ثنائي الكواتيرنيون

في الجبر المجرد ، تُعرف الثنائيات الرباعية بأنها الأعداد w + xᵢ + yⱼ + zⱼ ، حيث w و x و y و z أعداد مركبة أو متغيرات منها، وتُضرب عناصر المجموعة { 1 , i , j , k } كما في زمرة الرباعيات وتتبادل مع معاملاتها. توجد ثلاثة أنواع من الثنائيات الرباعية التي تُقابل الأعداد المركبة ومتغيراتها:

• الأعداد الرباعية الثنائية عندما تكون المعاملات أعدادًا مركبة .
• الأعداد الرباعية المنقسمة عندما تكون المعاملات أعدادًا مركبة منقسمة .
• الأعداد الرباعية المزدوجة عندما تكون المعاملات أعدادًا مزدوجة .

تتناول هذه المقالة الأعداد الرباعية الثنائية العادية التي سماها ويليام روان هاميلتون عام 1844. ^{[ 1 ]} ومن أبرز مؤيدي هذه الأعداد الرباعية الثنائية ألكسندر ماكفارلين ، وآرثر دبليو كونواي ، ولودويك سيلبرشتاين ، وكورنيليوس لانكزوس . وكما سيتبين لاحقًا، فإن شبه الكرة الوحدوية للأعداد الرباعية الثنائية تمثل مجموعة لورنتز ، التي تُعد أساس النسبية الخاصة .

يمكن اعتبار جبر الثنائيات الرباعية بمثابة جداء موتر C ⊗ _R H ، حيث C هو حقل الأعداد المركبة و H هو جبر قسمة الرباعيات (الحقيقية) . بعبارة أخرى، تُعدّ الثنائيات الرباعية مجرد تعقيد للرباعيات. عند النظر إليها كجبر مركب، فإن الثنائيات الرباعية متماثلة مع جبر المصفوفات المركبة 2 × 2، M ₂ ( C ) . كما أنها متماثلة مع العديد من جبر كليفورد، بما في ذلك C ⊗ _R H = Cl ^[0] ₃ ( C ) = Cl ₂ ( C ) = Cl _1,2 ( R ) ، ^{[ 2 ]} وجبر باولي Cl _3,0 ( R ) ، ^{[ 3 ] [ 4 ]} والجزء الزوجي Cl ^[0] _1,3 ( R ) = Cl ^[0] _3,1 ( R ) من جبر الزمكان . ^{[ 5 ]} في أدبيات الفيزياء ، تُستخدم الثنائيات الرباعية، في تعريفها الحقيقي لجبر كليفورد كـ Cl _3,0 ( R ) ، تحت اسم جبر الفضاء الفيزيائي . ^{[ 6 ]}

ليكن { 1 ، i ، j ، k } أساسًا للأعداد الرباعية (الحقيقية) H ، ولتكن u ، v ، w ، x أعدادًا مركبة، عندئذٍ

${\displaystyle q=u\mathbf {1} +v\mathbf {i} +w\mathbf {j} +x\mathbf {k} }$

هو ثنائي رباعي . ^{[ 7 ]} ولتمييز الجذور التربيعية للعدد سالب واحد في الثنائيات الرباعية، استخدم هاميلتون ^{[ 8 ] [ 9 ]} وآرثر دبليو كونواي اصطلاح تمثيل الجذر التربيعي للعدد سالب واحد في الحقل القياسي C بالرمز h لتجنب الخلط بينه وبين i في زمرة الرباعيات. يُفترض تبادلية الحقل القياسي مع زمرة الرباعيات.

${\displaystyle h\mathbf {i} =\mathbf {i} h,\ \ h\mathbf {j} =\mathbf {j} h,\ \ h\mathbf {k} =\mathbf {k} h.}$

قدم هاميلتون المصطلحات bivector و biconjugate و bitensor و biversor لتوسيع المفاهيم المستخدمة مع الكواترنيونات الحقيقية H.

جاء عرض هاميلتون الأساسي حول ثنائيات الرباعيات في عام 1853 في محاضراته عن الرباعيات . أما طبعات كتاب " عناصر الرباعيات" ، التي صدرت عام 1866 من تأليف ويليام إدوين هاميلتون (ابن روان)، وفي عامي 1899 و1901 من تأليف تشارلز جاسبر جولي ، فقد قلّصت تغطية ثنائيات الرباعيات لصالح الرباعيات الحقيقية.

