جدول الحقيقة

فيما يلي جدول الحقيقة الذي يقدم تعريفات لكل من وظائف البوابات المنطقية الستة الممكنة ذات المدخلين لمتغيرين منطقيين P و Q:

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle P\land Q}$	${\displaystyle P\vee Q}$	${\displaystyle P\uparrow Q}$	${\displaystyle P\downarrow Q}$	${\displaystyle P\nleftrightarrow Q}$	${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$
تي	تي	تي	تي	F	F	F	تي
تي	F	F	تي	تي	F	تي	F
F	تي	F	تي	تي	F	تي	F
F	F	F	F	تي	تي	F	تي
الاسم (الدالة)		و (حرف عطف)	أو (الفصل)	NAND (عدم الاقتران)	NOR (عدم الفصل)	XOR (عدم التكافؤ)	XNOR (التكافؤ)
حيث تعني  T  صحيح و F تعني خطأ

بالنسبة للمعاملات الثنائية، يُستخدم أيضًا شكل مُختصر لجدول الحقيقة، حيث تُحدد عناوين الصفوف وعناوين الأعمدة المعاملات، بينما تُحدد خلايا الجدول النتيجة. على سبيل المثال، يستخدم المنطق البولياني هذا الشكل المُختصر لجدول الحقيقة:

تُعدّ هذه الصيغة مفيدةً خاصةً إذا كانت العمليات تبادلية، مع إمكانية تحديد أن الصفوف هي المعامل الأول والأعمدة هي المعامل الثاني. وتُفيد هذه الصيغة المختصرة بشكلٍ خاص عند مناقشة امتدادات المنطق متعددة القيم، إذ تُقلّل بشكلٍ كبير من التعقيد التوافقي لعدد الصفوف المطلوبة. كما تُتيح هذه الصيغة تمييزًا سريعًا لشكل توزيع القيم في الجدول، مما يُساعد القارئ على فهم القواعد بسرعة أكبر.

تُستخدم جداول الحقيقة أيضًا لتحديد وظيفة جداول البحث في الدوائر المنطقية الرقمية . بالنسبة لجدول بحث ذي n مدخل، سيحتوي جدول الحقيقة على${\displaystyle 2^{n}}$تُحدد القيم (أو الصفوف في التنسيق الجدولي أعلاه) دالة منطقية كاملة لجدول البحث. من خلال تمثيل كل قيمة منطقية كبت في عدد ثنائي ، يمكن ترميز قيم جدول الحقيقة بكفاءة كقيم صحيحة في برامج أتمتة تصميم الإلكترونيات (EDA) . على سبيل المثال، يمكن لعدد صحيح 32 بت ترميز جدول الحقيقة لجدول بحث يحتوي على ما يصل إلى 5 مدخلات.

عند استخدام تمثيل عددي صحيح لجدول الحقيقة، يمكن الحصول على قيمة خرج جدول البحث (LUT) بحساب فهرس بت k بناءً على قيم مدخلات جدول البحث، وفي هذه الحالة تكون قيمة خرج جدول البحث هي البت رقم k من العدد الصحيح. على سبيل المثال، لتقييم قيمة خرج جدول البحث عند إعطاء مصفوفة من n قيمة إدخال منطقية، يمكن حساب فهرس بت قيمة خرج جدول الحقيقة كما يلي: إذا كان المدخل رقم i صحيحًا، فليكن${\displaystyle V_{i}=1}$وإلا فليكن${\displaystyle V_{i}=0}$ثمّ يكون البت رقم k من التمثيل الثنائي لجدول الحقيقة هو قيمة خرج جدول البحث، حيث $${\displaystyle k=V_{0}\times 2^{0}+V_{1}\times 2^{1}+V_{2}\times 2^{2}+\dots +V_{n-1}\times 2^{n-1}.}$$

تُعدّ جداول الحقيقة طريقةً بسيطةً ومباشرةً لترميز الدوال المنطقية، إلا أنها، نظرًا لتزايد حجمها بشكلٍ كبيرٍ مع ازدياد عدد المدخلات، غير مناسبةٍ للدوال ذات عددٍ كبيرٍ من المدخلات. ومن بين التمثيلات الأخرى الأكثر كفاءةً في استخدام الذاكرة، المعادلات النصية ومخططات القرار الثنائية .

