شبكة منطقية

تتكون الشبكة المنطقية من مجموعة منفصلة من المتغيرات المنطقية، لكل منها دالة منطقية (قد تختلف من متغير لآخر) تستقبل مدخلات من مجموعة فرعية من تلك المتغيرات، وتُخرج دالة تحدد حالة المتغير المُخصص له. تُحدد هذه المجموعة من الدوال في الواقع بنية (اتصال) مجموعة المتغيرات، التي تُصبح بدورها عُقدًا في الشبكة . عادةً، تُؤخذ ديناميكيات النظام كسلسلة زمنية منفصلة ، ​​حيث تُحدد حالة الشبكة بأكملها عند الزمن t +1 بتقييم دالة كل متغير على حالة الشبكة عند الزمن t . يمكن القيام بذلك بشكل متزامن أو غير متزامن . ^{[ 1 ]}

استُخدمت الشبكات المنطقية في علم الأحياء لنمذجة الشبكات التنظيمية. ورغم أن هذه الشبكات تُعدّ تبسيطًا مبسطًا للواقع الجيني حيث لا تُمثّل الجينات مفاتيح ثنائية بسيطة، إلا أنها في حالات عديدة تُعبّر بدقة عن النمط الصحيح للجينات المُعبَّر عنها والمُثبَّطة. ^{[ 2 ] [ 3 ]} ولم يُفهم النموذج (المتزامن) الذي يبدو سهلًا رياضيًا فهمًا كاملًا إلا في منتصف العقد الأول من الألفية الثانية. ^{[ 4 ]}

الشبكة المنطقية هي نوع خاص من الأنظمة الديناميكية المتسلسلة ، حيث يكون الوقت والحالات منفصلة، ​​أي أن كل من مجموعة المتغيرات ومجموعة الحالات في السلسلة الزمنية لها تقابل على سلسلة عددية صحيحة.

الشبكة المنطقية العشوائية  (RBN) هي شبكة يتم اختيارها عشوائيًا من بين جميع الشبكات المنطقية الممكنة ذات حجم معين، N. ويمكن بعد ذلك دراسة كيفية اعتماد الخصائص المتوقعة لهذه الشبكات إحصائيًا على مختلف الخصائص الإحصائية لمجموعة جميع الشبكات الممكنة. على سبيل المثال، يمكن دراسة كيفية تغير سلوك الشبكة المنطقية العشوائية بتغير متوسط ​​الاتصال.

اقترح ستيوارت أ. كوفمان أولى الشبكات البولية في عام 1969، كنماذج عشوائية لشبكات التنظيم الجيني . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

عوامل الجذب

بما أن الشبكة المنطقية تحتوي على 2^ ^N حالة ممكنة فقط، فإن المسار سيصل عاجلاً أم آجلاً إلى حالة سبق زيارتها، وبالتالي، ولأن الديناميكيات حتمية، فإن المسار سيقع في حالة مستقرة أو دورة تُسمى جاذبًا (مع العلم أنه في مجال الأنظمة الديناميكية الأوسع، لا تُعتبر الدورة جاذبًا إلا إذا أدت الاضطرابات الخارجة منها إلى عودتها إليها). إذا كان للجاذب حالة واحدة فقط، يُسمى جاذبًا نقطيًا ، وإذا كان يتكون من أكثر من حالة، يُسمى جاذبًا دوريًا . تُسمى مجموعة الحالات التي تؤدي إلى جاذب ما حوض الجاذب. أما الحالات التي تحدث فقط في بداية المسارات (لا تؤدي إليها أي مسارات ) ، فتُسمى حالات جنة عدن ^{[ 7 ]} ، وتتدفق ديناميكيات الشبكة من هذه الحالات نحو الجاذبات. يُسمى الوقت اللازم للوصول إلى جاذب ما بالزمن العابر ^{[ 4 ]} .

مع تزايد قوة الحوسبة وفهم النموذج البسيط ظاهريًا، قدم مؤلفون مختلفون تقديرات مختلفة لمتوسط ​​عدد وطول الجاذبات، وفيما يلي ملخص موجز للمنشورات الرئيسية. ^{[ 8 ]}

مؤلف	سنة	متوسط ​​طول الجاذب	متوسط ​​عدد الجاذبات	تعليق
كوفمان [ 6 ]	1969	${\displaystyle \langle A\rangle \sim {\sqrt {N}}}$	${\displaystyle \langle \nu \rangle \sim {\sqrt {N}}}$
باستولا/ باريسي [ 9 ]	1998	أسرع من قانون القوة،${\displaystyle \langle A\rangle >N^{x}\forall x}$	أسرع من قانون القوة،${\displaystyle \langle \nu \rangle >N^{x}\forall x}$	أولى الأدلة العددية
بيلك/ سجونيسون [ 10 ]	2002		يتناسب طرديًا مع حجم النظام،${\displaystyle \langle \nu \rangle \sim N}$
سوكولار/كوفمان [ 11 ]	2003		أسرع من الخطي،${\displaystyle \langle \nu \rangle >N^{x}}$مع${\displaystyle x>1}$
صامويلسون/تروين [ 12 ]	2003		نمو متعدد الحدود الفائق،${\displaystyle \langle \nu \rangle >N^{x}\forall x}$	برهان رياضي
Mihaljev/Drossel [ 13 ]	2005	أسرع من قانون القوة،${\displaystyle \langle A\rangle >N^{x}\forall x}$	أسرع من قانون القوة،${\displaystyle \langle \nu \rangle >N^{x}\forall x}$
فينك/شيلدون [ 14 ]	2023		النمو الأسي،${\displaystyle \langle \nu \rangle =(2/{\sqrt {e}})^{N}}$	برهان رياضي

