رباعي الأضلاع دوري

في الهندسة ، يُعرف الشكل الرباعي الدائري أو الشكل الرباعي المحيطي بأنه شكل رباعي ( مضلع ذو أربعة أضلاع ) تقع جميع رؤوسه على دائرة واحدة ، مما يجعل أضلاعه أوتارًا للدائرة. تُسمى هذه الدائرة بالدائرة المحيطة أو الدائرة المرسومة ، وتُسمى رؤوسها بالدائرة الواحدة . يُطلق على مركز الدائرة ونصف قطرها اسم مركز الدائرة المحيطة ونصف قطرها على التوالي. عادةً ما يُفترض أن يكون الشكل الرباعي محدبًا ، ولكن توجد أيضًا أشكال رباعية دائرية متقاطعة . الصيغ والخصائص المذكورة أدناه صالحة في حالة الشكل المحدب.

كلمة "دوري" مشتقة من الكلمة اليونانية القديمة κύκλος ( kuklos )، والتي تعني "دائرة" أو "عجلة".

جميع المثلثات لها دائرة محيطة ، ولكن ليس كل الأشكال الرباعية لها دائرة محيطة. مثال على شكل رباعي لا يمكن أن يكون دائريًا هو المعين غير المربع. توضح خصائص القسم أدناه الشروط اللازمة والكافية التي يجب أن يستوفيها الشكل الرباعي ليكون له دائرة محيطة.

حالات خاصة

أي مربع أو مستطيل أو شبه منحرف متساوي الساقين أو متوازي أضلاع مضاد هو شكل دائري. الطائرة الورقية دائرية إذا وفقط إذا كان لها زاويتان قائمتان - طائرة ورقية قائمة . الشكل الرباعي ثنائي المركز هو شكل رباعي دائري ومماس ، والشكل الرباعي شبه ثنائي المركز هو شكل رباعي دائري وشبه مماس . الشكل الرباعي التوافقي هو شكل رباعي دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال الأضلاع المتقابلة متساوياً.

الخصائص

مركز الدائرة

يكون الشكل الرباعي المحدب دائريًا إذا وفقط إذا كانت المنصفات العمودية الأربعة لأضلاعه متلاقية . هذه النقطة المشتركة هي مركز الدائرة المحيطة . ^{[ 1 ]}

زوايا إضافية

يكون الشكل الرباعي المحدب $ABCD$ دوريًا إذا وفقط إذا كانت زواياه المتقابلة متكاملة ، أي ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} $\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radians}}\ (=180^{\circ }).$

كانت النظرية المباشرة هي القضية 22 في الكتاب الثالث من كتاب العناصر لإقليدس . [ 3 ^]^وبصورة^مكافئة ، يكون الشكل الرباعي المحدب دوريًا إذا وفقط إذا كانت كل زاوية خارجية تساوي الزاوية الداخلية المقابلة لها .

في عام 1836، عمّم دنكان غريغوري هذه النتيجة على النحو التالي: لأي مضلع دائري محدب ذي $2n ضلعًا$ ، فإن مجموعي الزاويتين الداخليتين المتبادلتين يساويان $(n - 1) π$ . ^{[ 4 ]} ويمكن تعميم هذه النتيجة أكثر على النحو التالي: إذا كان $A1A2$ $...$ $A2n$ $(حيث n > 1$ $) أي مضلع$ دائري $ذي$ $2n ضلعًا$ حيث الرأس $A1 \to A1 + k$ (الرأس $A1$ متصل بالرأس $A1 + k$ )، فإن مجموعي الزاويتين الداخليتين المتبادلتين يساويان $mπ$ (حيث $m$ $=$ $n$ $-$ $k$ و $k$ $= 1، 2، 3، ...$ ^هو $الدوران$ الكلي) $.$ ^[ $5$ ^]

وبأخذ الإسقاط المجسم (مماس نصف الزاوية) لكل زاوية، يمكن إعادة التعبير عن ذلك،

${\dfrac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\dfrac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .$

وهذا يعني أن ^{[ 6 ]}

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac {\delta }{2}}}=1$

الزوايا بين الأضلاع والأقطار

يكون الشكل الرباعي المحدب $ABCD$ دائريًا إذا وفقط إذا كانت الزاوية بين ضلع وقطر تساوي الزاوية بين الضلع المقابل والقطر الآخر. ^{[ 7 ]} أي، على سبيل المثال، $\angle ACB=\angle ADB.$

نقاط باسكال

الشروط الضرورية والكافية الأخرى لكي يكون الشكل الرباعي المحدب $ABCD$ دوريًا هي: أن تكون $E$ نقطة تقاطع الأقطار، وأن تكون $F$ نقطة تقاطع امتدادات الضلعين $AD$ و $BC$ ، وأن تكون $ω$ دائرة قطرها هو القطعة $EF$ ، وأن تكون $P$ و $Q$ نقطتي باسكال على الضلعين $AB$ و $CD$ المتكونين من الدائرة $ω$ .

