نظرية براور حول الخصائص المستحثة

نظرية براور حول الخصائص المستحثة ، والمعروفة غالبًا باسم نظرية براور للاستقراء ، والتي سميت على اسم ريتشارد براور ، هي نتيجة أساسية في فرع الرياضيات المعروف باسم نظرية الخصائص ، وهو جزء من نظرية تمثيل المجموعات المنتهية . ^{[ 1 ]}

كانت نظرية أرتين للاستقراء بمثابة مقدمة لنظرية براور ، التي تنص على أن حاصل ضرب | G | في الخاصية التافهة لـ G هو توليفة صحيحة من الخصائص، كل منها مستحث من الخصائص التافهة للمجموعات الجزئية الدورية لـ G. تُزيل نظرية براور العامل | G |، ولكن على حساب توسيع مجموعة المجموعات الجزئية المستخدمة. بعد سنوات من ظهور برهان نظرية براور، أثبت جيه إيه غرين (عام 1955) أنه لا يمكن إثبات نظرية استقراء مماثلة (بتوليفات صحيحة من الخصائص المستحثة من الخصائص الخطية) باستخدام مجموعة من المجموعات الجزئية أصغر من مجموعات براور الأولية .

نتيجة أخرى بين نظرية الاستقراء لآرتين ونظرية الاستقراء لبراور، والتي تعود أيضًا إلى براور وتُعرف أيضًا باسم نظرية براور أو لِمّة براور، هي أن التمثيل المنتظم لـ G يمكن كتابته على النحو التالي:${\displaystyle 1+\sum \lambda _{i}\rho _{i}}$حيث${\displaystyle \lambda _{i}}$هي أعداد نسبية موجبة و${\displaystyle \rho _{i}}$تُستنتج هذه الدوال من خصائص الزمر الجزئية الدورية للمجموعة G. تجدر الإشارة إلى أنه في نظرية آرتين، تُستنتج الخصائص من الخاصية التافهة للمجموعة الدورية ، بينما تُستنتج هنا من خصائص اختيارية (في تطبيقات دوال آرتين L، من المهم أن تكون الزمر دورية، وبالتالي تكون جميع الخصائص خطية، مما يعني أن دوال L المقابلة تحليلية). ^{[ 2 ]}

ليكن G زمرة منتهية ، ولتكن Char( G ) الحلقة الفرعية من حلقة دوال الفئات ذات القيم المركبة في G، والتي تتكون من تراكيب عددية صحيحة من المؤثرات غير القابلة للاختزال . تُعرف Char( G ) بحلقة المؤثرات في G ، وتُعرف عناصرها بالمؤثرات الافتراضية (أو المؤثرات المعممة ، أو أحيانًا مؤثرات الفرق ). وهي حلقة لأن حاصل ضرب مؤثرات G هو مؤثر في G أيضًا . ويُعطى ضربها بالضرب العنصري لدوال الفئات. ^{[ 3 ]}

تُظهر نظرية الاستقراء لبراور أنه يمكن توليد حلقة الأحرف (كمجموعة أبيلية ) بواسطة أحرف التمثيلات المستحثة من ^{التمثيلات} أحادية البعد للمجموعات الفرعية من G. [ ^{4 ]}

في الواقع، أثبت براور أنه يمكن اختيار هذه الزمر الجزئية من مجموعة محدودة للغاية، تُسمى الآن الزمر الجزئية الأولية . وبحسب التعريف، تكون الزمرة الجزئية أولية إذا كانت ناتج ضرب مباشر لزمرة دورية وزمرة رتبتها قوة لعدد أولي.