في نظرية الأنظمة الديناميكية، يتوافق هيكل وطول جاذبات الشبكة مع المرحلة الديناميكية للشبكة. يعتمد استقرار الشبكات البوليانية على روابط عقدها . يمكن أن تُظهر الشبكة البوليانية سلوكًا مستقرًا أو حرجًا أو فوضويًا . تخضع هذه الظاهرة لقيمة حرجة لمتوسط ​​عدد روابط العقد.${\displaystyle K_{c}}$ويمكن وصفها بمسافة هامينغ كمقياس للمسافة. في النظام غير المستقر، تنمو المسافة بين حالتين متقاربتين مبدئيًا بشكل أسي مع مرور الوقت، بينما في النظام المستقر تتناقص بشكل أسي. في هذا السياق، يُقصد بـ "الحالات المتقاربة مبدئيًا" أن مسافة هامينغ صغيرة مقارنة بعدد العقد (${\displaystyle N}$) في الشبكة.

بالنسبة لنموذج NK ^{[ 15 ]،} تكون الشبكة مستقرة إذا${\displaystyle K<K_{c}}$، أمر بالغ الأهمية إذا${\displaystyle K=K_{c}}$وغير مستقر إذا${\displaystyle K>K_{c}}$.

حالة عقدة معينة${\displaystyle n_{i}}$يتم تحديثها وفقًا لجدول الحقيقة الخاص بها ، والذي يتم ملء مخرجاته بشكل عشوائي.${\displaystyle p_{i}}$يشير إلى احتمالية تعيين خرج إيقاف لسلسلة معينة من إشارات الإدخال.

لو${\displaystyle p_{i}=p=const.}$بالنسبة لكل عقدة، يعتمد الانتقال بين النطاق المستقر والفوضوي على${\displaystyle p}$وفقًا لبرنارد دريدا وإيف بوميو ^{[ 16 ]} ، فإن القيمة الحرجة لمتوسط ​​عدد الاتصالات هي${\displaystyle K_{c}=1/[2p(1-p)]}$.

لو${\displaystyle K}$ليست ثابتة، ولا توجد علاقة بين درجات الدخول ودرجات الخروج، وتتحدد شروط الاستقرار بواسطة${\displaystyle \langle K^{in}\rangle }$^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} تكون الشبكة مستقرة إذا${\displaystyle \langle K^{in}\rangle <K_{c}}$، أمر بالغ الأهمية إذا ${\displaystyle \langle K^{in}\rangle =K_{c}}$وغير مستقر إذا${\displaystyle \langle K^{in}\rangle >K_{c}}$.

تكون شروط الاستقرار هي نفسها في حالة الشبكات ذات الطوبولوجيا الخالية من المقياس حيث يكون توزيع درجة الدخول والخروج توزيعًا لقانون القوة:${\displaystyle P(K)\propto K^{-\gamma }}$، و${\displaystyle \langle K^{in}\rangle =\langle K^{out}\rangle }$، لأن كل رابط صادر من عقدة ما هو رابط وارد إلى عقدة أخرى. ^{[ 20 ]}

تُظهر الحساسية احتمالية تغير مخرجات الدالة المنطقية لعقدة معينة عند تغير مدخلاتها. بالنسبة للشبكات المنطقية العشوائية، ${\displaystyle q_{i}=2p_{i}(1-p_{i})}$في الحالة العامة، يتم التحكم في استقرار الشبكة بواسطة أكبر قيمة ذاتية${\displaystyle \lambda _{Q}}$من المصفوفة${\displaystyle Q}$، أين${\displaystyle Q_{ij}=q_{i}A_{ij}}$، و ${\displaystyle A}$هي مصفوفة التجاور للشبكة. ^{[ 21 ]} تكون الشبكة مستقرة إذا${\displaystyle \lambda _{Q}<1}$، أمر بالغ الأهمية إذا${\displaystyle \lambda _{Q}=1}$غير مستقر إذا${\displaystyle \lambda _{Q}>1}$.

• نموذج NK

• دوبروفا، إي.، تيسلينكو، إم.، مارتينيلي، إيه.، (2005). * شبكات كوفمان: التحليل والتطبيقات ، في "وقائع المؤتمر الدولي للتصميم بمساعدة الحاسوب"، الصفحات 479-484.

• تحليل النماذج الجبرية الديناميكية (ADAM) الإصدار 1.1
• bioasp/bonesis : توليف الشبكات المنطقية الأكثر تساهلاً من بنية الشبكة وخصائصها الديناميكية
• CoLoMoTo (اتحاد النماذج والأدوات المنطقية)
• مختبر دي دي
• محاكي الشبكات المنطقية NetBuilder
• محاكي شبكة منطقية مفتوح المصدر
• شبكة كوفمان جافا سكريبت
• الشبكات المنطقية الاحتمالية (PBN)
• مختبر RBN
• أداة تعتمد على SAT لحساب الجاذبات في الشبكات المنطقية