$يكون الشكل الرباعي ABCD$ دائريًا إذا وفقط إذا كانت النقطتان $P$ و $Q$ على خط مستقيم واحد مع المركز $O$ للدائرة $ω$ .
$يكون الشكل الرباعي ABCD$ دائريًا إذا وفقط إذا كانت النقطتان $P$ و $Q$ منتصفات الضلعين $AB$ و $CD$ . ^{[ 2 ]}

تقاطع الأقطار

إذا تقاطع خطان، أحدهما يحتوي على القطعة $AC$ والآخر يحتوي على القطعة $BD ، عند النقطة$ $E$ ، فإن النقاط الأربع $A$ و $B$ و $C$ و $D$ تكون متحدة الدائرة إذا وفقط إذا ^{[ 8 ].} $\displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.$ قد يكون التقاطع $E$ داخليًا أو خارجيًا للدائرة. في الحالة الأولى، يكون الشكل الرباعي الدائري $ABCD$ ، وفي الحالة الثانية، يكون $ABDC$ . عندما يكون التقاطع داخليًا، تنص المعادلة على أن حاصل ضرب أطوال القطع المستقيمة التي يقسم بها $E$ أحد قطري الدائرة يساوي حاصل ضرب أطوال القطع المستقيمة التي يقسم بها القطر الآخر. يُعرف هذا بنظرية الأوتار المتقاطعة ، لأن قطري الشكل الرباعي الدائري هما وتران في الدائرة المحيطة.

نظرية بطليموس

تنص نظرية بطليموس على أن حاصل ضرب أطوال القطرين $e$ و $f$ للشكل الرباعي الدائري يساوي مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة: ^{[ 9 ]}^{: ص.25}^{[ 2 ]} $\displaystyle ef=ac+bd,$ حيث تمثل $a و$ b $و$ c $و$ d $أطوال$ الأضلاع بالترتيب. وينطبق العكس أيضاً. أي، إذا تحققت هذه المعادلة في شكل رباعي محدب، فإنه يتشكل شكل رباعي دائري.

المثلث القطري

في الشكل الرباعي المحدب $ABCD$ ، ليكن $△ EFG$ المثلث القطري للشكل $ABCD$ ، ولتكن $ω$ الدائرة التساعية للمثلث $△ EFG$ . يكون $الشكل ABCD$ دائريًا إذا وفقط إذا كانت نقطة تقاطع ثنائيات متوسطات الشكل $ABCD$ تقع ضمن الدائرة التساعية $ω$ . ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 2 ]}

منطقة

تُعطى مساحة الشكل الرباعي الدائري $K$ ، الذي أضلاعه $a$ و $b$ و $c و$ $d$ ، بصيغة براهمغوبتا ^{[ 9 ]}^{: ص 24} $K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}\,$

أين $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$ يمثل نصف المحيط . هذه نتيجة طبيعية لصيغة بريتشنايدر للرباعي العام، لأن الزوايا المتقابلة متكاملة في الحالة الدائرية. إذا كان $d = 0$ أيضًا ، فإن الرباعي الدائري يتحول إلى مثلث، وتُختزل الصيغة إلى صيغة هيرون .

يتميز الشكل الرباعي الدائري بأكبر مساحة بين جميع الأشكال الرباعية ذات أطوال الأضلاع المتساوية (بغض النظر عن ترتيبها). هذه نتيجة أخرى لصيغة بريتشنايدر. ويمكن إثباتها أيضًا باستخدام حساب التفاضل والتكامل . ^{[ 12 ]}

أربعة أطوال غير متساوية، كل منها أقل من مجموع الأطوال الثلاثة الأخرى، هي أضلاع ثلاثة أشكال رباعية دائرية غير متطابقة، ^{[ 13 ]} والتي، وفقًا لصيغة براهمغوبتا، لها جميعًا نفس المساحة. تحديدًا، بالنسبة للأضلاع $أ$ ، $ب$ ، $ج$ ، $د$ ، يمكن أن يكون الضلع $أ$ مقابلًا لأي من الأضلاع $ب$ ، $ج$ ، أو $د$ .

يمكن التعبير عن مساحة الشكل الرباعي الدائري ذي الأضلاع المتتالية $a$ و $b$ و $c$ و $d$ ، والزاوية $A$ بين الضلعين $a$ و $d$ ، والزاوية $B$ بين الضلعين $a$ و $b، على النحو التالي$ ^{[ 9 ]}^{: ص 25} $K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}$

أو $K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}$

أو ^{[ 9 ]}^{: ص 26} $K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }$

حيث $θ$ هي الزاوية بين القطرين. إذا لم تكن الزاوية $A$ قائمة، فيمكن التعبير عن المساحة أيضًا على النحو التالي ^{[ 9 ]}^{: ص 26} $K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.$

صيغة أخرى هي ^{[ 14 ]}^{: ص 83} $\displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }$

حيث $R$ هو نصف قطر الدائرة المحيطة . وكنتيجة مباشرة لذلك، ^{[ 15 ]}

$K\leq 2R^{2}$ حيث توجد المساواة إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي مربعًا.

الأقطار

في شكل رباعي دائري ذي رؤوس متتالية $A$ و $B$ و $C$ و $D$ وأضلاع $a = AB$ و $b = BC$ و $c = CD$ و $d = DA$ ، يمكن التعبير عن أطوال القطرين $p = AC$ و $q = BD بدلالة الأضلاع كما يلي:$ ^{[ 9 ]}^{: ص 25،}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{: ص 84}

$\displaystyle \begin{aligned}p&=\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}\,,\\[2pt]q&=\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}\,,\end{aligned}}}$

وبذلك يتم إثبات نظرية بطليموس $pq=ac+bd.$

وفقًا لنظرية بطليموس الثانية ، ^{[ 9 ]}^{: ص 25،}^{[ 16 ]} ${\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}$

باستخدام نفس الرموز المذكورة أعلاه.

