صيغة بريتشنايدر

في الهندسة ، تُعد صيغة بريتشنايدر تعبيرًا رياضيًا لمساحة الشكل الرباعي العام . وهي صالحة لكل من الأشكال الرباعية المحدبة والمقعرة، سواء كانت دائرية أم لا.

اكتشف عالم الرياضيات الألماني كارل أنطون بريتشنايدر الصيغة في عام 1842. كما تم اشتقاق الصيغة في نفس العام من قبل عالم الرياضيات الألماني كارل جورج كريستيان فون شتاودت .

يتم التعبير عن صيغة بريتشنايدر على النحو التالي:

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}$

هنا، a و b و c و d هي أضلاع الشكل الرباعي، و s هو نصف المحيط ، و α و γ هما أي زاويتين متقابلتين. تنطبق صيغة بريتشنايدر على أي شكل رباعي، سواء كان دائريًا أم لا.

لنرمز إلى مساحة الشكل الرباعي بالرمز K. عندئذٍ لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

لذلك

${\displaystyle 2K=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .}$

${\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}$

ينص قانون جيب التمام على أن

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,}$

لأن كلا الجانبين يساوي مربع طول القطر BD . ويمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}$

بإضافة هذا إلى الصيغة أعلاه لـ 4K ² ينتج

${\displaystyle {\begin{aligned}4K^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}$

لاحظ أن:${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}}$(متطابقة مثلثية صحيحة لجميع${\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}$)

باتباع نفس الخطوات المتبعة في صيغة براهماجوبتا ، يمكن كتابة ذلك على النحو التالي

${\displaystyle 16K^{2}=(a+b+cd)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}$

تقديم نصف المحيط

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

يصبح ما سبق

${\displaystyle 16K^{2}=16(sd)(sc)(sb)(sa)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

${\displaystyle K^{2}=(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

وتتبع صيغة بريتشنايدر بعد أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين:

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

يُعطى الشكل الثاني باستخدام متطابقة جيب تمام نصف الزاوية

${\displaystyle \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)={\frac {1+\cos \left(\alpha +\gamma \right)}{2}},}$

الاستسلام

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}$

استخدم إيمانويل غارسيا صيغ نصف الزاوية المعممة لتقديم برهان بديل. ^{[ 1 ]}

تعمم صيغة بريتشنايدر صيغة براهماجوبتا لمساحة الشكل الرباعي الدائري ، والتي بدورها تعمم صيغة هيرون لمساحة المثلث .

يمكن إعادة كتابة التعديل المثلثي في ​​صيغة بريتشنايدر لعدم الدورية للرباعي بشكل غير مثلثي بدلالة الأضلاع والقطرين e و f لإعطاء ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{align}K&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{4}}((ac+bd)^{2}-e^{2}f^{2})}}\\&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}\\\end{محاذاة}}}$

• أيوب، أيوب ب. (2007). "تعميمات لنظريتي بطليموس وبراهماجوبتا". تعليم الرياضيات والحاسوب . 41 (1). ISSN 0730-8639 . 
• كاليفورنيا بريتشنايدر. Unter suchung der trigonomtrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( نسخة إلكترونية، ألمانية )
• F. Strehlke: Zwei new Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( نسخة إلكترونية، ألمانية )

• فايستين، إريك دبليو. “صيغة بريتشنايدر” . عالم الرياضيات .
• صيغة بريتشنايدر موجودة على موقعProofwiki.org
• صيغة بريتشنايدر لحساب مساحة الأشكال الرباعية وصيغة براهمغوبتا في رسومات الهندسة الديناميكية ، رسومات هندسية تفاعلية.