الشكل التربيعي

في الرياضيات ، الصيغة التربيعية هي متعددة حدود جميع حدودها من الدرجة الثانية (" الصيغة التربيعية " هي اسم آخر لمتعددة الحدود المتجانسة ). على سبيل المثال، $4x^{2}+2xy-3y^{2}$

هي صيغة تربيعية في المتغيرين $x$ و $y$ . عادةً ما تنتمي المعاملات إلى حقل ثابت $K$ ، مثل الأعداد الحقيقية أو المركبة ، ويُقال إنها صيغة تربيعية على $K.$ على الأعداد الحقيقية، تُوصف الصيغة التربيعية بأنها محددة إذا كانت قيمتها صفرًا فقط عندما تكون جميع متغيراتها صفرًا في آنٍ واحد؛ وإلا فهي متناحية .

تحتل الأشكال التربيعية مكانة مركزية في فروع مختلفة من الرياضيات، بما في ذلك نظرية الأعداد ، والجبر الخطي ، ونظرية الزمر ( الزمر المتعامدة )، والهندسة التفاضلية ( المقياس الريماني ، الشكل الأساسي الثاني )، والطوبولوجيا التفاضلية ( أشكال تقاطع المتشعبات ، وخاصة المتشعبات الرباعية )، ونظرية لي ( شكل كيلينغ )، والإحصاء (حيث يكون أس $e$ للتوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات ذي المتوسط الصفري الشكل التربيعي $(-1/2) x T ‍ Σ -1 ‍ x$ ).

لا ينبغي الخلط بين الأشكال التربيعية والمعادلات التربيعية ، التي تحتوي على متغير واحد فقط وقد تتضمن حدودًا من الدرجة الأقل من اثنين. الشكل التربيعي هو حالة خاصة من المفهوم الأعم للأشكال .

مقدمة

الأشكال التربيعية هي كثيرات حدود تربيعية متجانسة في $n$ متغير. في حالات متغير واحد، ومتغيرين، وثلاثة متغيرات، تُسمى أحادية ، وثنائية ، وثلاثية ، ولها الشكل الصريح التالي: $\displaystyle \begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(أحادي)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(ثنائي)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ثلاثي)}}\end{aligned}}}$

حيث $a و$ ... و $f$ هي المعاملات . ^{[ 1 ]}

تعتمد نظرية الأشكال التربيعية والأساليب المستخدمة في دراستها إلى حد كبير على طبيعة المعاملات، التي قد تكون أعدادًا حقيقية أو مركبة ، أو أعدادًا نسبية ، أو أعدادًا صحيحة . في الجبر الخطي والهندسة التحليلية ، وفي معظم تطبيقات الأشكال التربيعية، تكون المعاملات أعدادًا حقيقية أو مركبة. في النظرية الجبرية للأشكال التربيعية، تكون المعاملات عناصر من حقل معين . أما في النظرية الحسابية للأشكال التربيعية، فتنتمي المعاملات إلى حلقة تبديلية ثابتة، غالبًا ما تكون الأعداد الصحيحة $Z$ أو الأعداد $الصحيحة p -adic$ $Zp$ $.$ ^[²^] وقد دُرست الأشكال التربيعية الثنائية على نطاق واسع في نظرية الأعداد ، ولا سيما في نظرية الحقول التربيعية والكسور المستمرة والأشكال النمطية . ولنظرية الأشكال التربيعية التكاملية في $n$ متغير تطبيقات مهمة في الطوبولوجيا الجبرية .

باستخدام الإحداثيات المتجانسة ، يُعرّف شكل تربيعي غير صفري في $n$ متغيرًا سطحًا تربيعيًا إسقاطيًا ذا $(n - 2)$ بُعدًا في الفضاء الإسقاطي ذي $($ $n$ $- 1) بُعدًا. وبهذه الطريقة$ ، يمكن تصور الأشكال التربيعية الحقيقية ثلاثية الأبعاد على أنها قطوع مخروطية . ومن الأمثلة على ذلك الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ومربع المعيار الإقليدي الذي يعبر عن المسافة بين نقطة إحداثياتها $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ ونقطة الأصل. $q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

مفهومٌ وثيق الصلة ذو دلالات هندسية هو الفضاء التربيعي ، وهو زوج $(V, q)$ ، حيث $V$ فضاء متجهي على حقل $K$ ، و $q : V \to K$ شكل تربيعي على $V.$ انظر قسم التعريفات أدناه لتعريف الشكل التربيعي على الفضاء المتجهي.