بالنسبة لمجموع الأقطار، لدينا المتباينة ^{[ 18 ]}^{: ص 123، رقم 2975}

$p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.$

يتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان للأقطار أطوال متساوية، وهو ما يمكن إثباته باستخدام متباينة الوسط الحسابي والوسط الهندسي .

علاوة على ذلك، ^{[ 18 ]}^{: ص 64، رقم 1639}

$(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.$

في أي شكل رباعي محدب، يقسم القطران معًا الشكل الرباعي إلى أربعة مثلثات؛ في الشكل الرباعي الدائري، تكون الأزواج المتقابلة من هذه المثلثات الأربعة متشابهة مع بعضها البعض.

إذا كان $ABCD$ شكلًا رباعيًا دائريًا حيث يلتقي $AC مع$ $BD$ عند $E$ ، فإن ^{[ 19 ]}

${\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.$

يمكن ترتيب مجموعة من الأضلاع التي تُشكّل شكلاً رباعياً دائرياً في أيٍّ من ثلاث تسلسلات متميزة، كلٌّ منها يُشكّل شكلاً رباعياً دائرياً له نفس المساحة في نفس الدائرة المحيطة (حيث تكون المساحات متساوية وفقاً لصيغة براهمغوبتا للمساحة). أي شكلين رباعيين دائريين من هذه الأشكال يشتركان في طول قطر واحد. ^{[ 17 ]}^{: ص 84}

صيغ الزوايا

بالنسبة للشكل الرباعي الدائري ذي الأضلاع المتتالية $a$ و $b$ و $c$ و $d$ ونصف المحيط $s$ والزاوية $A$ بين الضلعين $a$ و $d$ ، فإن الدوال المثلثية لـ $A$ معطاة بواسطة ^{[ 20 ].} $\begin{aligned}\cos A&={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},\\[2pt]\sin A&={\frac {2{\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}}{(ad+bc)}},\\[2pt]\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {(sa)(sd)}{(sb)(sc)}}}.\end{aligned}}}$

الزاوية $θ$ بين القطرين المقابلين للضلعين $a$ و $c$ تحقق ^{[ 9 ]}^{: ص 26} $\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(sb)(sd)}{(sa)(sc)}}}.$

إذا تقاطعت امتدادات الضلعين المتقابلين $a$ و $c$ بزاوية $φ$ ، فإن $\cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(sb)(sd)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}$

حيث $s$ هو نصف المحيط . ^{[ 9 ]}^{: ص 31}

يُعمَّم قانون مولفيدي على الأشكال الرباعية الدائرية من خلال المتطابقتين التاليتين. لنفترض أن $B$ هي الزاوية بين الضلعين $a$ و $b$ ، $و C$ هي الزاوية بين $b$ و $c$ ، و $D$ هي الزاوية بين $c$ و $d$ . إذا كانت $E$ هي نقطة تقاطع القطرين، ونرمز إلى أن $∠CED$ $= θ ،$ فإن: ^{[ 21 ]}

$\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(CD)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {ac}{bd}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(DC)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}$

علاوة على ذلك، فإن تعميم قانون المماسات للأشكال الرباعية الدائرية هو: ^{[ 22 ]}

${\frac {(ac)(bd)}{(a+c)(b+d)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(AB)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}.$

صيغة نصف قطر الدائرة المحيطة بباراميشوارا

الشكل الرباعي الدائري ذو الأضلاع المتتالية $a$ و $b$ و $c$ و $d$ ونصف المحيط $s$ له نصف قطر الدائرة المحيطة ( نصف قطر الدائرة المحيطة ) معطى بواسطة ^{[ 16 ]}^{[ 23 ]} $R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(sa)(sb)(sc)(sd)}}}.$

وقد استنتج ذلك عالم الرياضيات الهندي فاتاسيري باراميشوارا في القرن الخامس عشر. (لاحظ أن نصف القطر ثابت عند تبديل أي من أطوال الأضلاع).

باستخدام صيغة براهماجوبتا ، يمكن إعادة صياغة صيغة باراميشوارا على النحو التالي $4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}$

حيث $K$ هي مساحة الشكل الرباعي الدائري.

المركز المضاد والخطوط المستقيمة

تتقاطع أربعة قطع مستقيمة، كل منها عمودية على أحد أضلاع الشكل الرباعي الدائري وتمر بمنتصف الضلع المقابل . [ 24 ] ^{: ص 131}^{، [}^{25 ] تُسمى} هذه القطع المستقيمة بالارتفاعات ، ^{[ 26 ]} وهو اختصار لارتفاع نقطة المنتصف. تُسمى نقطة التقائها بالمركز المضاد . وهي انعكاس لمركز الدائرة المحيطة في "مركز الرأس" . وبالتالي، في الشكل الرباعي الدائري، يكون مركز الدائرة المحيطة و"مركز الرأس" والمركز المضاد على استقامة واحدة . ^{[ 25 ]}

إذا تقاطعت أقطار الشكل الرباعي الدائري عند $النقطة P$ ، وكانت نقاط منتصف الأقطار هي $M$ و $N$ ، فإن مركز الشكل الرباعي المضاد هو مركز التعامد للمثلث $MNP$ .