يستغل برهان نظرية براور الاستقراء بنية الحلقة Char( G ) (تستخدم معظم البراهين أيضًا حلقة أكبر قليلاً، Char*(G)، والتي تتكون من${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$-مجموعات من الأحرف غير القابلة للاختزال، حيث ω هو جذر أولي من الرتبة | G | للوحدة). مجموعة التوليفات الصحيحة للأحرف المستحثة من الأحرف الخطية للمجموعات الفرعية الأولية لبراور هي مثالي I ( G ) لـ Char( G )، لذا فإن البرهان يختزل إلى إثبات أن الحرف التافه ينتمي إلى I ( G ). تُظهر العديد من براهين النظرية، بدءًا من برهان براور وجون تيت ، أن الحرف التافه ينتمي إلى المثالي I *( G ) المعرّف بشكل مماثل لـ Char*( G ) من خلال تركيز الانتباه على عدد أولي واحد p في كل مرة، وبناء عناصر ذات قيم صحيحة من I *( G ) تختلف (عنصرًا بعنصر) عن الحرف التافه بمقدار (مضاعفات صحيحة لـ) قوة عالية كافية من p. بمجرد تحقيق ذلك لكل قاسم أولي لـ | باستخدام G ، وبعض العمليات على التطابقات والأعداد الصحيحة الجبرية ، مع استغلال حقيقة أن I *( G ) هو مثالي في Char*( G )، يتم وضع الخاصية التافهة في I ( G ). وتتمثل النتيجة المساعدة هنا في أن${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$تقع دالة الفئة ذات القيم في المثالي I *( G ) إذا كانت جميع قيمها قابلة للقسمة (في${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$) بواسطة | G |. ^{[ 5 ]}

أُثبتت نظرية براور الاستقراءية عام ١٩٤٦، وتوجد الآن العديد من البراهين البديلة. في عام ١٩٨٦، قدّم فيكتور سنايث برهانًا بمنهج مختلف جذريًا، ذي طبيعة طوبولوجية (تطبيق لنظرية ليفشيتز للنقطة الثابتة ). ^{[ ٦ ]} وقد ظهرت مؤخرًا أعمالٌ ذات صلة حول مسألة إيجاد صيغ طبيعية وصريحة لنظرية براور، ولا سيما من قِبل روبرت بولتجي. ^{[ ٧ ]}

باستخدام مبدأ التبادلية لفروبينيوس ، تقودنا نظرية الاستقراء لبراور بسهولة إلى توصيفه الأساسي للخصائص ، والذي ينص على أن دالة الفئة ذات القيم المركبة في G هي خاصية افتراضية إذا وفقط إذا كان تقييدها على كل زمرة فرعية أولية من زمر براور في G خاصية افتراضية. هذه النتيجة، بالإضافة إلى حقيقة أن الخاصية الافتراضية θ هي خاصية غير قابلة للاختزال إذا وفقط إذا كان θ (1) > 0 و${\displaystyle \langle \theta ,\theta \rangle =1}$(أين ${\displaystyle \langle ,\rangle }$(الضرب الداخلي المعتاد على حلقة دوال الفئة ذات القيم المركبة ) يعطي وسيلة لإنشاء الأحرف غير القابلة للاختزال دون إنشاء التمثيلات المرتبطة بها بشكل صريح.

كان الدافع الأولي لنظرية براور الاستقراءية هو تطبيقها على دوال آرتين L. تُظهر هذه النظرية أن هذه الدوال تُبنى من دوال ديريشليه L ، أو دوال هيك L الأكثر عمومية . ومن الأمور بالغة الأهمية لهذا التطبيق ما إذا كان كل عنصر من عناصر G عبارة عن توليفة عددية صحيحة غير سالبة من العناصر المستحثة من العناصر الخطية للمجموعات الجزئية. عمومًا، هذا ليس هو الحال. في الواقع، وفقًا لنظرية تاكيتا، إذا كانت جميع عناصر G قابلة للتعبير عنها بهذه الطريقة، فإن G يجب أن تكون مجموعة قابلة للحل (مع أن قابلية الحل وحدها لا تضمن مثل هذه التعبيرات - على سبيل المثال، المجموعة القابلة للحل SL(2,3) لها عنصر عقدي غير قابل للاختزال من الدرجة 2 لا يمكن التعبير عنه كتوليفة عددية صحيحة غير سالبة من العناصر المستحثة من العناصر الخطية للمجموعات الجزئية). أحد مكونات برهان نظرية براور الاستقراء هو أنه عندما تكون G مجموعة نيلبوتنت منتهية ، فإن كل خاصية معقدة غير قابلة للاختزال لـ G يتم استقراءها من خاصية خطية لبعض المجموعات الفرعية.

• إسحاق، آي إم (1994) [1976]. نظرية الخصائص للمجموعات المنتهية . دوفر. ISBN 0-486-68014-2. Zbl 0849.20004 . طبعة مُنقّحة من النسخة الأصلية الصادرة عام 1976 عن دار النشر الأكاديمية. Zbl 0337.20005 

• سير، جان بيير (1977). التمثيلات الخطية للمجموعات المنتهية . نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. ISBN 978-1-4684-9458-7. OCLC 853264255 .