تاريخ

يعود تاريخ دراسة الصيغ التربيعية، ولا سيما مسألة إمكانية تمثيل عدد صحيح معين بقيمة صيغة تربيعية على مجموعة الأعداد الصحيحة، إلى قرون عديدة. ومن الأمثلة على ذلك نظرية فيرما حول مجموع مربعين ، والتي تحدد متى يمكن التعبير عن عدد صحيح بالصيغة $x² + y² ،$ حيث $x$ $و$ $y$ عددان صحيحان. وترتبط هذه المسألة بمسألة إيجاد ثلاثيات فيثاغورس ، التي ظهرت في الألفية الثانية قبل الميلاد. ^{[ 3 ]}

في عام 628، كتب عالم الرياضيات الهندي براهمغوبتا كتاب $"$ براهمسفوتاسيدانتا" $،$ الذي يتضمن، من بين أمور أخرى كثيرة ، دراسة المعادلات من الشكل $x² - ny² = c$ . وقد تناول ما يُعرف الآن بمعادلة بيل ، $x² - ny² = 1 ،$ ووجد طريقة لحلها. ^{[ 4 ]} $وفي أوروبا ،$ درس هذه المسألة كلٌ من براونكر وأويلر ولاغرانج .

في عام 1801، نشر غاوس كتابه "Disquisitiones Arithmeticae" ، الذي خصص جزءًا كبيرًا منه لنظرية كاملة للأشكال التربيعية الثنائية على الأعداد الصحيحة . ومنذ ذلك الحين، تم تعميم المفهوم، وتم توضيح الروابط مع حقول الأعداد التربيعية ، والمجموعة النمطية ، ومجالات أخرى من الرياضيات بشكل أكبر.

المصفوفة المتناظرة المرتبطة

أي مصفوفة $A من الرتبة$ $n \times n$ تحدد شكلاً تربيعياً $q$ $A$ في $n$ متغيراً بواسطة $//$ حيث $A = (a ij)$ وحيث $\mathbf {x}$ هو متجه عمودي $n \times 1$ .

مثال

لننظر في حالة المعادلات التربيعية في ثلاثة متغيرات $x و y و z$ . المصفوفة $A$ لها الشكل التالي: $A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}.$

الصيغة أعلاه تعطي $q_{A}(x,y,z)=ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h)yz.$

إذن، تُعرّف مصفوفتان مختلفتان نفس الصيغة التربيعية إذا وفقط إذا كانت لهما نفس العناصر على القطر الرئيسي ونفس قيم المجاميع $b + d$ و $c + g$ و $f + h$ . وبالتحديد، تُعرّف الصيغة التربيعية $q A$ بواسطة مصفوفة متناظرة فريدة. $A={\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}.$

ويمكن تعميم ذلك على أي عدد من المتغيرات على النحو التالي.

الحالة العامة

بفرض وجود شكل تربيعي $q A$ على الأعداد الحقيقية، معرف بالمصفوفة $A = [a ij] n, n i, j =1,1$ ، حيث تتغير المؤشرات $i$ و $j بشكل مستقل من$ $1$ إلى $n \geq 2$ ، فإن المصفوفة

B\equiv \left[{\frac {a_{\;\!ij}+a_{\;\!ji}}{2}}\right]_{i,j=1,1}^{n,n}={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right)

هي متناظرة ، وتعرف نفس الشكل التربيعي مثل $A$ ، وهي المصفوفة المتناظرة الوحيدة التي تحدد $q A.$

لذا، بالنسبة للأعداد الحقيقية (وبشكل أعم، بالنسبة لحقل ذي خاصية مختلفة عن اثنين)، هناك تطابق واحد لواحد بين الأشكال التربيعية والمصفوفات المتناظرة التي تحددها.

الأشكال التربيعية الحقيقية

تتمثل إحدى المشكلات الأساسية في تصنيف الأشكال التربيعية الحقيقية تحت تغيير خطي للمتغيرات .

أثبت جاكوبي أنه لكل شكل تربيعي حقيقي، يوجد تحويل قطري متعامد ؛ أي تغيير متعامد للمتغيرات يضع الشكل التربيعي في " شكل قطري ". $\lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},$ حيث تكون المصفوفة المتناظرة المرتبطة بها قطرية . علاوة $على$ ذلك، يتم تحديد المعاملات $λ1 ، λ2 ، ... ، λn$ بشكل فريد حتى التبديل . ^[⁵^]

$إذا كان$ تغيير المتغيرات مُعطى بمصفوفة قابلة للعكس وليست بالضرورة متعامدة، فيمكن افتراض أن جميع المعاملات $λᵢ$ هي $0$ أو $+1$ أو $-1$ . ينص قانون سيلفستر للقصور الذاتي على أن أعداد كل من $0$ و $+1$ و $-1$ هي ثوابت للصيغة التربيعية، بمعنى أن أي عملية قطرية أخرى ستحتوي على العدد نفسه من كل منها. $إشارة الصيغة التربيعية هي الثلاثية (n₀,$ $n⁺$ , n⁻ $) ، حيث تُحسب هذه المكونات عدد الأصفار$ ، وعدد $+1$ ، وعدد $-1 على$ $التوالي$ . يُبين قانون سيلفستر للقصور الذاتي أن هذه كمية محددة جيدًا مرتبطة بالصيغة التربيعية.