مركز الاختزال للشكل الرباعي الدائري هو نقطة بونسيليه لرؤوسه.

خصائص أخرى

في الشكل الرباعي الدائري $ABCD$ ، تُمثل مراكز $الدوائر$ الداخلية $M1 ،$ $M2 ،$ $M3$ ، $M4 ($ $انظر$ الشكل إلى اليمين) في المثلثات $△$ $DAB$ ، $△$ $ABC$ ، $△$ $BCD$ ، و $△$ $CDA$ رؤوس مستطيل . هذه إحدى النظريات المعروفة باسم النظرية اليابانية . مراكز التعامد في المثلثات الأربعة نفسها هي رؤوس شكل رباعي مطابق للشكل $ABCD$ ، ومراكز ثقل هذه المثلثات الأربعة هي رؤوس شكل رباعي دائري آخر. ^[⁷^]
في الشكل الرباعي الدائري $ABCD$ الذي مركزه الدائرة $O$ ، ولتكن $P$ نقطة تقاطع قطريه $AC$ و $BD$ . عندئذٍ، تكون الزاوية $∠APB$ $هي$ $المتوسط$ الحسابي للزاويتين ∠AOB $و∠$ COD $.$ وهذا نتيجة مباشرة لنظرية الزاوية المحيطية ونظرية $الزاوية$ الخارجية .
لا توجد أشكال رباعية دورية ذات مساحة نسبية وأضلاع نسبية غير متساوية في المتتابعة الحسابية أو الهندسية . ^{[ 27 ]}

إذا كان للشكل الرباعي الدوري أطوال أضلاع تشكل متتالية حسابية ، فإن الشكل الرباعي يكون أيضًا ثنائي المركز خارجيًا .
إذا امتدت الأضلاع المتقابلة لشكل رباعي دائري لتلتقي عند النقطتين $E$ و $F ، فإن$ منصفات الزوايا الداخلية للزوايا عند النقطتين $E$ و $F$ تكون متعامدة. ^{[ 13 ]}

الأشكال الرباعية لبرهماجوبتا

الرباعي براهمغوبتا ^{[ 28 ]} هو رباعي دائري ذو أضلاع وأقطار ومساحة صحيحة. يُسمى رباعي براهمغوبتا أوليًا إذا لم يكن هناك رباعي أصغر منه مشابه له هندسيًا يمتلك جميع هذه القيم كأعداد صحيحة. تُسمى الرباعيات التي تكون أطوال أضلاعها وأقطارها ومساحاتها أعدادًا نسبية في هذه المقالة رباعيات براهمغوبتا نسبية . كل رباعي براهمغوبتا أولي هو رباعي براهمغوبتا نسبي. وبالعكس، كل رباعي براهمغوبتا نسبي مشابه هندسيًا لرباعي براهمغوبتا أولي واحد فقط.

يمكن الحصول على جميع الأشكال الرباعية الأولية لبراهماغوبتا من التعبيرات التالية التي تتضمن المعاملات النسبية $t$ و $u$ و $v$ . ستكون أطوال الأضلاع المحسوبة $a$ و $b$ و $c و$ $d$ ، والأقطار $e$ و $f$ ، والمساحة $K$ ، ونصف قطر الدائرة المحيطة $R$ أعدادًا نسبية. يمكن تغيير هذه القيم لإنتاج شكل رباعي أولي فريد لبراهماغوبتا؛ لاحظ أن $K$ هي المساحة وسيتم تغييرها بمربع القيمة التي تضرب الكميات الأخرى. سيكون الشكل الرباعي لبراهماغوبتا غير متقاطع مع نفسه وغير منحل إذا كان $min(u, v) > t > 0$ .

${\begin{aligned}a&=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]\\[2pt]b&=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)\\[2pt]c&=t(1+u^{2})(1+v^{2})\\[2pt]d&=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)\\[2pt]e&=u(1+t^{2})(1+v^{2})\\[2pt]f&=v(1+t^{2})(1+u^{2})\\[2pt]K&=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]\\[2pt]R&={\tfrac {1}{4}}(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).\\[2pt]\end{aligned}}$

انظر النقاط الدائرية § مساحة الأضلاع الصحيحة وأطوال الأضلاع للحصول على معلمات مختلفة لجميع الأشكال الرباعية البدائية غير المنحلة من نوع براهمغوبتا، والتي تعتمد على الأعداد النسبية، $0 < c 1 < c 2 < c 3$ .

