تحليل بيركوف

في الرياضيات، يعد تحليل بيركوف أو تفكيك بيركوف ، الذي قدمه جورج ديفيد بيركوف ( 1909 ) ، تعميمًا لتفكيك LU (أي حذف جاوس) إلى مجموعات الحلقات. 

تحليل المصفوفة القابلة للعكس${\displaystyle M\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} [z,z^{-1}])}$بمعاملات هي كثيرات حدود لوران في${\displaystyle z}$يُعطى بواسطة حاصل ضرب${\displaystyle M=M^{+}M^{0}M^{-}}$، أين${\displaystyle M^{+}}$يحتوي على مدخلات تمثل كثيرات حدود في${\displaystyle z}$،${\displaystyle M^{0}=\mathrm {diag} (z^{k_{1}},z^{k_{2}},...,z^{k_{n}})}$قطري مع${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$ل${\displaystyle 1\leq i\leq n}$و${\displaystyle k_{1}\geq k_{2}\geq ...\geq k_{n}}$، و${\displaystyle M^{-}}$يحتوي على مدخلات تمثل كثيرات حدود في${\displaystyle z^{-1}}$بالنسبة للمصفوفة العامة لدينا${\displaystyle M^{0}=\mathrm {id} }$.

يستلزم تحليل بيركوف نظرية بيركوف-غروتينديك لغروتينديك (1957) التي تنص على أن حزم المتجهات فوق الخط الإسقاطي هي مجموع حزم الخطوط .

توجد عدة اختلافات حيث يتم استبدال المجموعة الخطية العامة بمجموعة جبرية اختزالية أخرى، وذلك بفضل ألكسندر غروتينديك ( 1957 ) . ينتج تحليل بيركوف من تحليل بروهات للمجموعات الأفينية كاك-مودي (أو مجموعات الحلقات )، وبالعكس، ينتج تحليل بروهات للمجموعة الخطية العامة الأفينية من تحليل بيركوف بالإضافة إلى تحليل بروهات للمجموعة الخطية العامة العادية. 

توجد خوارزمية فعّالة لحساب تحليل بيركوف. وسيستند ما يلي إلى كتاب كلانسي-غوهبرغ، ^{[ 1 ]} حيث يمكن إيجاد حالة أكثر عمومية.

لاحظ أنه، وفقًا لصيغة مصفوفة المرافقات ، فإن المصفوفة${\displaystyle M}$كون المصفوفة قابلة للعكس يكافئ المحدد${\displaystyle \operatorname {det} M}$كونها وحدة في الحلقة الأساسية. في حالتنا، هذا يعني أن${\displaystyle \operatorname {det} M=c\cdot z^{d}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,d\in \mathbb {Z} }$لأن هذه هي العناصر القابلة للعكس الوحيدة في حلقة كثيرات حدود لوران${\displaystyle \mathbb {C} [z,z^{-1}]}$، و${\displaystyle \operatorname {det} M^{+}}$و${\displaystyle \operatorname {det} M^{-}}$هي مجرد ثوابت غير صفرية في${\displaystyle \mathbb {C} }$لأن هذه هي الوحدات الوحيدة في${\displaystyle \mathbb {C} [z]}$أو ${\displaystyle \mathbb {C} [z^{-1}]}$وهذا يعني أن${\displaystyle \operatorname {det} M^{0}=z^{d}}$وعلى وجه الخصوص،${\displaystyle d=k_{1}+\cdots k_{n}}$سيساعدنا هذا في تحديد متى تنتهي الخوارزمية.

الخطوة الأولى: الاستبدال${\displaystyle M}$بواسطة${\displaystyle z^{m}M}$لإلغاء أي مقامات، أي بحيث${\displaystyle z^{m}M}$يتم تعريفها على${\displaystyle \mathbb {C} [z]}$. يترك${\displaystyle d=\operatorname {ord} _{z}\operatorname {det} z^{m}M}$كن الأس عند${\displaystyle z}$لاحظ أن هذا الآن غير سالب.

الخطوة الثانية: تبديل الصفوف واستخراج أعلى قوة ممكنة لـ${\displaystyle z}$في كل صف، مع البقاء على${\displaystyle \mathbb {C} [z]}$يجب أن يضمن التبديل أن تكون أعلى قوى${\displaystyle z}$تتناقص. دل على${\displaystyle P,D}$مصفوفة التبديل ، والمصفوفة القطرية للقوى، على التوالي.

${\displaystyle M'=D^{-1}\cdot P\cdot M}$

الخطوة الثالثة: إذا كان مجموع القوى من الخطوة الثانية يساوي${\displaystyle d}$انتهينا. وإلا، فقم بإجراء عمليات الصفوف دون تدويرها بحيث يصبح صف واحد على الأقل صفرًا بتردد باقي القسمة على${\displaystyle z}$أعد وضع القوى المحللة في المصفوفة الخاصة بنا وعد إلى الخطوة 2.