تُعدّ الحالة التي تكون فيها جميع $قيم$ $λᵢ$ من نفس الإشارة ذات أهمية خاصة: في هذه الحالة، يُطلق على الصيغة التربيعية اسم الصيغة الموجبة المحددة (جميعها $+1$ ) أو الصيغة السالبة المحددة (جميعها $-1$ ). إذا لم يكن أي من الحدود يساوي $صفرًا$ ، فإن الصيغة تُسمىغير منحلة ؛ ويشمل ذلك الشكلالتربيعي الموجب المحدد، والسالب المحدد،(مزيج من $+1$ و $-1$ )؛ وبشكل مكافئ، فإن الشكل التربيعي غير المنحل هو الشكل الذي يكون شكله المتناظر المرتبط بهشكلاً ثنائي الخطية غير منحل. غالبًا ما يُرمز إلى فضاء متجهي حقيقي ذي شكل تربيعي غير محدد وغير منحل ذي دليل $(p, q)$ (حيث $p$ عدد $+1$ ، و $q$ عدد $-1$ ) بالرمز $ℝ p, q،$ خاصة في النظرية الفيزيائيةللزمكان.

يمكن تعريف مميز الصيغة التربيعية ، وتحديدًا فئة محدد المصفوفة الممثلة في $K / (K \times) ²$ (حتى المربعات غير الصفرية)، وهو بالنسبة للصيغة التربيعية الحقيقية ثابت أبسط من الإشارة، إذ يأخذ قيمًا "موجبة أو صفر أو سالبة" فقط. الصفر يُشير إلى الصيغة المنحلة، بينما بالنسبة للصيغة غير المنحلة ، فهو زوجية عدد المعاملات السالبة، $(-1) ⁿ⁻ .$

تمت إعادة صياغة هذه النتائج بطريقة مختلفة أدناه.

لتكن $q$ صيغة تربيعية معرفة على فضاء متجهي حقيقي ذي $n$ بُعد . ولتكن $A$ مصفوفة الصيغة التربيعية $q$ في أساس مُعطى. هذا يعني أن $A$ مصفوفة متناظرة من الرتبة $n$ $\times$ $n$ بحيث $q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax,$ حيث يمثل $x$ متجه العمود لإحداثيات $v$ في الأساس المختار. عند تغيير الأساس، يُضرب العمود $x من اليسار بمصفوفة$ قابلة للعكس $S من الرتبة$ $n \times n$ ، وتتحول المصفوفة المربعة المتناظرة $A$ إلى مصفوفة مربعة متناظرة أخرى $B$ من نفس الحجم وفقًا للصيغة التالية: $A\to B=S^{\mathsf {T}}AS~.$

يمكن تحويل أي مصفوفة متناظرة $A$ إلى مصفوفة قطرية $B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}$ باختيار مناسب لمصفوفة متعامدة S $،$ تُحدد عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة $B بشكل فريد - وهذا ما يُعرف بنظرية جاكوبي ($ انظر المصفوفة المتناظرة المعكوسة ). إذا سُمح لـ $S بأن تكون$ أي مصفوفة قابلة للعكس، فيمكن جعل $B تحتوي فقط على$ $0$ و $+1$ و $-1$ على القطر الرئيسي، ويعتمد عدد عناصر كل نوع ( $n₀$ للقيمة $0$ ، و $n⁺$ $للقيمة$ $+1$ $،$ و $n⁻$ للقيمة $-1$ ) على $A$ فقط . هذه إحدى صيغ قانون سيلفستر للقصور الذاتي، ويُطلق على العددين n⁺ و n⁻ $مؤشري$ $القصور$ $الذاتي$ $الموجب$ والسالب . على الرغم من أن تعريفهما يتطلب اختيار أساس ودراسة المصفوفة المتناظرة الحقيقية المقابلة A $،$ $فإن$ قانون سيلفستر للقصور الذاتي يعني أنهما ثابتان للصيغة التربيعية $q$ .