حالة تقويمية قطرية

نصف القطر المحيط والمساحة

بالنسبة لشكل رباعي دائري متعامد الأقطار (له أقطار متعامدة)، لنفترض أن تقاطع الأقطار يقسم أحد الأقطار إلى قطعتين طولهما $p₁$ و $p₂ ،$ ويقسم القطر الآخر إلى قطعتين طولهما $q₁$ و $q₂$ $.$ عندئذٍ ^[²⁹^] (المساواة الأولى هي القضية 11 $في$ كتاب الليمات لأرخميدس ) $.$ $D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$

حيث $D$ هو قطر الدائرة المحيطة . وهذا صحيح لأن الأقطار هي أوتار متعامدة في الدائرة . تشير هذه المعادلات إلى أنه يمكن التعبير عن نصف قطر الدائرة المحيطة $R على النحو التالي:$ $R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}$

أو، من حيث أضلاع الشكل الرباعي، كما في ^{[ 24 ]} $R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.$

ويترتب على ذلك أيضاً ^{[ 24 ]} $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.$

وبالتالي، وفقًا لنظرية أويلر للرباعيات ، يمكن التعبير عن نصف قطر الدائرة المحيطة بدلالة القطرين $p$ و $q$ ، والمسافة $x$ بين منتصفي القطرين كما يلي: $R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.$

يمكن الحصول على صيغة لحساب مساحة الشكل الرباعي المتعامد القطري الدائري ( $K)$ بدلالة أضلاعه الأربعة مباشرةً عند دمج نظرية بطليموس مع صيغة مساحة الشكل الرباعي المتعامد القطري . والنتيجة هي ^{[ 30 ]}^{: ص 222} $K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).$

خصائص أخرى

في الشكل الرباعي المتعامد الدوري، يتطابق المركز المضاد مع النقطة التي تتقاطع فيها الأقطار. ^{[ 24 ]}
تنص نظرية براهمغوبتا على أنه بالنسبة للشكل الرباعي الدائري الذي يكون أيضًا متعامد الأقطار ، فإن العمود النازل من أي ضلع ويمر بنقطة تقاطع الأقطار ينصف الضلع المقابل. ^{[ 24 ]}
إذا كان الشكل الرباعي الدائري متعامد الأقطار أيضاً، فإن المسافة من مركز الدائرة المحيطة إلى أي ضلع تساوي نصف طول الضلع المقابل. ^{[ 24 ]}
في الشكل الرباعي المتعامد القطري الدوري، تكون المسافة بين منتصفات الأقطار مساوية للمسافة بين مركز الدائرة المحيطة ونقطة تقاطع الأقطار. ^{[ 24 ]}

الأشكال الرباعية الكروية الدورية

في الهندسة الكروية ، يكون الشكل الرباعي الكروي المُشكَّل من أربع دوائر كبرى متقاطعة دائريًا إذا وفقط إذا كانت مجاميع الزوايا المتقابلة متساوية، أي α + γ = β + δ للزوايا المتتالية α، β، γ، δ في الشكل الرباعي. ^{[ 31 ]} وقد أثبت أندرس يوهان ليكسيل أحد جوانب هذه النظرية عام 1782. ^{[ 32 ]} بيّن ليكسيل أنه في شكل رباعي كروي مُحاط بدائرة صغرى من كرة، تكون مجاميع الزوايا المتقابلة متساوية، وأن مجاميع الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي المحيط به متساوية. تُعدّ النظرية الأولى نظيرًا كرويًا لنظرية المستوى، أما النظرية الثانية فهي نظيرتها، أي نتيجة تبديل الدوائر الكبرى وأقطابها. ^{[ 33 ]} كيبر وآخرون. ^{[ 34 ]} أثبت عكس النظرية: إذا كانت مجاميع الأضلاع المتقابلة متساوية في شكل رباعي كروي، فإنه توجد دائرة محيطة بهذا الشكل الرباعي.

