصود 1، الحد الأدنى للكتلة${\displaystyle M_{\mathrm {2,min} }}$يمكن تحديد ذلك بالنسبة للجسم غير المرئي 2 بافتراض${\displaystyle i=90^{\circ }}$الكتلة الحقيقية${\displaystyle M_{2}}$يعتمد ذلك على ميل المدار. عادةً ما يكون الميل غير معروف، ولكن يمكن تحديده إلى حد ما من خلال رصد حالات الكسوف ، ^{[ 2 ]} أو تقييده من خلال عدم رصد حالات الكسوف، ^{[ 8 ] [ 9 ]} أو نمذجته باستخدام التغيرات الإهليلجية (يؤدي الشكل غير الكروي للنجم في النظام الثنائي إلى تغيرات في السطوع على مدار مداره تعتمد على ميل النظام). ^{[ 11 ]}

في مدار ذي انحراف مركزي${\displaystyle e}$، يتم إعطاء دالة الكتلة بواسطة ^{[ 7 ] [ 12 ]}$${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}.}$$