تكون الصيغة التربيعية $q$ موجبة التحديد إذا كانت $q (v) > 0$ (وبالمثل، سالبة التحديد إذا كانت $q (v) < 0$ ) لكل متجه غير صفري $v$ . ^{[ 6 ]} عندما تأخذ $q (v)$ قيمًا موجبة وسالبة، تكون $q$ صيغة تربيعية متناحية . تُظهر نظريات جاكوبي وسيلفستر أنه يمكن تحويل أي صيغة تربيعية موجبة التحديد في $n$ متغيرًا إلى مجموع $n$ مربعًا بواسطة تحويل خطي قابل للعكس مناسب: هندسيًا، لا توجد سوى صيغة تربيعية حقيقية موجبة التحديد واحدة لكل بُعد. زمرة التماثل الخاصة بها هي زمرة متعامدة متراصة ، ويُرمز لها اصطلاحًا بـ $O($ $n$ $)$ . وهذا يتناقض مع حالة الصيغ المتناحية، حيث تكون الزمرة المقابلة، وهي الزمرة المتعامدة غير المحددة $O($ $p$ $,$ $q$ $)$ ، غير متراصة. علاوة على ذلك، فإن مجموعات التماثل لـ $Q$ و $-$ $Q$ هي نفسها ( $O($ $p$ $,$ $q$ $) \approx O($ $q$ $,$ $p$ $)$ )، ولكن جبر كليفورد المرتبط بها (وبالتالي مجموعات pin ) مختلفة.

التعريفات

الشكل التربيعي على حقل $K$ هو تطبيق $q : V \to K$ $من فضاء متجه K$ محدود الأبعاد إلى $K$ بحيث يكون $q (av) = a 2 q (v)$ لجميع $a \in K$ ، $v \in V$ والدالة $q (u + v) - q (u) - q (v)$ شكل ثنائي الخطية .

وبشكل أكثر تحديداً، فإن الشكل التربيعي من الرتبة $n$ على حقل $K$ هو متعدد حدود متجانس من الدرجة 2 في $n$ متغيرات بمعاملات في $K$ : $q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.$

يمكن إعادة كتابة هذه الصيغة باستخدام المصفوفات: ليكن $x$ متجه العمود ذو العناصر $x1 ،$ ...، $xn ،$ ولتكن $A = (aij)$ مصفوفة $من الرتبة$ $n \times n$ على $K$ عناصرها هي معاملات $q$ . عندئذٍ $q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.$

المتجه $v = (x 1, ..., x n)$ هو متجه صفري إذا كان $q (v) = 0$ .

تكون الصيغتان التربيعيتان من الرتبة $n،$ $φ$ و $ψ،$ على $K$ متكافئتين إذا وُجد تحويل خطي غير منفرد $C \in GL (n, K)$ بحيث $\psi (x)=\varphi (Cx).$

لنفترض أن خاصية K تختلف عن $2.$ ^[⁷ ] يمكن استبدال مصفوفة المعاملات $A$ لـ $q$ بالمصفوفة المتناظرة $($ $A$ $+$ $A$ $<sub>$ $T</sub>$ ⁾ $/2$ بنفس الصيغة التربيعية، لذا يمكن افتراض أن $A$ متناظرة منذ البداية. علاوة على ذلك، تُحدد المصفوفة المتناظرة $A$ بشكل فريد من خلال الصيغة التربيعية المقابلة. في ظل التكافؤ $C$ ، ترتبط المصفوفة المتناظرة $A$ لـ $φ$ والمصفوفة المتناظرة $B$ لـ $ψ كما يلي:$ $B=C^{\mathsf {T}}AC.$

يُعرَّف الشكل الثنائي الخطي المرتبط بالشكل التربيعي $q كما يلي:$ $b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.$

وبالتالي، فإن $b q$ هي صيغة ثنائية خطية متناظرة على $K$ بمصفوفة $A.$ وعلى العكس من ذلك، فإن أي صيغة ثنائية خطية متناظرة $b$ تُعرّف صيغة تربيعية. $q(x)=b(x,x),$ وهاتان العمليتان هما معكوسان لبعضهما البعض. ونتيجة لذلك، على حقل ذي خاصية لا تساوي 2، فإن نظريات الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة والأشكال التربيعية في $n$ متغيرًا متطابقة جوهريًا.

الفضاء التربيعي

بفرض وجود فضاء متجهي V $ذي$ $n$ بُعد على حقل $K$ ، فإن الشكل التربيعي على $V$ هو دالة $Q$ $:$ $V$ $\to$ $K$ تتمتع بالخاصية التالية: بالنسبة لأساس ما، فإن الدالة $q$ التي تُسقط إحداثيات $v$ $\in$ $V$ على $Q$ $($ $v$ $) هي شكل تربيعي.$ $على$ وجه الخصوص، إذا كان $V$ $=$ $Kⁿ$ مع أساسه القياسي ، فإنه $q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{for}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.$

تُظهر صيغ تغيير الأساس أن خاصية كونها شكلًا تربيعيًا لا تعتمد على اختيار أساس معين في $V$ ، على الرغم من أن الشكل التربيعي $q$ يعتمد على اختيار الأساس.

يُطلق على الفضاء المتجهي ذي الأبعاد المحدودة والذي له شكل تربيعي اسم الفضاء التربيعي .