انظر أيضاً

مراجع

1 2 أوسيسكين، زلمان؛ غريفين، جينيفر؛ ويتونسكي، ديفيد؛ ويلمور، إدوين (2008)، "10. الأشكال الرباعية الدورية" ، تصنيف الأشكال الرباعية: دراسة تعريفية ، بحث في تعليم الرياضيات، IAP، ص 63-65 ، ISBN 978-1-59311-695-8
1 2 3 4 فرايفرت، ديفيد؛ سيجلر، آفي؛ ستوبل، موشيه (2020)، "الخصائص الضرورية والكافية للشكل الرباعي الدائري"، المجلة الدولية للتعليم الرياضي في العلوم والتكنولوجيا ، 51 (6): 913-938 ، doi : 10.1080/0020739X.2019.1683772 ، S2CID 209930435
↑ جويس، دي إي (يونيو 1997)، "الكتاب 3، القضية 22" ، عناصر إقليدس ، جامعة كلارك
↑ غريغوري، دنكان (1836)، "نظرية هندسية"، مجلة كامبريدج الرياضية ، 1 : 92.
↑ دي فيلييرز، مايكل (1993)، "تعميم موحد لنظرية تورنبول"، المجلة الدولية للتعليم الرياضي في العلوم والتكنولوجيا ، 24 (2): 191-196 ، doi : 10.1080/0020739930240204 .
↑ حجة، موفق (2008)، "شرط أن يكون الشكل الرباعي المحيط دائريًا" (ملف PDF) ، منتدى الهندسة ، 8 : 103-106 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 26 نوفمبر 2019 ، تم استرجاعه في 16 أغسطس 2011
1 2 أندريسكو، تيتو؛ إنيسكو ، بوجدان (2004)، “2.3 الكواد الحلقية” ، كنوز الأولمبياد الرياضي ، سبرينغر، الصفحات من 44 إلى 46، 50 ، ISBN 978-0-8176-4305-8MR 2025063
↑ برادلي، كريستوفر ج. (2007)، جبر الهندسة: الإحداثيات الديكارتية والمساحية والإسقاطية ، هايبرسبشن، ص 179، ISBN 978-1906338008، OCLC 213434422
1 2 3 4 5 6 7 8 9 دوريل، سي في؛ روبسون، أ. (2003) [1930]، علم المثلثات المتقدم ، كوريير دوفر، ISBN 978-0-486-43229-8
↑ فرايفرت، ديفيد (يوليو 2019). "نقاط جديدة تنتمي إلى دائرة النقاط التسع". المجلة الرياضية . 103 (557): 222-232 . doi : 10.1017/mag.2019.53 .
↑ فرايفرت، ديفيد (2018). "تطبيقات جديدة لطريقة الأعداد المركبة في هندسة الأشكال الرباعية الدائرية" (ملف PDF) . المجلة الدولية للهندسة . 7 (1): 5-16 .
↑ بيتر، توماس (سبتمبر 2003)، "تعظيم مساحة الشكل الرباعي"، مجلة الرياضيات الجامعية ، 34 (4): 315-316 ، doi : 10.2307/3595770 ، JSTOR 3595770
1 2 كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد ؛ غريتزر، صموئيل ل. (1967)، "3.2 الأشكال الرباعية الدورية؛ صيغة براهمغوبتا" ، الهندسة المعاد النظر فيها ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 57، 60، ISBN 978-0-88385-619-2
↑ براسولوف، فيكتور، مسائل في الهندسة المستوية والفراغية: المجلد 1 الهندسة المستوية (ملف PDF) ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 21 سبتمبر 2018 ، تم استرجاعه في 6 نوفمبر 2011
↑ ألسينا، كلاودي؛ نيلسن، روجر (2009)، "4.3 الأشكال الرباعية الدائرية والمماسية وثنائية المركز" ، عندما يكون الأقل هو الأكثر: تصوير المتباينات الأساسية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 64، ISBN 978-0-88385-342-9
1 2 3 ألسينا ، كلاودي؛ نيلسن، روجر ب. (2007)، "حول أقطار الشكل الرباعي الدائري" (ملف PDF) ، منتدى الهندسة ، 7 : 147-149
1 2 جونسون، روجر أ.، الهندسة الإقليدية المتقدمة ، دار نشر دوفر، 2007 (الأصل 1929).
1 2 عدم المساواة المقترحة في " Crux Mathematicorum " , 2007, .
↑ أ. بوغومولني ، متطابقة في الأشكال الرباعية (الدائرية)، مجموعة متنوعة من الألغاز والمسائل الرياضية التفاعلية ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 مارس 2014.
↑ سيدونز، أ. و.؛ هيوز، ر. ت. (1929)، علم المثلثات ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 202، OCLC 429528983
↑ خوسيه غارسيا، إيمانويل أنطونيو (2022)، "تعميم لصيغة مولفيد (أو بالأحرى صيغة نيوتن)" (ملف PDF) ، ماتينف ، 5 ( 9-10 ): 19-22 ، تم الاطلاع عليه في 29 ديسمبر 2023
↑ خوسيه غارسيا، إيمانويل أنطونيو (2024). "تعميم لقانون المماسات". مجلة الرياضيات . 97 (3): 274-275 . doi : 10.1080/0025570X.2024.2336633 .
↑ هوهن، لاري (مارس 2000)، "نصف قطر الدائرة المحيطة بالرباعي الدائري"، المجلة الرياضية ، 84 (499): 69-70 ، doi : 10.2307/3621477 ، JSTOR 3621477
1 2 3 4 5 6 7 ألتشيلر-كورت، ناثان (2007) [1952]، هندسة الكلية: مقدمة في الهندسة الحديثة للمثلث والدائرة (الطبعة الثانية )، كوريير دوفر، الصفحات 131، 137-138 ، ISBN 978-0-486-45805-2، OCLC 78063045
1 2 هونسبرغر، روس (1995)، "4.2 الأشكال الرباعية الدورية" ، حلقات في الهندسة الإقليدية في القرنين التاسع عشر والعشرين ، المكتبة الرياضية الجديدة، المجلد 37، مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 35-39 ، ISBN 978-0-88385-639-0
^ وايسستين ، إريك دبليو. “Maltitude” . عالم الرياضيات .
↑ بوخهولز، آر إتش؛ ماكدوجال، جيه إيه (1999)، "أشكال رباعية هيرون ذات أضلاع في متتالية حسابية أو هندسية"، نشرة الجمعية الرياضية الأسترالية ، 59 (2): 263-269 ، doi : 10.1017/S0004972700032883 ، hdl : 1959.13/803798 ، MR 1680787
↑ ساستري، ك. ر. س. (2002). "المربعات البرهمغوبتية" (ملف PDF) . منتدى الهندسة . 2 : 167-173 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 22 أبريل 2018. تم الاطلاع عليه في 25 أبريل 2012 .
↑ بوسامنتير، ألفريد س.؛ سالكيند، تشارلز ت. (1970)، "حلول: 4-23 أثبت أن مجموع مربعات أطوال القطع المستقيمة المكونة من وترين متعامدين يساوي مربع قياس قطر الدائرة المعطاة." ، مسائل صعبة في الهندسة ( الطبعة الثانية)، كوريير دوفر، ص 104-105 ، ISBN 978-0-486-69154-1
↑ جوزيفسون، مارتن (2016)، "خصائص الأشكال الرباعية الفيثاغورية"، المجلة الرياضية ، 100 (يوليو): 213-224 ، doi : 10.1017/mag.2016.57 .
^ فيمر لينهارد (2011). "المضلعات الدورية في الهندسة غير الإقليدية" . عنصر الرياضيات . 66 (2): 74- 82. دوى : 10.4171/م/173 .
^ ليكسل ، أندرس يوهان (1786). "De proprietatibus circulorum in surface sphaerica descriptorum" . Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 6 : 1782 (1): 58- 103، جدول الأرقام. 3 .
↑ روزنفيلد، بكالوريوس (1988). تاريخ الهندسة غير الإقليدية - سبرينغر . دراسات في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية. المجلد 12. doi : 10.1007/978-1-4419-8680-1 . ISBN 978-1-4612-6449-1.
↑ كيبر، جوكهان؛ سويلمز، إيريس (1 مايو 2012). "روابط متماثلة تشبه إيقاع الجيترباغ". نظرية الآليات والآلات . 51 : 145-158 . doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014 . hdl : 11511/40967 .