من خلال منع التمحور، فإننا نطلب أن تكون المصفوفة${\displaystyle E\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ترميز عمليات الصف يكون مثلثيًا سفليًا.

المصفوفة التي سيتم إرجاعها إلى الخطوة 2 هي:

${\displaystyle M''=D\cdot E\cdot M'}$

لاحظ أنه طالما أن محدد المصفوفة ليس ثابتًا، فإن المحدد يساوي صفرًا بتردد${\displaystyle z}$وبالتالي، فإن الصفوف مرتبطة خطيًا بتردد${\displaystyle z}$لذلك، يمكن تنفيذ هذه الخطوة.

الخلاصة: بمجرد أن${\displaystyle D}$من الخطوة الثانية، إذا كانت القوى عالية بما يكفي، يمكننا ضبطها${\displaystyle M^{+}=M'}$لأن هذا سيكون له محدد يساوي واحدًا بسبب خاصية الضرب. في كل تكرار، كان تأثير خوارزميتنا هو الضرب في${\displaystyle D\cdot E\cdot D^{-1}\cdot P}$بما أن السلطات في${\displaystyle D}$ينزلون و${\displaystyle E}$إذا كانت المصفوفة مثلثية سفلية، نجد أن${\displaystyle D\cdot E\cdot D^{-1}}$يحتوي فقط على قوى سالبة من${\displaystyle z}$علاوة على ذلك، وباستخدام خاصية الضرب للمحدد مرة أخرى، نجد أن${\displaystyle \operatorname {det} (D\cdot E\cdot D^{-1}\cdot P)=\pm \operatorname {det} E\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$وبالتالي، يمكننا أخذ حاصل ضرب هذه المصفوفات التي تم الحصول عليها من جميع التكرارات ووضعها${\displaystyle M^{-}}$أن يكون عكسه.

وأخيرًا، بالرجوع إلى الخطوة 1، فقد قمنا الآن بتفكيك${\displaystyle z^{m}M=M^{-}\cdot D\cdot M^{+}}$التقسيم من خلال${\displaystyle z^{m}}$والضبط${\displaystyle M^{0}=D\cdot z^{-m}}$يعطي النتيجة.

مثال: ضع في اعتبارك${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}1+z&z^{-1}+2\\z&2\end{smallmatrix}}\right)}$المحدد يساوي 1. تتم الخطوة الأولى عن طريق استبدال${\displaystyle M}$بواسطة${\displaystyle zM}$والذي له محدد${\displaystyle z^{2}}$وهكذا${\displaystyle d=2}$.

الخطوة الثانية هي${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z+z^{2}&1+2z\\z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\z+z^{2}&1+2z\end{smallmatrix}}\right)}$الخطوة الثالثة تعطي${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z&2\\z+z^{2}&1+2z\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\1/2&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\z/2+z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)}$.

بعد إعادة القوى المستخرجة، نريد تكرار الخطوة 2 على المصفوفة ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z^{2}&2z\\z/2+z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}z&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\z/2+z^{2}&2z\end{smallmatrix}}\right)}$هنا، يمكننا أن نحلل إلى${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}z&0\\0&z\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{smallmatrix}}\right)}$، تحقيق هدفنا المتمثل في${\displaystyle d=2}$تجميع كل هذه العمليات:

${\displaystyle zM={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1/2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z^{-1}&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&0\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z^{-1}/2&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&0\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{pmatrix}}.}$

لذلك، القسمة على${\displaystyle z}$،${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}z^{-1}/2&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)\left({\begin{smallmatrix}z&2\\1/2+z&2\end{smallmatrix}}\right)}$.

• تحليل بيركوف (توضيح)
• مسألة ريمان-هيلبرت

• بيركوف، جورج ديفيد (1909)، "النقاط الشاذة للمعادلات التفاضلية الخطية العادية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 10 (4): 436-470 ، doi : 10.2307/1988594 ، ISSN 0002-9947 ، JFM 40.0352.02 ، JSTOR 1988594   
• كلانسي، ك.؛ جوهبيرج، إ. (1981)، تحليل الدوال المصفوفية ومؤثرات التكامل المفردة ، سبرينغر، doi : 10.1007/978-3-0348-5492-4 ، ISBN 978-3-0348-5494-8
• Grothendieck، Alexander (1957)، “Sur la rating des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann”، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 79 (1): 121–138 ، دوى : 10.2307 / 2372388 ، ISSN 0002-9327 ، JSTOR 2372388 ، MR 0087176   
• خيمشياشفيلي، ج. (2001) [1994]، "تحليل بيركوف" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• بريسلي، أندرو؛ سيغال، غرايم (1986)، مجموعات الحلقات ، سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية، مطبعة كلارندون، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-853535-5، MR 0900587