نظرية بوسغانغ

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية بوسغانغ نظريةً في التحليل العشوائي . تنصّ النظرية على أن الارتباط المتبادل بين إشارة غاوسية قبل وبعد مرورها بعملية غير خطية يساوي الارتباط الذاتي للإشارة ، حتى قيمة ثابتة. نُشرت هذه النظرية لأول مرة على يد جوليان ج. بوسغانغ عام ١٩٥٢ عندما كان يعمل في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . ^{[ ١ ]}

يترك${\displaystyle \left\{X(t)\right\}}$ليكن عملية عشوائية غاوسية ثابتة ذات متوسط ​​صفري و${\displaystyle \left\{Y(t)\right\}=g(X(t))}$أين${\displaystyle g(\cdot )}$هو تشوه غير خطي في السعة.

لو${\displaystyle R_{X}(\tau )}$هي دالة الارتباط الذاتي لـ${\displaystyle \left\{X(t)\right\}}$ثم دالة الارتباط المتبادل لـ${\displaystyle \left\{X(t)\right\}}$و${\displaystyle \left\{Y(t)\right\}}$يكون

${\displaystyle R_{XY}(\tau )=CR_{X}(\tau ),}$

أين${\displaystyle C}$ثابت يعتمد فقط على${\displaystyle g(\cdot )}$.

ويمكن إثبات ذلك أيضاً.

${\displaystyle C={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }ug(u)e^{-{\frac {u^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,du.}$

من خصائص التوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد أن الكثافة المشتركة لـ${\displaystyle y_{1}}$و${\displaystyle y_{2}}$يعتمد فقط على تباينهما المشترك ويتم تحديده صراحةً من خلال التعبير

${\displaystyle p(y_{1},y_{2})={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}$

أين${\displaystyle y_{1}}$و${\displaystyle y_{2}}$هي متغيرات عشوائية غاوسية قياسية ذات ارتباط${\displaystyle \phi _{y_{1}y_{2}}=\rho }$.

افترض أن${\displaystyle r_{2}=Q(y_{2})}$، العلاقة بين${\displaystyle y_{1}}$و${\displaystyle r_{2}}$يكون،

${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{-\infty}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }y_{1}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}\,dy_{1}dy_{2}}$.

منذ

$// (1-\rho ^{2})}}y_{2}e^{\frac {\rho ^{2}y_{2}^{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}$،

الارتباط ${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}}$يمكن تبسيطها على النحو التالي

$//$.

يتضح أن التكامل أعلاه يعتمد فقط على خاصية التشوه${\displaystyle Q()}$وهو مستقل عن${\displaystyle \rho }$.

تذكر ذلك${\displaystyle \rho =\phi _{y_{1}y_{2}}}$نلاحظ أنه بالنسبة لخاصية تشويه معينة${\displaystyle Q()}$النسبة${\displaystyle {\frac {\phi _{y_{1}r_{2}}}{\phi _{y_{1}y_{2}}}}}$يكون${\displaystyle K_{Q}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{2}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}}$.

لذلك، يمكن إعادة كتابة العلاقة بالشكل التالي:

${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}=K_{Q}\phi _{y_{1}y_{2}}}$.

المعادلة أعلاه هي التعبير الرياضي عن "نظرية بوسجانج" المذكورة.

لو${\displaystyle Q(x)={\text{sign}}(x)}$أو ما يسمى بالتكميم أحادي البت،${\displaystyle K_{Q}={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }y_{2}e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$.

^{[ 2 ] [ 3 ] [ 1 ] [ 4 ]}

إذا كان المتغيران العشوائيان كلاهما مشوهين، أي${\displaystyle r_{1}=Q(y_{1}),r_{2}=Q(y_{2})}$، ارتباط${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle r_{2}}$يكون

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }Q(y_{1})Q(y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}}$.

متى${\displaystyle Q(x)={\text{sign}}(x)}$يصبح التعبير،

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\left[\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty}^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-\int _{0}^{\infty}\int _{-\infty}^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-\int _{-\infty }^{0}\int _ {0}^{\infty}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}\right]}$

أين${\displaystyle \alpha ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}$.

ملاحظة ذلك

${\displaystyle \int _{-\infty}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\left[\int _{0}^{\infty }\int _ {0}^{\infty}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty}^{0}\int _{-\infty}^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty}^{0}\int _{0}^{\infty}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}\right]=1}$،

و${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}=\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}}$،${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}=\int _{-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}}$،

يمكننا تبسيط التعبير عن${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}}$مثل

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-1}$

كما أنه من الملائم إدخال الإحداثيات القطبية${\displaystyle y_{1}=R\cos \theta ,y_{2}=R\sin \theta }$وهكذا يتضح أن

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {R^{2}-2R^{2}\rho \cos \theta \sin \theta \ }{2(1-\rho ^{2})}}}R\,dRd\theta -1={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {R^{2}(1-\rho \sin 2\theta )}{2(1-\rho ^{2})}}}R\,dRd\theta -1}$.

التكامل يعطي

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {2{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{1-\rho \sin 2\theta }}-1=-{\frac {2}{\pi }}\arctan \left({\frac {\rho -\tan \theta }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\right){\Bigg |}_{0}^{\pi /2}-1={\frac {2}{\pi }}\arcsin(\rho )}$،

يُطلق على هذا اسم "قانون الجيب العكسي"، الذي اكتشفه جيه إتش فان فليك لأول مرة عام 1943 وأُعيد نشره عام 1966. ^{[ 2 ] [ 3 ]} ويمكن أيضًا إثبات "قانون الجيب العكسي" بطريقة أبسط بتطبيق نظرية برايس. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

الوظيفة${\displaystyle f(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin x}$يمكن تقريبها على النحو التالي${\displaystyle f(x)\approx {\frac {2}{\pi }}x}$متى${\displaystyle x}$صغير.

تشير هذه النظرية إلى إمكانية تصميم مُرابط مُبسط. فبدلاً من ضرب إشارتين، تُختزل مشكلة الارتباط المتبادل إلى عملية بوابات لإشارتين.

• إي دبليو باي؛ في. سيروني؛ دي. ريغروتو ( 2007) "مدخلات قابلة للفصل لتحديد الأنظمة غير الخطية الموجهة بالكتل" ، وقائع مؤتمر التحكم الأمريكي لعام 2007 (مدينة نيويورك، 11-13 يوليو 2007) 1548-1553