للمزيد من القراءة

د. فرايفرت: أشكال رباعية النقاط باسكال محصورة داخل شكل رباعي دوري

روابط خارجية

اشتقاق صيغة مساحة الشكل الرباعي الدائري
مراكز في الشكل الرباعي الدوري عند قطع العقدة
أربعة خطوط متقاطعة في شكل رباعي دائري عند نقطة قطع العقدة
وايسشتاين، إريك دبليو. "الرباعي الدوري" . عالم الرياضيات .

[Usiskin-1] 1 2 أوسيسكين، زلمان؛ غريفين، جينيفر؛ ويتونسكي، ديفيد؛ ويلمور، إدوين (2008)، "10. الأشكال الرباعية الدورية" ، تصنيف الأشكال الرباعية: دراسة تعريفية ، بحث في تعليم الرياضيات، IAP، ص 63-65 ، ISBN 978-1-59311-695-8

[Fraivert-2] 1 2 3 4 فرايفرت، ديفيد؛ سيجلر، آفي؛ ستوبل، موشيه (2020)، "الخصائص الضرورية والكافية للشكل الرباعي الدائري"، المجلة الدولية للتعليم الرياضي في العلوم والتكنولوجيا ، 51 (6): 913-938 ، doi : 10.1080/0020739X.2019.1683772 ، S2CID 209930435

[3] جويس، دي إي (يونيو 1997)، "الكتاب 3، القضية 22" ، عناصر إقليدس ، جامعة كلارك

[4] غريغوري، دنكان (1836)، "نظرية هندسية"، مجلة كامبريدج الرياضية ، 1 : 92.

[5] دي فيلييرز، مايكل (1993)، "تعميم موحد لنظرية تورنبول"، المجلة الدولية للتعليم الرياضي في العلوم والتكنولوجيا ، 24 (2): 191-196 ، doi : 10.1080/0020739930240204 .

[6] حجة، موفق (2008)، "شرط أن يكون الشكل الرباعي المحيط دائريًا" (ملف PDF) ، منتدى الهندسة ، 8 : 103-106 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 26 نوفمبر 2019 ، تم استرجاعه في 16 أغسطس 2011

[Andreescu-7] 1 2 أندريسكو، تيتو؛ إنيسكو ، بوجدان (2004)، “2.3 الكواد الحلقية” ، كنوز الأولمبياد الرياضي ، سبرينغر، الصفحات من 44 إلى 46، 50 ، ISBN 978-0-8176-4305-8MR 2025063

[8] برادلي، كريستوفر ج. (2007)، جبر الهندسة: الإحداثيات الديكارتية والمساحية والإسقاطية ، هايبرسبشن، ص 179، ISBN 978-1906338008، OCLC 213434422

[Durell-9] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 دوريل، سي في؛ روبسون، أ. (2003) [1930]، علم المثلثات المتقدم ، كوريير دوفر، ISBN 978-0-486-43229-8

[10] فرايفرت، ديفيد (يوليو 2019). "نقاط جديدة تنتمي إلى دائرة النقاط التسع". المجلة الرياضية . 103 (557): 222-232 . doi : 10.1017/mag.2019.53 .

[11] فرايفرت، ديفيد (2018). "تطبيقات جديدة لطريقة الأعداد المركبة في هندسة الأشكال الرباعية الدائرية" (ملف PDF) . المجلة الدولية للهندسة . 7 (1): 5-16 .

