كتاب الليمات

كتاب المقولات أو كتاب الافتراضات (بالعربية : كتاب المقولات إلى أرخميدس ) هو كتاب يُنسب إلى أرخميدس من قِبل ثابت بن قرة ، مع أن نسبة الكتاب إلى أرخميدس محل شك. ويتألف من خمس عشرة قضية ( مقولة ) حول الدوائر . ^{[ 1 ]}

يقدم كتاب الليمات العديد من الأشكال الهندسية الجديدة .

أربيلوس

قدم أرخميدس لأول مرة أداة الأربيلوس (سكين الإسكافي) في الاقتراح الرابع من كتابه:

إذا كان AB قطر نصف دائرة وN أي نقطة على AB، وإذا تم رسم أنصاف دوائر داخل نصف الدائرة الأول ولها AN وBN كأقطار على التوالي، فإن الشكل المحصور بين محيطات أنصاف الدوائر الثلاثة هو "ما أسماه أرخميدس αρβηλος"؛ ومساحته تساوي مساحة الدائرة التي قطرها PN، حيث PN عمودي على AB ويتقاطع مع نصف الدائرة الأصلي في P. ^{[ 1 ]}

يُستخدم هذا الشكل في القضايا من الرابعة إلى الثامنة. في القضية الخامسة، يُقدّم أرخميدس دائرتي أرخميدس التوأم ، وفي القضية الثامنة، يستخدم ما يُعرف بسلسلة بابوس ، التي قدّمها بابوس الإسكندري رسميًا .

سالينون

قدم أرخميدس لأول مرة مفهوم "سالينون" ( وعاء الملح ) في الاقتراح الرابع عشر من كتابه:

ليكن ACB نصف دائرة قطرها AB، وليكن AD وBE طولين متساويين مقاسين على طول AB من النقطتين A وB على التوالي. يرسم القطران AD وBE نصفَي دائرة على الجانب المواجه للنقطة C، ويرسم القطر DE نصفَ دائرة على الجانب المقابل. ليكن العمود على AB المار بالنقطة O، مركز نصف الدائرة الأولى، يتقاطع مع نصفَي الدائرة المقابلين في النقطتين C وF على التوالي. عندئذٍ، تكون مساحة الشكل المحصور بين محيطات جميع أنصاف الدوائر مساوية لمساحة الدائرة التي قطرها CF. ^{[ 1 ]}

أثبت أرخميدس أن مساحة سالينون والدائرة متساوية.

1. إذا تلامست دائرتان عند النقطة A، وإذا كان CD و EF قطرين متوازيين فيهما، فإن ADF يكون خطًا مستقيمًا.
2. ليكن AB قطر نصف دائرة، وليكن المماس له عند B وعند أي نقطة أخرى D عليه يلتقيان في T. إذا تم رسم DE عموديًا على AB، وإذا التقى AT وDE في F، فإن DF  =  FE.
3. لتكن P أي نقطة على قطعة مستقيمة من دائرة قاعدتها AB، وليكن PN عموديًا على AB. خذ النقطة D على AB بحيث يكون AN  =  ND. إذا كان PQ قوسًا مساويًا للقوس PA، ووصلنا BQ، فإن BQ وBD متساويان.
4. إذا كان AB قطر نصف دائرة و N أي نقطة على AB، وإذا تم وصف أنصاف دوائر داخل نصف الدائرة الأول ولها AN و BN كأقطار على التوالي، فإن الشكل المحصور بين محيطات أنصاف الدوائر الثلاثة هو "ما أسماه أرخميدس αρβηλος"؛ ومساحته تساوي مساحة الدائرة التي قطرها PN، حيث يكون PN عموديًا على AB ويتقاطع مع نصف الدائرة الأصلي في P.
5. ليكن AB قطر نصف دائرة، وC أي نقطة على AB، وCD عمودي عليه، ولنفترض أن نصفي دائرة رُسما داخل نصف الدائرة الأولى، قطراهما AC وCB. عندئذٍ، إذا رُسمت دائرتان تمسان CD من جهتين مختلفتين، وتلامس كل منهما نصفي دائرة، فإن الدائرتين المرسومتين ستكونان متساويتين.
6. لنفترض أن AB، قطر نصف دائرة، مقسوم عند النقطة C بحيث يكون AC  =  3/2  ×  CB [أو بأي نسبة أخرى]. صف أنصاف الدوائر داخل نصف الدائرة الأولى وعلى AC وCB كأقطار، وافترض رسم دائرة تمس أنصاف الدوائر الثلاثة. إذا كان GH قطر هذه الدائرة، فأوجد العلاقة بين GH وAB.
7. إذا تم رسم دوائر محيطة بمربع ورسمها داخله، فإن الدائرة المحيطة تكون ضعف مساحة المربع المرسوم داخله.
8. إذا كان AB أي وتر من دائرة مركزها O، وإذا تم تمديد AB إلى C بحيث يكون BC مساويًا لنصف القطر؛ وإذا التقى CO بالدائرة في D وتم تمديده ليلتقي بالدائرة للمرة الثانية في E، فسيكون طول القوس AE مساويًا لثلاثة أضعاف طول القوس BD.
9. إذا تقاطع وتران AB وCD في دائرة لا يمران عبر المركز بزاوية قائمة، فإن (القوس AD)  +  (القوس CB)  =  (القوس AC)  +  (القوس DB).
10. لنفترض أن TA وTB مماسان لدائرة، وأن TC يقطعها. ولتكن BD الوتر المار بالنقطة B والموازي لـ TC، وليكن AD يتقاطع مع TC في النقطة E. عندئذٍ، إذا رُسم EH عموديًا على BD، فإنه سينصفه في النقطة H.
11. إذا تقاطع وتران AB وCD في دائرة بزاوية قائمة في نقطة O، وليست المركز، فإن AO ² + BO ² + CO ² + DO ² = (القطر) ² .
12. إذا كان AB هو قطر نصف دائرة، وTP وTQ هما المماسان له من أي نقطة T، وإذا تم توصيل AQ وBP ليلتقيا في R، فإن TR يكون عموديًا على AB.
13. إذا تقاطع قطر الدائرة AB مع أي وتر CD، وليس قطرًا، في E، وإذا تم رسم AM وBN بشكل عمودي على CD، فإن CN  =  DM.
14. ليكن ACB نصف دائرة قطرها AB، وليكن AD وBE طولين متساويين مقاسين على AB من النقطتين A وB على التوالي. يرسم القطران AD وBE نصفَي دائرة على الجانب المواجه للنقطة C، ويرسم القطر DE نصفَ دائرة على الجانب المقابل. ليكن العمود على AB المار بالنقطة O، مركز نصف الدائرة الأولى، يتقاطع مع نصفَي الدائرة المقابلين في النقطتين C وF على التوالي. عندئذٍ، تكون مساحة الشكل المحصور بين محيطات جميع أنصاف الدوائر مساوية لمساحة الدائرة التي قطرها CF.
15. ليكن AB قطر دائرة، وAC ضلعًا من أضلاع خماسي منتظم مرسوم داخل الدائرة، وD نقطة منتصف القوس AC. صل CD وامدده حتى يتقاطع مع امتداد BA في E؛ صل AC وDB حتى يتقاطعا في F، وارسم FM عموديًا على AB. إذن EM  =  (نصف قطر الدائرة). ^{[ 1 ]}