عند النظر إلى هذه المجموعة مع عمليات الجمع والضرب لكل عنصر على حدة وفقًا لمجموعة الكواترنيون، فإنها تُشكّل جبرًا رباعي الأبعاد على الأعداد المركبة C. جبر الكواترنيونات الثنائية تجميعي ، ولكنه ليس تبديليًا . الكواترنيون الثنائي إما عنصر محايد أو قاسم للصفر . يُشكّل جبر الكواترنيونات الثنائية جبرًا تركيبيًا، ويمكن بناؤه من الأعداد المركبة الثنائية . انظر القسم § " كجبر تركيبي" أدناه. 

للأعداد الرباعية المزدوجة مجموعتان مترافقتان :

• المقترن الثنائي أو العدد القياسي الثنائي مطروحًا منه متجه ثنائي هو${\displaystyle q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,}$و
• الاقتران المعقد لمعاملات ثنائي الكواترنيون${\displaystyle {\bar {q}}={\bar {w}}+{\bar {x}}\mathbf {i} +{\bar {y}}\mathbf {j} +{\bar {z}}\mathbf {k} }$

أين${\displaystyle {\bar {z}}=a-bh}$متى${\displaystyle z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .}$

لاحظ أن${\displaystyle (pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad {\overline {pq}}={\bar {p}}{\bar {q}},\quad {\overline {q^{*}}}={\bar {q}}^{*}.}$

من الواضح، إذا${\displaystyle qq^{*}=0}$إذن، q قاسم للصفر. وإلا${\displaystyle \lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }}$هو عدد مركب. علاوة على ذلك،${\displaystyle qq^{*}=q^{*}q}$ is easily verified. This allows the inverse to be defined by

• ${\displaystyle q^{-1}=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-1}}$, if ${\displaystyle qq^{*}\neq 0.}$

As the biquaternions have been a fixture of linear algebra since the beginnings of mathematical physics, there is an array of concepts that are illustrated or represented by biquaternion algebra. The transformation group${\displaystyle G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace }$ has two parts, ${\displaystyle G\cap H}$ and ${\displaystyle G\cap M.}$ The first part is characterized by ${\displaystyle g={\bar {g}}}$ ; then the Lorentz transformation corresponding to g is given by ${\displaystyle T(q)=g^{-1}qg}$ since ${\displaystyle g^{*}=g^{-1}.}$ Such a transformation is a rotation by quaternion multiplication, and the collection of them is SO(3)${\displaystyle \cong G\cap H.}$ But this subgroup of G is not a normal subgroup, so no quotient group can be formed.

To view ${\displaystyle G\cap M}$ it is necessary to show some subalgebra structure in the biquaternions. Let r represent an element of the sphere of square roots of minus one in the real quaternion subalgebra H. Then (hr)² = +1 and the plane of biquaternions given by ${\displaystyle D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace }$ is a commutative subalgebra isomorphic to the plane of split-complex numbers. Just as the ordinary complex plane has a unit circle, ${\displaystyle D_{r}}$ has a unit hyperbola given by

${\displaystyle \exp(ahr)=\cosh(a)+hr\ \sinh(a),\quad a\in R.}$

Just as the unit circle turns by multiplication through one of its elements, so the hyperbola turns because ${\displaystyle \exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).}$لذا تُسمى هذه المؤثرات الجبرية على القطع الزائد بالمتجهات الزائدية . _تُعد دائرة الوحدة في C والقطع الزائد للوحدة في D مثالين على الزمر ذات المعامل الواحد . لكل جذر تربيعي r لسالب واحد في H ، توجد زمرة ذات معامل واحد في الثنائيات الرباعية معطاة بـ${\displaystyle G\cap D_{r}.}$