[12] بيتر، توماس (سبتمبر 2003)، "تعظيم مساحة الشكل الرباعي"، مجلة الرياضيات الجامعية ، 34 (4): 315-316 ، doi : 10.2307/3595770 ، JSTOR 3595770

[Coxeter-13] 1 2 كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد ؛ غريتزر، صموئيل ل. (1967)، "3.2 الأشكال الرباعية الدورية؛ صيغة براهمغوبتا" ، الهندسة المعاد النظر فيها ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 57، 60، ISBN 978-0-88385-619-2

[14] براسولوف، فيكتور، مسائل في الهندسة المستوية والفراغية: المجلد 1 الهندسة المستوية (ملف PDF) ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 21 سبتمبر 2018 ، تم استرجاعه في 6 نوفمبر 2011

[Alsina-15] ألسينا، كلاودي؛ نيلسن، روجر (2009)، "4.3 الأشكال الرباعية الدائرية والمماسية وثنائية المركز" ، عندما يكون الأقل هو الأكثر: تصوير المتباينات الأساسية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 64، ISBN 978-0-88385-342-9

[Alsina2-16] 1 2 3 ألسينا ، كلاودي؛ نيلسن، روجر ب. (2007)، "حول أقطار الشكل الرباعي الدائري" (ملف PDF) ، منتدى الهندسة ، 7 : 147-149

[Johnson-17] 1 2 جونسون، روجر أ.، الهندسة الإقليدية المتقدمة ، دار نشر دوفر، 2007 (الأصل 1929).

[Crux-18] 1 2 عدم المساواة المقترحة في " Crux Mathematicorum " , 2007, .

[19] أ. بوغومولني ، متطابقة في الأشكال الرباعية (الدائرية)، مجموعة متنوعة من الألغاز والمسائل الرياضية التفاعلية ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 مارس 2014.

[20] سيدونز، أ. و.؛ هيوز، ر. ت. (1929)، علم المثلثات ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 202، OCLC 429528983

[21] خوسيه غارسيا، إيمانويل أنطونيو (2022)، "تعميم لصيغة مولفيد (أو بالأحرى صيغة نيوتن)" (ملف PDF) ، ماتينف ، 5 ( 9-10 ): 19-22 ، تم الاطلاع عليه في 29 ديسمبر 2023

[22] خوسيه غارسيا، إيمانويل أنطونيو (2024). "تعميم لقانون المماسات". مجلة الرياضيات . 97 (3): 274-275 . doi : 10.1080/0025570X.2024.2336633 .

[23] هوهن، لاري (مارس 2000)، "نصف قطر الدائرة المحيطة بالرباعي الدائري"، المجلة الرياضية ، 84 (499): 69-70 ، doi : 10.2307/3621477 ، JSTOR 3621477

[Altshiller-Court-24] 1 2 3 4 5 6 7 ألتشيلر-كورت، ناثان (2007) [1952]، هندسة الكلية: مقدمة في الهندسة الحديثة للمثلث والدائرة (الطبعة الثانية )، كوريير دوفر، الصفحات 131، 137-138 ، ISBN 978-0-486-45805-2، OCLC 78063045

[Honsberger-25] 1 2 هونسبرغر، روس (1995)، "4.2 الأشكال الرباعية الدورية" ، حلقات في الهندسة الإقليدية في القرنين التاسع عشر والعشرين ، المكتبة الرياضية الجديدة، المجلد 37، مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 35-39 ، ISBN 978-0-88385-639-0

[26] وايسستين ، إريك دبليو. “Maltitude” . عالم الرياضيات .

[Buchholz-27] بوخهولز، آر إتش؛ ماكدوجال، جيه إيه (1999)، "أشكال رباعية هيرون ذات أضلاع في متتالية حسابية أو هندسية"، نشرة الجمعية الرياضية الأسترالية ، 59 (2): 263-269 ، doi : 10.1017/S0004972700032883 ، hdl : 1959.13/803798 ، MR 1680787

[28] ساستري، ك. ر. س. (2002). "المربعات البرهمغوبتية" (ملف PDF) . منتدى الهندسة . 2 : 167-173 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 22 أبريل 2018. تم الاطلاع عليه في 25 أبريل 2012 .

[29] بوسامنتير، ألفريد س.؛ سالكيند، تشارلز ت. (1970)، "حلول: 4-23 أثبت أن مجموع مربعات أطوال القطع المستقيمة المكونة من وترين متعامدين يساوي مربع قياس قطر الدائرة المعطاة." ، مسائل صعبة في الهندسة ( الطبعة الثانية)، كوريير دوفر، ص 104-105 ، ISBN 978-0-486-69154-1

[30] جوزيفسون، مارتن (2016)، "خصائص الأشكال الرباعية الفيثاغورية"، المجلة الرياضية ، 100 (يوليو): 213-224 ، doi : 10.1017/mag.2016.57 .

[31] فيمر لينهارد (2011). "المضلعات الدورية في الهندسة غير الإقليدية" . عنصر الرياضيات . 66 (2): 74- 82. دوى : 10.4171/م/173 .

[32] ليكسل ، أندرس يوهان (1786). "De proprietatibus circulorum in surface sphaerica descriptorum" . Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 6 : 1782 (1): 58- 103، جدول الأرقام. 3 .

[33] روزنفيلد، بكالوريوس (1988). تاريخ الهندسة غير الإقليدية - سبرينغر . دراسات في تاريخ الرياضيات والعلوم الفيزيائية. المجلد 12. doi : 10.1007/978-1-4419-8680-1 . ISBN 978-1-4612-6449-1.

[34] كيبر، جوكهان؛ سويلمز، إيريس (1 مايو 2012). "روابط متماثلة تشبه إيقاع الجيترباغ". نظرية الآليات والآلات . 51 : 145-158 . doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014 . hdl : 11511/40967 .

[ 1 ]

[ 2 ]

]

[ 4 ]

هو

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ].

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ].

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

: ص 131

25 ] تُسمى

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