الدالة $Q$ هي دالة متجانسة من الدرجة 2، مما يعني أنها تتمتع بالخاصية التالية: لكل $a$ في $K$ و $v$ في $V$ : $Q(av)=a^{2}Q(v).$

عندما لا تكون خاصية $K$ هي 2، يتم تعريف التطبيق الثنائي الخطي $B : V \times V \to K$ على $K كما يلي:$ $B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).$ هذا الشكل الثنائي الخطي $B$ متناظر. أي أن $B (x, y) = B (y, x)$ لجميع $x$ , $y$ في $V$ ، وهو يحدد $Q$ : $Q (x) = B (x, x)$ لجميع $x$ في $V.$

عندما تكون خاصية $K$ هي 2، بحيث لا يكون 2 وحدة ، فإنه لا يزال من الممكن استخدام صيغة تربيعية لتعريف صيغة ثنائية خطية متناظرة $B'(x, y) = Q (x + y) - Q (x) - Q (y)$ . ومع ذلك، لا يمكن استخلاص $Q (x) من$ $B'$ بنفس الطريقة، لأن $B'(x, x) = 0$ لجميع $قيم x$ (وبالتالي فهي متناوبة). ^{[ 8 ]} بدلاً من ذلك، توجد دائمًا صيغة ثنائية خطية $B ″$ (ليست فريدة أو متناظرة بشكل عام) بحيث $B ″(x, x) = Q (x)$ .

يُطلق على الزوج $(V, Q)$ المكون من فضاء متجهي محدود الأبعاد $V$ على $K$ ودالة تربيعية $Q$ من $V$ إلى $K$ اسم الفضاء التربيعي ، و $B$ كما هو مُعرَّف هنا هو الشكل الثنائي الخطي المتناظر المرتبط بـ $Q.$ يُعد مفهوم الفضاء التربيعي صيغةً مستقلة عن الإحداثيات لمفهوم الشكل التربيعي. أحيانًا، يُطلق على $Q أيضًا اسم الشكل التربيعي.$

تكون الفضاءات التربيعية ذات البعد $n$ ( $V, Q) و$ ( $V', Q')$ متساوية القياس إذا وُجد تحويل خطي قابل للعكس $T : V \to V'$ ( تساوي القياس ) بحيث $Q(v)=Q'(Tv){\text{ لجميع }}v\in V.$

تتوافق فئات التماثل للفضاءات التربيعية ذات الأبعاد $n$ على $K$ مع فئات التكافؤ للأشكال التربيعية $n على$ $K.$

تعميم

ليكن $R$ حلقة تبديلية ، $وM$ وحدة نمطية $R$ ، و $b$ $:$ $M$ $\times$ $M$ $\to$ $R$ شكلاً ثنائي الخطية R. $[$ ⁹^]^{التطبيق} q $:$ $M$ $\to$ $R$ $:$ $v$ $\mapsto$ $b$ $($ $v$ $,$ $v$ $)$ $هو$ الشكل التربيعي المرتبط بـ $b$ ، و $B$ $:$ $M$ $\times$ $M$ $\to$ $R$ $: ($ $u$ $,$ $v$ $) \mapsto$ $q$ $($ $u$ $+$ $v$ $) -$ $q$ $($ $u$ $) -$ $q$ $($ $v$ $)$ هو الشكل القطبي لـ $q$ .

يمكن وصف الشكل التربيعي $q : M \to R$ بالطرق المتكافئة التالية:

يوجد شكل ثنائي الخطية $R -$ $b : M \times M \to R$ بحيث يكون $q (v)$ هو الشكل التربيعي المرتبط به.
$q (av) = a 2 q (v)$ لجميع $a \in R$ و $v \in M$ ، والشكل القطبي لـ $q$ هو $R$ - ثنائي الخطية.

مفاهيم ذات صلة

يُقال عن عنصرين $v$ و $w$ من $V$ أنهما متعامدان إذا كان $B (v, w) = 0.$ تتكون نواة الشكل الثنائي الخطي $B$ من العناصر المتعامدة مع كل عنصر من $V.$ يكون $Q$ غير منفرد إذا كانت نواة شكله الثنائي الخطي المرتبط به هي ${0}$ . إذا وُجد عنصر $v$ غير صفري في $V$ بحيث يكون $Q$ $($ $v$ $) = 0$ ، فإن الشكل التربيعي $Q$ يكون متناحٍ ، وإلا فهو محدد . ينطبق هذا المصطلح أيضًا على المتجهات والفضاءات الجزئية للفضاء التربيعي. إذا كان تقييد $Q$ على فضاء جزئي $U$ من $V$ يساوي صفرًا، فإن $U$ يكون منفردًا كليًا .

المجموعة المتعامدة لشكل تربيعي غير منفرد $Q$ هي مجموعة التشاكلات الخطية لـ $V$ التي تحافظ على $Q$ : أي مجموعة التماثلات لـ $(V ، Q)$ في نفسها.