في الإلكترونيات الرقمية وعلوم الحاسوب (مجالات هندسة المنطق التطبيقي والرياضيات)، يمكن استخدام جداول الحقيقة لتبسيط العمليات المنطقية الأساسية إلى علاقات بسيطة بين المدخلات والمخرجات، دون الحاجة إلى بوابات منطقية أو شيفرة برمجية. على سبيل المثال، يمكن تمثيل عملية جمع ثنائية باستخدام جدول الحقيقة:

حيث A هو المعامل الأول، وB هو المعامل الثاني، وC هو رقم الحمل، وR هو النتيجة.

يُقرأ جدول الحقيقة هذا من اليسار إلى اليمين:

• زوج القيم (أ، ب) يساوي زوج القيم (ج، ر).
• أو في هذا المثال، A + B يساوي النتيجة R، مع الحمل C.

لا يصف هذا الجدول العمليات المنطقية اللازمة لتنفيذ هذه العملية، بل يحدد ببساطة وظيفة المدخلات لقيم الإخراج.

فيما يتعلق بالنتيجة، يمكن اعتبار هذا المثال حسابيًا بمثابة جمع ثنائي modulo 2، ومكافئًا منطقيًا لعملية المنطق الثنائي الحصري (الفصل الحصري).

في هذه الحالة، يمكن استخدامها فقط مع المدخلات والمخرجات البسيطة جدًا، مثل 1 و0. ومع ذلك، إذا زاد عدد أنواع القيم التي يمكن أن تأخذها المدخلات، فسيزداد حجم جدول الحقيقة.

على سبيل المثال، في عملية الجمع، نحتاج إلى مُعاملين، A وB. يمكن أن يأخذ كل منهما إحدى قيمتين، صفر أو واحد. عدد التوليفات الممكنة لهاتين القيمتين هو 2 × 2، أي أربعة. لذا، فإن النتيجة هي أربعة مُخرجات مُحتملة لـ C وR. إذا استخدمنا النظام العددي ذو الأساس 3، سيزداد الحجم إلى 3 × 3، أي تسعة مُخرجات مُحتملة.

يُطلق على مثال "الجمع" الأول أعلاه اسم جامع نصفي. أما الجامع الكامل فهو الذي يُستخدم فيه ناتج الحمل من العملية السابقة كمدخل للجامع التالي. وبالتالي، يلزم جدول حقيقة من ثمانية صفوف لوصف منطق الجامع الكامل .

ABC* | CR 0 0 0 | 0 0 0 1 0 | 0 1 1 0 0 | 0 1 1 1 0 | 1 0 0 0 1 | 0 1 0 1 1 | 1 0 1 0 1 | 1 0 1 1 1 | 1 1 كما في السابق، ولكن.. C* = حمل من الجامع السابق 

يوصي لي آرتشي، وهو أستاذ في جامعة لاندر ، بهذا الإجراء، والذي يتم اتباعه بشكل شائع في جداول الحقيقة المنشورة:

1. اكتب عدد المتغيرات (المقابلة لعدد العبارات) بالترتيب الأبجدي.
2. عدد الأسطر المطلوبة هو 2^ ⁿ حيث n هو عدد المتغيرات. (على سبيل المثال، مع ثلاثة متغيرات، 2 ^{^3} = 8).
3. ابدأ من العمود الأيمن وقم بالتناوب بين حرفي T و F حتى تنتهي الأسطر.
4. ثم انتقل إلى اليسار إلى العمود التالي وقم بالتناوب بين أزواج T و F حتى تنتهي الأسطر.
5. ثم انتقل إلى العمود الأيسر التالي وضاعف عدد علامات T و F حتى تكتمل. ^{[ 5 ]}

ينتج عن هذه الطريقة جداول الحقيقة مثل الجدول التالي لـ P → ( Q ∨ R → ( R → ¬ P )) ، الذي أنتجه ستيفن كول كلين : ^{[ 7 ]}

${\displaystyle P}$	${\displaystyle Q}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle P\rightarrow (Q\vee R\rightarrow (R\rightarrow \neg P))}$
تي	تي	تي	F
تي	تي	F	تي
تي	F	تي	F
تي	F	F	تي
F	تي	تي	تي
F	تي	F	تي
F	F	تي	تي
F	F	F	تي

من ناحية أخرى، يعتقد كولين هاوسون أن "من القواعد العملية الجيدة" القيام بما يلي:

لنبدأ بجميع الأحرف T، ثم بجميع الطرق (ثلاث) التي يمكن بها دمج حرفين T مع حرف F واحد، ثم بجميع الطرق (ثلاث) التي يمكن بها دمج حرف T واحد مع حرفين F، ثم ننتهي بجميع الأحرف F. إذا تم بناء جملة مركبة من n حرفًا مختلفًا، فسيكون لجدول الصواب الخاص بها 2^ ⁿ صفًا، حيث توجد طريقتان لتعيين T أو F للحرف الأول، ولكل من هاتين الطريقتين توجد طريقتان لتعيين T أو F للحرف الثاني، ولكل من هاتين الطريقتين توجد طريقتان لتعيين T أو F للحرف الثالث، وهكذا، مما يعطي 2.2.2....، n مرة، وهو ما يساوي 2^ ⁿ . ^{[ 6 ]}

ينتج عن هذا جداول الحقيقة مثل هذا الجدول "الذي يوضح أن ( A → C )∧( B → C ) و ( A ∨ B )→ C متكافئان وظيفيًا من حيث الحقيقة " ، على غرار جدول أنتجه هاوسون : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle C}$	${\displaystyle (A\rightarrow C)\land (B\rightarrow C)}$	${\displaystyle (A\vee B)\rightarrow C}$
تي	تي	تي	تي	تي
تي	تي	F	F	F
تي	F	تي	تي	تي
F	تي	تي	تي	تي
F	F	تي	تي	تي
F	تي	F	F	F
تي	F	F	F	F
F	F	F	تي	تي

فيما يلي جدول حقيقة موسع يقدم تعريفات لجميع دوال الحقيقة الستة عشر الممكنة لمتغيرين منطقيين p و q : ^{[ ملاحظة 1 ]}

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$		${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle p\downarrow q}$	${\displaystyle p\nleftarrow q}$	${\displaystyle \neg p}$	${\displaystyle p\nrightarrow q}$	${\displaystyle \neg q}$	${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$	${\displaystyle p\uparrow q}$	${\displaystyle p\land q}$	${\displaystyle p\leftrightarrow q}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\rightarrow q}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p\leftarrow q}$	${\displaystyle p\vee q}$	${\displaystyle \top }$
تي	تي		F	F	F	F	F	F	F	F	تي	تي	تي	تي	تي	تي	تي	تي
تي	F		F	F	F	F	تي	تي	تي	تي	F	F	F	F	تي	تي	تي	تي
F	تي		F	F	تي	تي	F	F	تي	تي	F	F	تي	تي	F	F	تي	تي
F	F		F	تي	F	تي	F	تي	F	تي	F	تي	F	تي	F	تي	F	تي
كوم
مشارك
صفة			${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle p\downarrow q}$	${\displaystyle p\nrightarrow q}$	${\displaystyle \neg q}$	${\displaystyle p\nleftarrow q}$	${\displaystyle \neg p}$	${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$	${\displaystyle p\uparrow q}$	${\displaystyle p\land q}$	${\displaystyle p\leftrightarrow q}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p\leftarrow q}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\rightarrow q}$	${\displaystyle p\vee q}$	${\displaystyle \top }$
سلبي			${\displaystyle \top }$	${\displaystyle p\vee q}$	${\displaystyle p\leftarrow q}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p\rightarrow q}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\leftrightarrow q}$	${\displaystyle p\land q}$	${\displaystyle p\uparrow q}$	${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$	${\displaystyle \neg q}$	${\displaystyle p\nrightarrow q}$	${\displaystyle \neg p}$	${\displaystyle p\nleftarrow q}$	${\displaystyle p\downarrow q}$	${\displaystyle \bot }$
مزدوج			${\displaystyle \top }$	${\displaystyle p\uparrow q}$	${\displaystyle p\rightarrow q}$	${\displaystyle \neg p}$	${\displaystyle p\leftarrow q}$	${\displaystyle \neg q}$	${\displaystyle p\leftrightarrow q}$	${\displaystyle p\downarrow q}$	${\displaystyle p\vee q}$	${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\nleftarrow q}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p\nrightarrow q}$	${\displaystyle p\land q}$	${\displaystyle \bot }$
ليد					F				F		تي	تي	صواب،  خطأ	تي			F
يتخلص							F		F		تي	تي			صواب،  خطأ	تي	F

أين

T = صحيح.

F = خطأ.

يشير الصف Com إلى ما إذا كان العامل ، op ، تبديليًا - P op Q = Q op P .

يشير صف Assoc إلى ما إذا كان العامل، op ، تجميعيًا - ( P op Q ) op R = P op ( Q op R ) .