يتمتع فضاء الثنائيات الرباعية بطوبولوجيا طبيعية من خلال المقياس الإقليدي على الفضاء ذي البعد 8. وبناءً على هذه الطوبولوجيا، فإن G زمرة طوبولوجية . علاوة على ذلك، تتمتع ببنية تحليلية تجعلها زمرة لي ذات ستة معلمات . لننظر إلى الفضاء الجزئي للمتجهات الثنائية ${\displaystyle A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace }$ثم الخريطة الأسية${\displaystyle \exp :A\to G}$ يأخذ المتجهات الحقيقية إلى${\displaystyle G\cap H}$والمتجهات h إلى${\displaystyle G\cap M.}$عند تزويدها بالمبدل ، تُشكّل A جبر لي للمجموعة G. وبالتالي ، تُقدّم هذه الدراسة لفضاء سداسي الأبعاد المفاهيم العامة لنظرية لي . عند النظر إليها في تمثيل المصفوفة، تُسمى G المجموعة الخطية الخاصة SL(2,C) في M(2, C ) .

تُوضَّح العديد من مفاهيم النسبية الخاصة من خلال هياكل البيكواترنيون الموضحة. يُقابل الفضاء الجزئي M فضاء مينكوفسكي ، حيث تُحدد الإحداثيات الأربعة مواقع الأحداث في الزمان والمكان ضمن إطار مرجعي ساكن. يُقابل أي متجه زائدي exp( ahr ) سرعة في الاتجاه r مقدارها c tanh a، حيث c هي سرعة الضوء . يمكن جعل الإطار المرجعي العطالي لهذه السرعة هو الإطار الساكن بتطبيق تحويل لورنتز T المُعطى بالعلاقة g = exp(0.5ahr ) .${\displaystyle g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}}$لهذا السبب.${\displaystyle T(\exp(ahr))=1.}$ بطبيعة الحال، القطع الزائد${\displaystyle G\cap M,}$يمثل هذا النطاق من السرعات، الذي يُمثل مدى الحركة دون سرعة الضوء، أهمية فيزيائية. وقد بُذلت جهود كبيرة لربط "فضاء السرعة" هذا بنموذج القطع الزائد في الهندسة القطعية . في النسبية الخاصة، يُطلق على مُعامل الزاوية القطعية لمتجه القطع الزائد اسم السرعة . وهكذا نرى أن مجموعة الثنائي الرباعي G تُوفر تمثيلًا جماعيًا لمجموعة لورنتز . ^{[ 12 ]}

بعد ظهور نظرية السبينور ، وخاصة على يد فولفغانغ باولي وإيلي كارتان ، تم استبدال تمثيل ثنائي الكواترنيون لمجموعة لورنتز. وقد استندت الطرق الجديدة إلى متجهات الأساس في المجموعة

${\displaystyle \{q\$ :\ qq^{*}=0\}=\left\{w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \  :\ w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\right\}}

يُطلق عليه اسم مخروط الضوء المركب . يتطابق التمثيل المذكور أعلاه لمجموعة لورنتز مع ما يُشير إليه الفيزيائيون باسم المتجهات الرباعية . بالإضافة إلى المتجهات الرباعية، يتضمن النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات تمثيلات لورنتز أخرى، تُعرف باسم الكميات القياسية ، والتمثيل (1, 0) ⊕ (0, 1) المرتبط، على سبيل المثال، بموتر المجال الكهرومغناطيسي . علاوة على ذلك، تستخدم فيزياء الجسيمات تمثيلات SL(2, C ) (أو التمثيلات الإسقاطية لمجموعة لورنتز) المعروفة باسم سبينورات فايل اليسرى واليمنى ، وسبينورات ماجورانا ، وسبينورات ديراك . من المعروف أنه يمكن بناء كل من هذه التمثيلات السبعة كفضاءات فرعية ثابتة ضمن الثنائيات الرباعية. ^{[ 13 ]}

على الرغم من أن دبليو آر هاميلتون قدّم مفهوم الأعداد الرباعية الثنائية في القرن التاسع عشر، إلا أن تحديد بنيتها الرياضية كنوع خاص من الجبر على حقل ما لم يتم إلا في القرن العشرين: إذ يمكن توليد الأعداد الرباعية الثنائية من الأعداد المركبة الثنائية بنفس الطريقة التي ولّد بها أدريان ألبرت الأعداد الرباعية الحقيقية من الأعداد المركبة في ما يُعرف ببناء كايلي-ديكسون . في هذا البناء، يكون للعدد المركب الثنائي ( w , z ) مرافق ( w , z )* = ( w , –z ) .