إذا كان للفضاء التربيعي $(A, Q)$ جداء بحيث يكون $A$ جبرًا على حقل ، ويحقق $\forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),$ إذن فهو جبر تركيبي .

تكافؤ الأشكال

كل شكل تربيعي $q$ في $n$ متغيرات على حقل مميز لا يساوي 2 يكافئ شكلاً قطرياً $q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.$

يُرمز عادةً إلى هذا الشكل القطري بالرمز $⟨ a 1, ..., an ⟩ . وبالتالي ،$ يمكن اختزال تصنيف جميع الأشكال التربيعية حتى التكافؤ إلى حالة الأشكال القطرية.

المعنى الهندسي

باستخدام الإحداثيات الديكارتية في ثلاثة أبعاد، ليكن $x \equiv [x, y, z] T$ ، ولتكن $A$ مصفوفة متناظرة $من$ الرتبة 3×3. عندئذٍ، تعتمد الطبيعة الهندسية لمجموعة $حلول$ المعادلة xT Ax $+ bT x = 1 على القيم$ الذاتية للمصفوفة $A.$

إذا كانت جميع القيم الذاتية للمصفوفة $A$ غير صفرية، فإن مجموعة الحلول تكون إما قطعًا ناقصًا أو قطعًا زائدًا . إذا كانت جميع القيم الذاتية موجبة، فإنها تكون قطعًا ناقصًا؛ إذا كانت جميع القيم الذاتية سالبة، فإنها تكون قطعًا ناقصًا تخيليًا (نحصل على معادلة قطع ناقص ولكن بنصف قطر تخيلي)؛ إذا كانت بعض القيم الذاتية موجبة وبعضها سالبة، فإنها تكون قطعًا زائدًا؛ إذا كانت جميع القيم الذاتية متساوية وموجبة، فإنها تكون كرة (حالة خاصة من القطع الناقص حيث تكون جميع المحاور متساوية، وهو ما يتوافق مع وجود قيم ذاتية متساوية).

إذا وُجدت قيمة ذاتية واحدة أو أكثر $λᵢ = 0 ،$ فإن شكل المنحنى يعتمد على قيمة bᵢ المقابلة $.$ $إذا$ كانت قيمة bᵢ المقابلة $\neq$ $0 ، فإن$ مجموعة الحلول تكون قطعًا مكافئًا (إما إهليلجيًا أو زائديًا)؛ أما إذا كانت قيمة $bᵢ المقابلة = 0 ،$ فإن البُعد $i$ يتلاشى ولا يُؤخذ في الاعتبار، ويُحدد المعنى الهندسي بواسطة القيم الذاتية الأخرى ومكونات $b$ الأخرى . عندما تكون مجموعة الحلول قطعًا مكافئًا ، فإن كونها إهليلجيًا أو زائديًا يتحدد بناءً على ما إذا كانت جميع القيم الذاتية الأخرى غير الصفرية من نفس الإشارة: إذا كانت كذلك، فهو إهليلجي؛ وإلا فهو زائدي.

الأشكال التربيعية التكاملية

تُسمى الأشكال التربيعية على حلقة الأعداد الصحيحة بالأشكال التربيعية الصحيحة ، بينما تُسمى الوحدات النمطية المقابلة لها بالشبكات التربيعية (أو ببساطة الشبكات ). وتلعب هذه الأشكال دورًا هامًا في نظرية الأعداد والطوبولوجيا .

الشكل التربيعي التكاملي له معاملات صحيحة، مثل $x 2 + xy + y 2$ ؛ بشكل مكافئ، بالنظر إلى شبكة $Λ$ في فضاء متجه $V$ (على حقل ذي خاصية 0، مثل $Q$ أو $R$ )، يكون الشكل التربيعي $Q$ متكاملاً بالنسبة إلى $Λ$ إذا وفقط إذا كان ذا قيم صحيحة على $Λ$ ، مما يعني أن $Q (x, y) \in Z$ إذا كان $x, y \in Λ$ .

هذا هو الاستخدام الحالي للمصطلح؛ في الماضي كان يُستخدم أحيانًا بشكل مختلف، كما هو مفصل أدناه.

الاستخدام التاريخي

تاريخياً، كان هناك بعض الالتباس والجدل حول ما إذا كان مفهوم الشكل التربيعي التكاملي يعني:

اثنان في: الشكل التربيعي المرتبط بمصفوفة متناظرة ذات معاملات صحيحة
اثنان خارج: متعددة حدود ذات معاملات صحيحة (لذا قد تحتوي المصفوفة المتناظرة المرتبطة بها على معاملات نصف صحيحة خارج القطر الرئيسي)

كان هذا النقاش بسبب الخلط بين الأشكال التربيعية (الممثلة بواسطة كثيرات الحدود) والأشكال الثنائية الخطية المتناظرة (الممثلة بواسطة المصفوفات)، و"إخراج اثنين" هو الآن الاصطلاح المقبول؛ "إدخال اثنين" هو بدلاً من ذلك نظرية الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة التكاملية (المصفوفات المتناظرة التكاملية).