يُظهر صف Adj العامل op2 بحيث يكون P op Q = Q op2 P .

يُظهر الصف السالب العامل op2 بحيث يكون P op Q = ¬( P op2 Q ) .

يُظهر صف " العملية المزدوجة" العملية المزدوجة التي تم الحصول عليها عن طريق تبديل T مع F، و AND مع OR.

يُظهر صف L id الهويات اليسرى للمشغل إذا كان له أي قيم I بحيث يكون I op Q = Q .

يُظهر صف R id ^{الهويات} اليمنى للمُعامل إذا كان له أي قيم I بحيث يكون P op I = P. ^{[ ملاحظة 2} ]

في الاقتراح 5.101 من كتاب Tractatus Logico-Philosophicus ، ^{[ 9 ]} أدرج فيتجنشتاين الجدول أعلاه على النحو التالي:

	القيم الحقيقية		المشغل		اسم العملية	Tractatus [ ملاحظة 3 ]
0	(FFFF)(p, q)	⊥	خطأ شنيع	Opq	تناقض	p وليس p؛ و q وليس q
1	(FFFT)(p, q)	ولا	p ↓ q	Xpq	NOR المنطقي	لا p ولا q
2	(FFTF)(p, q)	↚	p ↚ q	Mpq	عكس عدم الاستلزام	q وليس p
3	(FFTT)(p, q)	¬p , ~p	¬p	Np , Fpq	النفي	ليس ص
4	(FTFF)(p, q)	↛	p ↛ q	Lpq	عدم وجود دلالة مادية	p وليس q
5	(FTFT)(p, q)	¬q , ~q	¬q	Nq , Gpq	النفي	ليس q
6	(FTTF)(p, q)	XOR	p ⊕ q	Jpq	الفصل الحصري	إما p أو q ، ولكن ليس كلاهما
7	(FTTT)(p, q)	ذاكرة NAND	p ↑ q	Dpq	NAND المنطقي	ليس كل من p و q
8	(TFFF)(p, q)	و	p ∧ q	Kpq	العطف المنطقي	p و q
9	(TFFT)(p, q)	إكسنور	p إذا وفقط إذا q	Epq	الشرط الثنائي المنطقي	إذا كان p فإن q ؛ وإذا كان q فإن p
10	(TFTF)(p, q)	q	q	Hpq	دوال الإسقاط	q
11	(TFTT)(p, q)	p → q	إذا كان p فإن q	Cpq	الآثار المادية	إذا كان p فإن q
12	(TTFF)(p, q)	ص	ص	Ipq	دوال الإسقاط	ص
13	(TTFT)(p, q)	p ← q	إذا كان q فإن p	بي بي كيو	الاستلزام العكسي	إذا كان q فإن p
14	(TTTF)(p, q)	أو	p ∨ q	Apq	الفصل المنطقي	p أو q
15	(TTTT)(p, q)	⊤	حقيقي	Vpq	تكرار الكلام	إذا كان p فإن p؛ وإذا كان q فإن q

يتم الحصول على جدول الحقيقة الذي يمثله كل صف عن طريق إلحاق التسلسل المعطى في _صف القيم الحقيقية بالجدول ^{[ ملاحظة 3 ]}

ص	تي	تي	F	F
q	تي	F	تي	F

على سبيل المثال، الجدول

ص	تي	تي	F	F
q	تي	F	تي	F
11	تي	F	تي	تي

يمثل جدول الحقيقة للاستلزام المادي . ويمكن أيضًا تصور العوامل المنطقية باستخدام مخططات فين .

هناك عمليتان صفريتان:

• صحيح دائمًا
• غير صحيح أبداً، كذب أحادي

هناك عمليتان أحاديتان:

• هوية أحادية
• النفي الأحادي

هناك 16 دالة حقيقة ممكنة لمتغيرين ثنائيين ، ولكل عامل اسم خاص به.

• بوشينسكي، جوزيف ماريا (1959). ملخص للمنطق الرياضي . ترجمه بيرد، أوتو. د. ريدل. دوى : 10.1007/978-94-017-0592-9 . رقم ISBN 978-94-017-0592-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• إندرتون، هـ. (2001). مقدمة رياضية في المنطق (  الطبعة الثانية). دار هاركورت الأكاديمية للنشر. رقم ISBN 0-12-238452-0.
• كوين، دبليو في (1982). مناهج المنطق (  الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة هارفارد. ISBN 978-0-674-57175-4.