بيوكتونيون

في الرياضيات ، يُعرف جبر الأوكتونيونات الثنائية ، أو الأوكتونيونات المركبة ، بأنه حاصل الضرب الموتري لجبر الأوكتونيونات وجبر الأعداد المركبة . ويُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle \mathbb {O} \otimes \mathbb {C} }$أو${\displaystyle \mathbb {O} _{\mathbb {C} }}$.

وبالتالي، يمكن كتابة كل ثنائي ثماني على الصورة a + bi حيث a و b ثنائيات ثمانية. ويُعرَّف جمع الثنائيات الثمانية بـ

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i}$

ويُعرَّف تكاثر الخلايا الحيوية بواسطة

${\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.}$

يمكننا تعريف المرافق لـ bioctonion بواسطة

${\displaystyle (a+bi)^{*}=ab^{*}i.}$

توجد طريقة مكافئة أخرى تُنتج البيوكتونيونات من خلال تطبيق بناء كايلي-ديكسون بشكل متكرر ، بدءًا من حقل الأعداد المركبة ، والالتفاف التافه، والصيغة التربيعية z² ^. بتطبيق هذا البناء مرةً نحصل على البيكواترنيونات ، وبتطبيقه مرةً أخرى نحصل على البيوكتونيونات. يُظهر هذا النهج البيوكتونيونات كجبر أوكتوني على الأعداد المركبة.

بشكل ملموس، في هذا النهج، يُكتب البيوكتونيون على شكل زوج ( p,q ) حيث p و q عبارة عن ثنائيات رباعية . ثم يتم تعريف جمع البيوكتونيونات بواسطة

${\displaystyle (p,q)+(r,s)=(p+r,q+s)}$

بينما يتم تعريف ضرب الأيونات الثنائية باستخدام ضرب الأيونات الرباعية الثنائية والمترافق الثنائي${\displaystyle p^{\ast }}$من ثنائي رباعي p ، كما يلي:

${\displaystyle (p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,\ sp+qr^{*}).}$

في هذا النهج، يكون للبيوكتونيون z = ( p,q ) مرافق z * = ( p *, –q ) ، ومعيار N ( z ) للبيوكتونيون z هو zz * = pp * + qq *، وهو شكل تربيعي معقد ذو ثمانية حدود. لأي زوج من البيوكتونيونات y و z ،

${\displaystyle N(yz)=N(y)N(z),}$

مما يدل على أن N شكل تربيعي يقبل التركيب. وبالتالي، تشكل الأعداد الثنائية جبر تركيب على الأعداد المركبة.

شرح جاي روس كيف يتم استخدام البيوكتونيونات لعرض المجالات المتناظرة الاستثنائية: ^{[ 1 ]}

يتضمن الوصف الصريح للمجالات الاستثنائية ... مصفوفات 3×3 ذات مدخلات في جبر كايلي-غريفز${\displaystyle \mathbb {O} _{\mathbb {C} }}$من الأوكتونيونات المعقدة ... الفضاء${\displaystyle H_{3}(\mathbb {O} _{\mathbb {C} })}$يمكن تزويد هذه المصفوفات، التي تكون هيرميتية بالنسبة إلى اقتران كايلي، ببنية جبر جوردان باستخدام ضرب يعمم الضرب المتناظر بطريقة طبيعية${\displaystyle x\circ y={\tfrac {1}{2}}(xy+yx)}$من المصفوفات المربعة العادية . يُعرف هذا الجبر باسم جبر ألبرت أو جبر جوردان الاستثنائي . وهو المكان الطبيعي لوصف المجال المتناظر الاستثنائي ذي البعد 27. أما المجال المتناظر الاستثنائي الثاني (ذي البعد المركب 16) فيقع في الفضاء${\displaystyle M_{2,1}(\mathbb {O} _{\mathbb {C} })}$من مصفوفات 2×1 ذات مدخلات ثمانية.

^{تم استخدام الأوكتونيونات المعقدة لوصف} أجيال الكواركات واللبتونات . [ ^{2 ]}

• JD Edmonds (1978) تسعة متجهات، أعداد معقدة ثمانية/رباعية معقدة، مجموعات لي والعالم "الحقيقي" ، أسس الفيزياء 8(3-4): 303-11، doi : 10.1007/BF00715215 رابط من PhilPapers .
• ج. كوبلينجر وف. دزونوشالييف (2008) "التحليل غير الترابطي لمؤثر الزخم الزاوي باستخدام الأوكتونيونات المركبة" ، عرض تقديمي في اجتماع الجمعية الفيزيائية الأمريكية
• دي جي كابي (1984) "التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات فائق التعقيد"، ميتريكا 31(2):63-76 MR 0744966 
• AA Eliovich & VI Sanyuk (2010) "المعايير المتعددة"، الفيزياء النظرية والرياضية 162(2) 135-48 MR 2681963