$في$ "الاثنينات الداخلة"، تكون الأشكال التربيعية الثنائية على الصورة $ax² + 2bxy + cy² ،$ ممثلة بالمصفوفة المتناظرة ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$ هذه هي الاتفاقية التي يستخدمها غاوس في Disquisitiones Arithmeticae .

$في نظام$ "الإخراج الثنائي"، تكون الأشكال التربيعية الثنائية على شكل $ax² + bxy + cy² ،$ ممثلة بالمصفوفة المتناظرة ${\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.$

أدت وجهات نظر متعددة إلى اعتماد قاعدة "الخروج باثنين" كاتفاقية قياسية. وتشمل هذه الوجهات ما يلي:

فهم أفضل لنظرية 2-adic للأشكال التربيعية، المصدر "المحلي" للصعوبة؛
القدرة على التعبير عن أي شكل تربيعي في الخاصية 2 عبر مصفوفة (ليست بالضرورة متناظرة)؛
وجهة نظر الشبكة ، والتي اعتمدها بشكل عام الخبراء في حساب الأشكال التربيعية خلال الخمسينيات من القرن العشرين؛
الاحتياجات الفعلية لنظرية الشكل التربيعي المتكامل في الطوبولوجيا لنظرية التقاطع ؛
جوانب مجموعة لي والمجموعات الجبرية .

الأشكال التربيعية العامة

يُطلق أحيانًا على الصيغة التربيعية الصحيحة التي تتكون صورتها من جميع الأعداد الصحيحة الموجبة اسم الصيغة $الشاملة$ $.$ تُبين نظرية لاغرانج للمربعات الأربعة أن $w² + x² + y² + z²$ صيغة شاملة. عمم رامانوجان هذه الصيغة $إلى$ $aw²$ $+ bx² + cy² + dz² ووجد$ 54 مجموعة متعددة ${$ $a$ $, b, c, d} يمكن لكل$ منها توليد جميع الأعداد الصحيحة الموجبة، $وهي$ $:$

${1, 1, 1, d}، 1 \leq d \leq 7$
${1, 1, 2, d}, 2 \leq d \leq 14$
${1, 1, 3, d}، 3 \leq d \leq 6$
${1, 2, 2, d}, 2 \leq d \leq 7$
${1، 2، 3، د}، 3 \leq د \leq 10$
${1، 2، 4، د}، 4 \leq د \leq 14$
${1، 2، 5، د}، 6 \leq د \leq 10$

توجد أيضًا أشكالٌ تتكون صورتها من جميع الأعداد الصحيحة الموجبة باستثناء واحد. على سبيل المثال، المجموعة ${1، 2، 5، 5}$ لا تحتوي إلا على العدد 15. وقد وصفت نظريتا 15 و290 مؤخرًا الأشكال التربيعية التكاملية العامة وصفًا كاملًا: إذا كانت جميع المعاملات أعدادًا صحيحة، فإنها تمثل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة إذا وفقط إذا كانت تمثل جميع الأعداد الصحيحة حتى 290؛ وإذا كانت تحتوي على مصفوفة تكاملية، فإنها تمثل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة إذا وفقط إذا كانت تمثل جميع الأعداد الصحيحة حتى 15.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ يُملي تقليدٌ يعود إلى $غاوس$ استخدام معاملات زوجية واضحة لحاصل ضرب متغيرات مختلفة، أي2b بدلاً من b في الصيغ الثنائية، و2b، 2d، $2f$ بدلاً $من$ b $،$ $d ،$ f $في الصيغ$ $الثلاثية$ . $كلا$ الاصطلاحين $موجودان$ في $المراجع$ .
↑ بعيدًا عن 2 ، أي إذا كان 2 قابلًا للعكس في الحلقة، فإن الأشكال التربيعية مكافئة للأشكال الثنائية الخطية المتناظرة (بحسب متطابقات الاستقطاب )، ولكن عند 2 فهي مفاهيم مختلفة؛ هذا التمييز مهم بشكل خاص للأشكال التربيعية على الأعداد الصحيحة.
↑ فيثاغورس البابلي
↑ سيرة براهمغوبتا
↑ بوشيه، م. (1907). "الفقرة 45: اختزال الصيغة التربيعية إلى مجموع مربعات" . مقدمة في الجبر المتقدم . (مع إي بي آر دوفال). نيويورك، نيويورك: ماكميلان. ص 129 – عبر هاثي تراست .
↑ إذا تحققت متباينة غير صارمة (مع $\geq$ أو $\leq$ )، فإن الشكل التربيعي $q$ يسمى شبه محدد.
↑ إن نظرية الأشكال التربيعية على حقل ذي خاصية $2$ لها بعض المخاطر، ويجب إعادة صياغة العديد من التعريفات والنظريات بعناية لتطبيقها في هذا السياق.
↑ يُعد هذا الشكل المتناوب المرتبط بالشكل التربيعي في الخاصية 2 ذا أهمية فيما يتعلق بثابت أرف – كابلانسكي، إيرفينغ (1974)، الجبر الخطي والهندسة ، ص 27 .
↑ لا يقتصرالشكل الثنائي الخطي الذي يرتبط به الشكل التربيعي على كونه متناظرًا، وهو أمر ذو أهمية عندما لا يكون 2 وحدة في $R.$