يكون العدد الرباعي الثنائي زوجًا من الأعداد المركبة الثنائية ( أ ، ب ) ، حيث يكون حاصل ضربه مع عدد رباعي ثنائي آخر ( ج ، د ) هو

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).}$

لو${\displaystyle a=(u,v),b=(w,z),}$ثم المركب الثنائي المترافق${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b).}$

عندما يُكتب ( a , b )* كمتجه رباعي من الأعداد المركبة العادية،

${\displaystyle (u,v,w,z)^{*}=(u,-v,-w,-z).}$

تُشكل الثنائيات الرباعية مثالاً على جبر الرباعيات ، ولها معيار

${\displaystyle N(u,v,w,z)=u^{2}+v^{2}+w^{2}+z^{2}.}$

يحقق عددان من الأعداد الرباعية p و q المعادلة N ( pq ) = N ( p ) N ( q ) ، مما يشير إلى أن N هو شكل تربيعي يقبل التركيب ، بحيث تشكل الأعداد الرباعية جبر تركيب .

ثنائي رباعي عشوائي${\displaystyle A}$يمكن تمثيلها كمجموع عدد مركب ( عدد قياسي )${\displaystyle \alpha =Sc(A)}$ ومتجه ثلاثي الأبعاد ذو قيم مركبة${\displaystyle \mathbf {a} =Vc(A)}$^{[ 14 ]} :

${\displaystyle A=\alpha +\mathbf {a} =(\alpha ,\mathbf {a} )}$

يوجد نوعان من تمثيل الكميات العددية والمتجهة، يعتمدان على صيغ مختلفة لضرب ثنائي رباعي. كلا التمثيلين متكافئان. في التمثيل القياسي ^{[ 15 ]،} يكون حاصل ضرب ثنائيين رباعيين هو${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$و${\displaystyle B=(\beta ,\mathbf {b} )}$ له الشكل التالي:

${\displaystyle AB=(\alpha \beta -(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +[\mathbf {a} \mathbf {b} ])}$،

أين${\displaystyle (\mathbf {a} \mathbf {b} )}$و${\displaystyle [\mathbf {a} \mathbf {b} ]}$هما حاصل الضرب القياسي وحاصل الضرب الاتجاهي لـ${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$على التوالي. في التمثيل المركب ^{[ 16 ]} يكون ناتج ضرب نفس الثنائيات الرباعية على الشكل التالي:

${\displaystyle AB=(\alpha \beta +(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +i[\mathbf {a} \mathbf {b} ])}$

لاحظ أنه في التمثيل المركب، ينتج عن ضرب عددين رباعيين حقيقيين عدد رباعي مركب، ما لم تكن أجزاؤهما المتجهة على استقامة واحدة. المرافق الرباعي لعدد رباعي معطى${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle {\overline {A}}=(\alpha ,-\mathbf {a} )}$

مربع معامل ثنائي رباعي${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$هو عدد مركب

${\displaystyle |A|^{2}=A{\overline {A}}={\overline {A}}A=\alpha ^{2}-\mathbf {a} ^{2}}$

أما الأخير فيمتلك خاصية الضرب:

${\displaystyle |AB|^{2}=|A|^{2}|B|^{2}}$

يؤدي تطبيق الاقتران الثنائي الرباعي أو الاقتران المعقد على ناتج ضرب الثنائي الرباعي إلى تحويل كل مضاعف إلى مرافقه وتغيير ترتيبهما:

${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {B}}{\overline {A}}}$

${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$

بحسب معاملها التربيعي، تُقسّم جميع الثنائيات الرباعية إلى فضاءين فرعيين غير متقاطعين (عن طريق الضرب): الثنائيات الرباعية الصفرية والثنائيات الرباعية المحدودة. الثنائيات الرباعية الصفرية هي ثنائيات رباعية ذات معامل تربيعي يساوي صفرًا؛ أما الثنائيات الرباعية المحدودة فهي ثنائيات رباعية ذات معامل تربيعي لا يساوي صفرًا.

• جبر ثنائي الكواترنيون
• عدد معقد للغاية
• تحليل المركبات الفائقة
• يواكيم لامبيك
• استخدام ماكفارلين
• حلقة القسمة
• تحويلات لورنتز الرباعية
• دوال ثنائية الرباعي