مراجع

أوميرا، أو تي (2000)، مقدمة في الأشكال التربيعية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 978-3-540-66564-9
كونواي، جون هورتون ؛ فونغ، فرانسيس واي سي (1997)، الشكل الحسي (التربيعي) ، سلسلة كاروس للدراسات الرياضية، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-88385-030-5
شافاريفيتش، آي آر ؛ ريميزوف، إيه أو (2012). الجبر الخطي والهندسة . سبرينغر . ISBN 978-3-642-30993-9.

للمزيد من القراءة

كاسيلز، جيه دبليو إس (1978). الأشكال التربيعية النسبية . سلسلة دراسات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد 13. دار النشر الأكاديمية . ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029 .
كيتاوكا، يوشيوكي (1993). حساب الأشكال التربيعية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات. المجلد 106. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 .
لام، تسيت-يوين (2005). مقدمة في الأشكال التربيعية على الحقول . دراسات عليا في الرياضيات . المجلد 67. الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-1095-2. السيد 2104929 . زبل 1068.11023 .
ميلنور، ج . هوسمولر، د. (1973). أشكال ثنائية الخطية متناظرة . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . المجلد. 73. سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .
أوميرا، أو تي (1973). مقدمة إلى الأشكال التربيعية . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 117. سبرينغر فيرلاغ . رقم ISBN 3-540-66564-1. Zbl 0259.10018 .
بفايستر، ألبريشت (1995). الأشكال التربيعية مع تطبيقات في الهندسة الجبرية والطوبولوجيا . سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد 217. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-46755-1. Zbl 0847.11014 .

روابط خارجية

AVMalyshev (2001) [1994]، "الصيغة التربيعية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
AVMalyshev (2001) [1994]، "الصيغة التربيعية الثنائية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS

[1] يُملي تقليدٌ يعود إلى $غاوس$ استخدام معاملات زوجية واضحة لحاصل ضرب متغيرات مختلفة، أي2b بدلاً من b في الصيغ الثنائية، و2b، 2d، $2f$ بدلاً $من$ b $،$ $d ،$ f $في الصيغ$ $الثلاثية$ . $كلا$ الاصطلاحين $موجودان$ في $المراجع$ .

[2] بعيدًا عن 2 ، أي إذا كان 2 قابلًا للعكس في الحلقة، فإن الأشكال التربيعية مكافئة للأشكال الثنائية الخطية المتناظرة (بحسب متطابقات الاستقطاب )، ولكن عند 2 فهي مفاهيم مختلفة؛ هذا التمييز مهم بشكل خاص للأشكال التربيعية على الأعداد الصحيحة.

[3] فيثاغورس البابلي

[4] سيرة براهمغوبتا

[5] بوشيه، م. (1907). "الفقرة 45: اختزال الصيغة التربيعية إلى مجموع مربعات" . مقدمة في الجبر المتقدم . (مع إي بي آر دوفال). نيويورك، نيويورك: ماكميلان. ص 129 – عبر هاثي تراست .

[6] إذا تحققت متباينة غير صارمة (مع $\geq$ أو $\leq$ )، فإن الشكل التربيعي $q$ يسمى شبه محدد.

[7] إن نظرية الأشكال التربيعية على حقل ذي خاصية $2$ لها بعض المخاطر، ويجب إعادة صياغة العديد من التعريفات والنظريات بعناية لتطبيقها في هذا السياق.

[8] يُعد هذا الشكل المتناوب المرتبط بالشكل التربيعي في الخاصية 2 ذا أهمية فيما يتعلق بثابت أرف – كابلانسكي، إيرفينغ (1974)، الجبر الخطي والهندسة ، ص 27 .

[9] لا يقتصرالشكل الثنائي الخطي الذي يرتبط به الشكل التربيعي على كونه متناظرًا، وهو أمر ذو أهمية عندما لا يكون 2 وحدة في $R.$

[ 1 ]

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[

[ 8 ]

9

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